高等数学课件：第七章 空间解析几何与向量代数1

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1、第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 7. 7.1 1 空间直角坐标系空间直角坐标系 7.2 7.2 向量及其线性运算向量及其线性运算 7.3 7.3 向量的数量积向量的数量积 7.4 7.4 向量的向量积向量的向量积 7.5 7.5 曲面及其方程曲面及其方程 7.6 7.6 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 7.7 7.7 平面平面 7.8 7.8 空间直线空间直线 7.9 7.9 二次曲面二次曲面7.1 空间直角坐标系7.1.1 空间点的直角坐标空间点的直角坐标(3)(3)在三个坐标轴上选定在三个坐标轴上选定

2、长度单位长度单位( (三个轴上的长三个轴上的长度单位可以取的不一样度单位可以取的不一样) )。空间直角坐标系的建立需具备三个条件空间直角坐标系的建立需具备三个条件：(1)(1)在空间任选一点在空间任选一点 称为坐标原点称为坐标原点; ;(2)(2)在在 点处作三条点处作三条两两互两两互相垂直相垂直的轴的轴ox、oy、oz称称为坐标轴；为坐标轴；把空间直角坐标系记作把空间直角坐标系记作面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限: 通过空间直角坐标系，我们建立了空间的点通过空间直角坐标系，我们建立了空间的点 M与与有序数组有序数组 x、y、z 之间的一一对应的关系。有序数组之

3、间的一一对应的关系。有序数组x、y、z 就称为点就称为点 M 的坐标，的坐标，x 为点为点 M 的横坐标，的横坐标，y为点为点 M 的纵坐的纵坐标，标，z 为为 点点 M 的竖坐标，记为的竖坐标，记为M(x,y,z) .空间点与坐标的关系空间点与坐标的关系: :坐标轴和坐标面上的点的特征：坐标轴和坐标面上的点的特征：x轴上的点的坐标为轴上的点的坐标为(x,0,0); y轴上的点的坐标为轴上的点的坐标为(0,y,0);z轴上的点的坐标为轴上的点的坐标为(0,0,z);xoy面上的点的坐标为面上的点的坐标为(x,y,0);yoz面上的点的坐标为面上的点的坐标为(0,y,z);zox面上的点的坐标为

4、面上的点的坐标为(x,0,z);坐标原点坐标原点O的坐标为的坐标为(0,0,0) .特殊点的表示特殊点的表示:则坐标轴上的点则坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点例例1 1 在空间直角坐标系中，画出以在空间直角坐标系中，画出以(2,3,-3)为坐标的点为坐标的点P。7.1.2 空间两点间的距离空间两点间距离公式空间两点间距离公式解解原结论成立原结论成立.解解所求点为所求点为设设 点坐标为点坐标为7.2 向量及其线性运算有向线段的有向线段的方向方向表示向量的表示向量的方向方向；向量的几何表示向量的几何表示: 有向线段有向线段 .有向线段的有向线段的长度长度表示向量的表示向量的大小大小 .向量表示

5、：向量表示：7.2.1 7.2.1 向量的概念向量的概念向量的向量的大小大小称为向量的称为向量的模模 .向量向量的的模模分别记为：分别记为： 模模等于等于 1 的向量称为的向量称为单位向量单位向量 . 与向量与向量 的方向相同的单位向量的方向相同的单位向量，称为向量，称为向量 的的单位向量单位向量，记为，记为模等于模等于 0 0 的向量称为的向量称为零向量零向量 . .零向量的方向不定零向量的方向不定 . .两向量的平行：两向量的平行：相等向量：相等向量： 大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .自由向量：自由向量： 起点任意，只由模与方向确定的向量起点任意，只由模与方向确定的向

6、量. .大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .互为反向量：互为反向量：两个向量是否相等与它们的起点无关，两个向量是否相等与它们的起点无关，只由它们的模和方向决定只由它们的模和方向决定. .定义定义 17.2.2 向量的加减法三角形法则三角形法则向量加法向量加法平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则特别地，特别地，分为同向和反向分为同向和反向向量的减法：向量的减法：定理定理 证证证毕证毕推广推广到任意到任意有限有限个向量个向量多边形法则多边形法则证证则则即即证证7.2.3 7.2.3 数与向量的乘法数与向量的乘法定义定义 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个上式

7、表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个 与原向量同方向的与原向量同方向的单位向量单位向量.定理定理 证明略证明略向量的加减法及数乘向量运算统称为向量的向量的加减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算线性运算.证证证证两式相减，得两式相减，得证毕证毕7.2.4 7.2.4 向量的坐标向量的坐标向量的向量的坐标坐标等于其等于其终点坐标减去起点对应的坐标终点坐标减去起点对应的坐标/例例 1解解 定定比比分分点点公公式式7.3 7.3 两向量的数量积两向量的数量积 7.3.1 7.3.1 两向量的数量积两向量的数量积空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴

8、向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.M1M2启示启示 两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义 注意注意 两向量的两向量的数量积数量积是一个是一个数量数量而不是向量而不是向量. .定理定理 1证证证毕证毕定理定理 2（1 1）交换律）交换律：（2 2）分配律）分配律：（3 3）数乘向量与数量积的结合律：）数乘向量与数量积的结合律：若若 、 为数为数：（证明略）（证明略）若若 为数为数：例例 1证证定理定理 3

9、 设设证证证毕证毕数量积的数量积的坐标表达式坐标表达式推论推论由数量积定义由数量积定义7.3.2 两向量的夹角公式两向量的夹角公式证证非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. .7.3.3 7.3.3 方向角和方向余弦方向角和方向余弦非零向量方向余弦的坐标表示式非零向量方向余弦的坐标表示式解解解解空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影7.3.4 向量的投影 向量的投影向量的投影解解7.4 7.4 两向量的向量积两向量的向量积定义定义 向量积模的几何意义向量积模的几何意

10、义表示以表示以和和为邻边为邻边的平行四边形的面积的平行四边形的面积 .关于向量积有下列性质：关于向量积有下列性质：/证证（4 4）左分配律：）左分配律：右分配律：右分配律：（3）（5 5）若）若 为数：为数：（结合律）（结合律）.设设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式o向量积还可用三向量积还可用三阶行列式表示阶行列式表示向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式例如例如:由向量积的坐标表示式，得由向量积的坐标表示式，得注意：注意：不能同时为零，但允许其中的一个或不能同时为零，但允许其中的一个或两个为零两个为零./解解解解三角形三角形ABC的面积为的面积为解解7.5 7.5 曲面及其方程曲面及其方程

11、 若曲面若曲面 S 和方程和方程 F(x,y,z) = 0 之间存在下面关系：之间存在下面关系： 定义定义则称方程则称方程为曲面为曲面S的的方程，而曲面方程，而曲面S称为方程称为方程的图形的图形.足这个方程足这个方程.任意一点的坐标都不满任意一点的坐标都不满（2）而不在曲面）而不在曲面S上的上的曲面在空间解析几何中曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹被看成是点的几何轨迹 (1) (1)曲面曲面 S 上的点的坐标都满足方程上的点的坐标都满足方程 F(x,y,z) = 0; ; 根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解解解则则所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球

12、心在原点时方程为7.5.1 球 面上、下半球面的上、下半球面的方程分别是：方程分别是：球心在原点的上、下半球面的方程分别是：球心在原点的上、下半球面的方程分别是：将将展开得展开得球面方程是一个三元二次方程球面方程是一个三元二次方程, 平方项的系数相等平方项的系数相等,反过来，如果三元二次方程反过来，如果三元二次方程 x2 + y2 + z2 + A x + B y + C z + D = 0 （*）没有交叉项没有交叉项 . x2 + y2 + z2 + A x + B y + C z + D = 0 （*） 经过配方可得：经过配方可得：（点球）（点球）.（虚球面）（虚球面）.球心球心半径半径球

13、面的一般方程球面的一般方程没有交叉项的三元二次方程没有交叉项的三元二次方程.球面（实球面，点或虚球面）球面（实球面，点或虚球面）平方项的系数相等平方项的系数相等,解解解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为例例5 5 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解7.5.2 柱 面定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程: 柱面的柱面的准线准线，这条定曲线这条定曲线 面的面的母线母线. 叫叫 动直动直 线线 叫柱叫柱曲线曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .设设 是平面内的定曲线是平面内的定

14、曲线, , 平行于定直线并沿定平行于定直线并沿定 只讨论母线平行于坐标轴的柱面只讨论母线平行于坐标轴的柱面柱面举例：柱面举例：抛物柱面抛物柱面平面平面母线母线/ 轴轴圆柱面圆柱面母线母线/ 轴轴方程方程 为母线平行于为母线平行于z 轴的椭圆柱面轴的椭圆柱面. .方程方程 为母线平行于为母线平行于 轴的双曲柱面轴的双曲柱面; ;解解例例2 方程方程 x2 = 4z 表示怎样的柱面？表示怎样的柱面？解解 方程中仅含方程中仅含 x，z，故此柱面的母线平行于，故此柱面的母线平行于 y 轴，准轴，准线为线为 xoz 平面上的抛物线平面上的抛物线 x2 = 4z, , 称为抛物柱面称为抛物柱面. .7.5

15、.3 旋转曲面定义定义这条定直线这条定直线曲线曲线叫旋叫旋转曲面的转曲面的轴轴母线母线.叫叫绕其平面上的一条定绕其平面上的一条定 平面内的一条曲线平面内的一条曲线成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转直线直线旋转一周所旋转一周所曲面曲面. .定义定义绕其平面上的一条定绕其平面上的一条定 平面内的一条曲线平面内的一条曲线成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转直线直线旋转一周所旋转一周所这条定直线这条定直线曲线曲线叫旋叫旋转曲面的转曲面的轴轴母线母线.叫叫旋转曲面旋转曲面曲面曲面. .定义定义绕其平面上的一条定绕其平面上的一条定 平面内的一条曲线平面内的一条曲线成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转直线直线旋转一周

16、所旋转一周所这条定直线这条定直线曲线曲线叫旋叫旋转曲面的转曲面的轴轴母线母线.叫叫旋转曲面旋转曲面曲面曲面. .定义定义绕其平面上的一条定绕其平面上的一条定 平面内的一条曲线平面内的一条曲线成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转直线直线旋转一周所旋转一周所这条定直线这条定直线曲线曲线叫旋叫旋转曲面的转曲面的轴轴母线母线.叫叫旋转曲面旋转曲面曲面曲面. .定义定义绕其平面上的一条定绕其平面上的一条定 平面内的一条曲线平面内的一条曲线成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转直线直线旋转一周所旋转一周所这条定直线这条定直线曲线曲线叫旋叫旋转曲面的转曲面的轴轴母线母线.叫叫旋转曲面旋转曲面曲面曲面. .定义定义绕其

17、平面上的一条定绕其平面上的一条定 平面内的一条曲线平面内的一条曲线成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转直线直线旋转一周所旋转一周所这条定直线这条定直线曲线曲线叫旋叫旋转曲面的转曲面的轴轴母线母线.叫叫旋转曲面旋转曲面曲面曲面. .定义定义绕其平面上的一条定绕其平面上的一条定 平面内的一条曲线平面内的一条曲线成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转直线直线旋转一周所旋转一周所这条定直线这条定直线曲线曲线叫旋叫旋转曲面的转曲面的轴轴母线母线.叫叫旋转曲面旋转曲面曲面曲面. .定义定义绕其平面上的一条定绕其平面上的一条定 平面内的一条曲线平面内的一条曲线成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转直线直线旋转一周所旋转一周

18、所这条定直线这条定直线曲线曲线叫旋叫旋转曲面的转曲面的轴轴母线母线.叫叫旋转曲面旋转曲面曲面曲面. .定义定义绕其平面上的一条定绕其平面上的一条定 平面内的一条曲线平面内的一条曲线成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转直线直线旋转一周所旋转一周所这条定直线这条定直线曲线曲线叫旋叫旋转曲面的转曲面的轴轴母线母线.叫叫旋转曲面旋转曲面曲面曲面. .定义定义绕其平面上的一条定绕其平面上的一条定 平面内的一条曲线平面内的一条曲线成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转直线直线旋转一周所旋转一周所这条定直线这条定直线曲线曲线叫旋叫旋转曲面的转曲面的轴轴母线母线.叫叫旋转曲面旋转曲面曲面曲面. .定义定义绕其平面上的一

19、条定绕其平面上的一条定 平面内的一条曲线平面内的一条曲线成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转直线直线旋转一周所旋转一周所这条定直线这条定直线曲线曲线叫旋叫旋转曲面的转曲面的轴轴母线母线.叫叫旋转曲面旋转曲面曲面曲面. .定义定义绕其平面上的一条定绕其平面上的一条定 平面内的一条曲线平面内的一条曲线成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转直线直线旋转一周所旋转一周所这条定直线这条定直线曲线曲线叫旋叫旋转曲面的转曲面的轴轴母线母线.叫叫旋转曲面旋转曲面曲面曲面. .定义定义绕其平面上的一条定绕其平面上的一条定 平面内的一条曲线平面内的一条曲线成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转直线直线旋转一周所旋转一周所这条定直

20、线这条定直线曲线曲线叫旋叫旋转曲面的转曲面的轴轴母线母线.叫叫旋转曲面旋转曲面曲面曲面. .定义定义绕其平面上的一条定绕其平面上的一条定 平面内的一条曲线平面内的一条曲线成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转直线直线旋转一周所旋转一周所这条定直线这条定直线曲线曲线叫旋叫旋转曲面的转曲面的轴轴母线母线.叫叫旋转曲面旋转曲面曲面曲面. .设在设在绕绕坐标平面内有一条曲线坐标平面内有一条曲线把曲线把曲线轴旋转一周，得到一个以轴旋转一周，得到一个以轴为旋转轴为旋转轴的旋转曲面轴的旋转曲面. 求其方程求其方程.旋转过程中的特征：旋转过程中的特征： 如图如图解解 因为是因为是 yOz 坐标面上的直线坐标面上的直

21、线 绕绕 z 轴旋转，故将轴旋转，故将 z 保持不变，保持不变，y 换成换成 , ,即所求旋转曲面方程即所求旋转曲面方程: :上式表示的曲面是以原点为顶点的圆锥面上式表示的曲面是以原点为顶点的圆锥面. .例例1 yoz坐标面上的直线坐标面上的直线 , ,绕绕z轴旋转，轴旋转，试求所得旋转曲面方程试求所得旋转曲面方程. .圆锥面圆锥面: :例例2 2 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程的旋转曲面的方程双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面旋转椭球面旋转椭球面xyzxyz旋转椭球面旋转椭球面旋转抛物面旋转抛物面旋转旋转.7

22、.6 7.6 空间曲线及其方程空间曲线及其方程空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.特点特点：7.6.1 7.6.1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线空间曲线 可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线 .注注: : 因为在空间通过空间曲线因为在空间通过空间曲线的曲面可以有无穷多个，的曲面可以有无穷多个，很可能在这无穷多个曲面中的另外两很可能在这无穷多个曲面中的另外两 个曲面个曲面与与正好以正好以为它们的交线为它们的交线

23、.与与的方程组也表示曲线的方程组也表示曲线.也也所以所以的方程联立起来的方程联立起来任何方程组的解，也一定是与它等价的方任何方程组的解，也一定是与它等价的方从代数上知道，从代数上知道，程组的解程组的解.这说明空间曲线这说明空间曲线可以用不可以用不 同形式的方程组同形式的方程组来表示来表示 .例如例如例例1 1 方程组方程组解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？例例2 2 方程组方程组解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？7.6.2 7.6.2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程解解

24、 取时间取时间 t 为参数，为参数， 动点从动点从 A 点出发，点出发，经过经过 t 时间，运动到时间，运动到 M 点点 ， 7.6.3 空间曲线在坐标面内的投影定义定义 设已知空间曲线设已知空间曲线和平面和平面，如果从空间，如果从空间上每一点作平面上每一点作平面的垂线，则由所有的垂线，则由所有垂足垂足构成的平面构成的平面内的内的曲线曲线称为空间曲线称为空间曲线在平面在平面曲线曲线内的内的 投影曲线，投影曲线，由所有由所有垂线构成的垂线构成的间曲线间曲线到平面到平面的的投影柱面投影柱面 .柱面称为空柱面称为空如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱

25、面投影柱面面上的面上的投影曲线投影曲线,面上的面上的投影曲线投影曲线,类似地：可求空间曲线类似地：可求空间曲线 在其他坐标面上的投影曲线在其他坐标面上的投影曲线解解（1）消去变量）消去变量 z 后得后得在在 面上的投影曲线为：面上的投影曲线为：例例4 4 求曲线求曲线 在三个坐标面上的投在三个坐标面上的投影曲线影曲线 .所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，截线方程为截线方程为解解如图如图,(2)消去消去得投影得投影(1)消去消去得投影得投影解解 空间立体或曲面在坐标面上的投影空

26、间立体或曲面在坐标面上的投影. .空空间间立立体体曲曲面面例例7解解上半球面和锥面的交线为上半球面和锥面的交线为圆圆7.7 平 面7.7.1 7.7.1 平面的点法式方程平面的点法式方程定义定义法线向量的特征：法线向量的特征：法向量垂直于平面法向量垂直于平面内的任一向量内的任一向量称为平面的称为平面的点法式方程点法式方程其中法向量其中法向量已知点已知点已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有解解解解取取化简得化简得解解取取依次称为平面在依次称为平面在轴上的轴上的截距截距 .称为平面的称为平面的截距式方程截距式方程,由平面的点法式方程由平面的点法式方程称为平面的称为平面的一般方程一般

27、方程 .法向量法向量7.7.2 7.7.2 平面的一般式方程平面的一般式方程？即即 任一平面任一平面都能表示成都能表示成不妨设不妨设，则，则表示一个平面表示一个平面.平面一般式方程的几种特殊情况：平面一般式方程的几种特殊情况：（*）（*）平面平面过过轴轴.（*）平面平面过过轴轴.（*）平面平面过过轴轴.（*）平面平面是是面面.（*）平面平面是是面面.（*）平面平面是是面面.（*）（*）平面平面面面.（*）平面平面面面.（*）平面平面轴轴.（*）平面平面轴轴.（*）平面平面轴轴.（*）平面平面面面.（*）解解设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解定义定义（通

28、常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. .7.7.3 两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有: 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面重合两平面重合.7.7.4 点到平面的距离从点从点向平面向平面引垂线，垂足为引垂线，垂足为则则点到平面距离公式点到平面距离公式解解在第一个平面内任取一点，比如（在第一个平面内任取一点，比如（0，

29、0，1），），定义定义空间直线可看成两个相交平面的交线空间直线可看成两个相交平面的交线空间直线的一般式方程空间直线的一般式方程7.8 7.8 空间直线空间直线7.8.1 7.8.1 空间直线的一般式方程空间直线的一般式方程与与不平行，则不平行，则由于通过空间一直线由于通过空间一直线的平面有无穷多个，则其中任的平面有无穷多个，则其中任意两个平面的方程的联立方程组都是意两个平面的方程的联立方程组都是的一般式方程的一般式方程.表示同一条直线的一般式方程可能不唯一表示同一条直线的一般式方程可能不唯一.注：注：方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向

30、量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量/直线的对称式方程直线的对称式方程（点向式方程）（点向式方程）7.8.2 空间直线的对称式方程注意：注意：解解因此因此, 所求直线方程为所求直线方程为 设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为已知平面的法向量已知平面的法向量已知直线的方向向量已知直线的方向向量取取解解例例2 求过点求过点(1,0,-2)且与平面且与平面 平行平行,又与直线又与直线 垂直的直线方程垂直的直线方程.7.8.3 空间直线的参数式方程直线的一组直线的一组方向数方向数令令方向向量的余弦称为直方向向量的余弦称为直线的线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程

31、直线的参数方程由由直线的对称式方程直线的对称式方程例例3 3 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解在直线上任取一点在直线上任取一点取取点坐标点坐标解得解得取取对称式方程对称式方程参数方程参数方程解解取取所求直线方程所求直线方程所以与所以与轴的交点为轴的交点为解解定义定义直线直线直线直线两直线的夹角公式两直线的夹角公式两直线的方向向量的夹角称之为该两直两直线的方向向量的夹角称之为该两直线的夹角线的夹角.（锐角）（锐角）7.8.4 两直线的夹角两直线的位置关系直线直线直线直线解解7.8.5 直线与平面的夹角定义定义或或则则直线与平面直线与平面的夹角公式的夹角公式直线和它

32、在平面上的射影直线和它在平面上的射影直线的夹角直线的夹角 称为直线与称为直线与平面的夹角平面的夹角直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：/解解为所求夹角为所求夹角7.8.6 直线与平面的交点代入代入平面平面 的方程，得的方程，得解出解出解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令MNL代入平面方程得代入平面方程得 ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为MNL 例例9 求过点求过点 M (-1,2,-3), 且平行于平面且平行于平面 又与直线又与直线 相交的直

33、线方程相交的直线方程.解解 7.8.7 点到直线的距离LS点到直线的距离公式点到直线的距离公式解解例例10 求点求点(5,4,2)到直线到直线的距离的距离 .定义定义 7.8.8 平 面 束外任一点，外任一点，事实上，设事实上，设 为为 可取可取注注: 在求过已知直线且垂直于已知平面的平面方程时在求过已知直线且垂直于已知平面的平面方程时,用平面束方程比较方便用平面束方程比较方便. 例例11 求直线求直线 在平面在平面 内的投影直线内的投影直线 的方程的方程 . 解解故故 投影直线投影直线 的方程为的方程为:解解二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为三元二次方程所表示的曲

34、面称之为二次曲面二次曲面讨论二次曲面形状的讨论二次曲面形状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌 7.9 二次曲面相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面7.9.1. 椭球面定义定义椭球面关于三个坐椭球面关于三个坐标面、三个坐标轴标面、三个坐标轴及坐标原点都及坐标原点都对称对称 .称为椭球面的称为椭球面的顶点顶点. 与三个坐标面的交线：与三个坐标面的交线：用截痕法讨论：用截痕法讨论：椭球面椭球面 用平行于用平

35、行于xoy面的平面面的平面 z=h 截椭球面所得截椭球面所得的交线是的交线是椭圆椭圆，方程为：，方程为： 用平行于用平行于yoz面的平面面的平面 x=m 截椭球面所得截椭球面所得的交线是的交线是椭圆椭圆，方程为：，方程为： 用平行于用平行于xoz面的平面面的平面 y=n 截椭球面所得截椭球面所得的交线是的交线是椭圆椭圆，方程为：，方程为：椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成旋转椭球面旋转椭球面与与椭球面椭球面的的区别区别：方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为的交线为圆圆.球面球面截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程

36、可写为7.9.2 单叶双曲面定义定义显然，单叶双曲面显然，单叶双曲面(*)关于三个坐标平面，三个坐关于三个坐标平面，三个坐标轴以及坐标原点都标轴以及坐标原点都对称对称 . 单叶双曲面单叶双曲面 (*) 与与 轴不轴不相交相交, 与与轴，轴， 轴分别交于点轴分别交于点与与这四个点叫做单叶双曲面的这四个点叫做单叶双曲面的顶点顶点 .(*)单叶双曲面单叶双曲面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）单叶双曲面与坐标面）单叶双曲面与坐标面 的交线是的交线是椭圆椭圆：与平面与平面 的交线为的交线为椭圆椭圆:当当 变动时，这种椭圆的变动时，这种椭圆的中心中心都在都在 轴上轴上.称为单叶双曲面的称为单叶双曲面的腰

37、椭圆腰椭圆.（2）单叶双曲面与坐标面）单叶双曲面与坐标面 的交线是中心在的交线是中心在坐标原点的坐标原点的双曲线双曲线：实轴为实轴为 轴，轴，虚轴为虚轴为 轴轴.与平面与平面 的交的交线为双曲线：线为双曲线：（中心（中心都都在在 轴上）轴上）实轴实轴虚轴虚轴 轴轴, 轴轴.实轴实轴虚轴虚轴 轴轴, 轴轴.截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.交线是交线是两对相交直线两对相交直线.（3）单叶双曲面与坐标面）单叶双曲面与坐标面 及平面及平面 的的交线都是交线都是双曲线双曲线；如果如果则方程变为则方程变为它可以看成是由它可以看成是由平面内的平面内的绕绕旋转一周而成的旋转曲面旋转一周而成

38、的旋转曲面.双曲线双曲线轴轴即即单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面.7.9.3 双叶双曲面叫做双叶双曲面的叫做双叶双曲面的顶点顶点.双叶双曲面与双叶双曲面与 轴，轴，轴都不相交，轴都不相交，轴交于两点轴交于两点 这两点这两点只与只与因此曲面分成两叶因此曲面分成两叶与与定义定义显然，双叶双曲面关于三个坐标平面，三个坐标轴显然，双叶双曲面关于三个坐标平面，三个坐标轴标轴以及坐标原点都标轴以及坐标原点都对称对称 .从方程从方程 (*) 易知：曲面上易知：曲面上恒有恒有 ，(*)方程方程 (*) 称为称为双叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面用截痕法讨论：用截痕法讨论：曲面与坐标面曲面与坐标面 不相交不相

39、交；用用截曲面，截曲面， 截痕为截痕为椭圆椭圆:曲面与坐标面曲面与坐标面 的交线分别是的交线分别是双曲线双曲线：双叶双曲面双叶双曲面分别用分别用去截双曲面去截双曲面截痕为截痕为双曲线双曲线:单叶双曲面与双叶双曲面单叶双曲面与双叶双曲面统称为统称为双曲面双曲面.7.9.4 椭圆抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面所表示的曲面称为所表示的曲面称为（不妨假设（不妨假设定义定义它没有对称中心它没有对称中心.椭圆抛物面关于椭圆抛物面关于平面及平面及轴都轴都对称对称 .用截痕法讨论：用截痕法讨论：称为椭圆抛物面的称为椭圆抛物面的顶点顶点.称为椭圆抛物面的称为椭圆抛物面的主抛物线主抛物线.它的轴平行于它的轴平行于 轴

40、轴,顶点顶点同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.椭圆抛物面椭圆抛物面的图形如下：的图形如下：旋转抛物面旋转抛物面与平面与平面 的交线为的交线为圆圆.当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.7.9.5 双曲抛物面 （马鞍面）（马鞍面） 双曲抛物面双曲抛物面,所表示的曲面称为所表示的曲面称为定义定义双曲抛物面关于双曲抛物面关于它没有对称中心它没有对称中心 .平面及平面及对称对称.轴都轴都双曲抛物面的方程中的平方项双曲抛物面的方程中的平方项 异号异号.椭圆抛物面与椭圆抛物面与双曲抛物面统称为双曲抛物面统称为抛物面抛物面.抛物面是抛物面是无心无心二次曲面二次曲面.用截痕法

41、讨论：用截痕法讨论：(1) 用三个坐标平面用三个坐标平面截割曲面截割曲面 ，所得截，所得截痕分别为：痕分别为：两条相交于原点两条相交于原点 的直线的直线 .平面内平面内称为双曲抛物面的称为双曲抛物面的主抛物线主抛物线.它们所在的平面相互垂直，它们所在的平面相互垂直，有相同的顶点与对称轴，开有相同的顶点与对称轴，开口方向相反口方向相反 .实轴平行于实轴平行于 y 轴，虚轴平行于轴，虚轴平行于 x 轴轴 . (2) 用平行于用平行于xoy面面的平面的平面 z = h0 截双截双曲抛物面所得的交线曲抛物面所得的交线是双曲线：是双曲线：用平面用平面 z = h0 截，截，截痕为：截痕为：截痕是截痕是双

42、曲线双曲线，实轴平行于实轴平行于 x 轴，轴，虚轴平行于虚轴平行于 y 轴轴 .开口向上开口向上 . . (3) 用平行于用平行于 yoz面的平面面的平面 x = h 截截双曲抛物面所得的双曲抛物面所得的交线是抛物线：交线是抛物线：对称轴平行于对称轴平行于 z 轴，轴，顶点为顶点为 (4) 用平行于用平行于 xoz面的平面面的平面 y = h 截截双曲抛物面所得的双曲抛物面所得的交线是抛物线：交线是抛物线：开口向下开口向下 . .对称轴平行于对称轴平行于 z 轴，轴， 7.9.6 二次锥面用截痕法研究其形状用截痕法研究其形状.二次锥面二次锥面截痕：截痕：椭圆椭圆椭圆椭圆在在上上圆锥面圆锥面即即解解 解解