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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第第2 2章章 一一元函数元函数微分学微分学高等数学高等数学A A2.2 2.2 中值定理中值定理 2.2.2 泰勒公式泰勒公式 2.2 2.2 中值定理中值定理TalylorTalylor公式的建立公式的建立公式的建立公式的建立利用利用利用利用TaylorTaylor公式求极限习例公式求极限习例公式求极限习例公式求极限习例1-31-32.2.2 Taylor2.2.2 Taylor公式公式公式公式TalylorTalylor公式公式公式公式几个初等函数的几个初等函数的几个初等函数的几个初等函数的Maclaurin
2、Maclaurin公式公式公式公式TalylorTalylor公式的应用公式的应用公式的应用公式的应用在近似计算中的应用习例在近似计算中的应用习例在近似计算中的应用习例在近似计算中的应用习例8-98-9利用利用利用利用TaylorTaylor公式证明不等式习例公式证明不等式习例公式证明不等式习例公式证明不等式习例4-74-7内容小结内容小结课堂思考与练习课堂思考与练习微微分分中中值值定定理理特点:一、一、Talylor公式的建立公式的建立以直代曲以直代曲在微分应用中已知近似公式在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度 ?如何估计误差如何估计误差 ?x 的
3、一次多项式故故令令则则2. 余项估计余项估计令令(称为余项称为余项) , 则有则有二、二、Talylor中值定理中值定理 公式公式 称为称为 的的 n 阶阶Talylor公式公式 .公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的Lagrange余项余项 .其中其中公式公式 称为称为n 阶阶Talylor公式的公式的Peano余项余项 .注意到注意到* 可以证明可以证明: 式成立式成立特例特例:(1) 当当 n = 0 时时, Talylor公式变为公式变为Lagrange中值公式中值公式(2) 当当 n = 1 时时, Talylor公式变为公式变为可见可见误差误差称为称为Maclaurin
4、公式公式 .则有误差估计式若在若在公式成立的区间上公式成立的区间上由此得近似公式由此得近似公式三、几个初等函数的三、几个初等函数的Maclaurin公式公式其中其中其中其中类似可得类似可得其中其中其中其中已知已知其中其中类似可得类似可得1. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限四、泰勒公式的应用四、泰勒公式的应用解解:由于用洛必塔法则不方便用洛必塔法则不方便!用Taylor公式将分子展到项,解解:解解:2. 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例5. 设函数设函数f(x)在在0,1上具有三阶连续导数上具有三阶连续导数, 且且 证明证明:例例5. 设函数设函数f(x)在在0,1上具有三
5、阶连续导数上具有三阶连续导数, 且且 证明证明: 由由 f(x)在在0,1上具有三阶连续导数上具有三阶连续导数,且且 从而从而两式相减两式相减得，得，证明证明:证明证明:3. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差误差M 为为在包含在包含 0 , x 的某区间上的上界的某区间上的上界.需解问题的类型需解问题的类型:1) 已知已知 x 和误差限和误差限 , 要求确定项数要求确定项数 n ;2) 已知项数已知项数 n 和和 x , 计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;3) 已知项数已知项数 n 和误差限和误差限 , 确定公式中确定公式中 x 的适用范围的适用范围.在近似计算中的应用习例在
6、近似计算中的应用习例 例例8 8、计算无理数、计算无理数 e 的近似值的近似值 , 使误差不超过使误差不超过例例9 9、用近似公式、用近似公式计算计算 cos x 的近似值的近似值,使其精确到使其精确到 0.005 , 试确定试确定 x 的适用范围的适用范围.已知已知例例8 8、计算无理数、计算无理数 e 的近似值的近似值 , 使误差不超过使误差不超过解解:令令 x = 1 , 得得由于由于欲使欲使由计算可知当由计算可知当 n = 9 时上式成立时上式成立 ,因此因此的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为说明说明: 注意舍入误差对计算结果的影响注意舍入误差对计算结果的影响. .本例本例若每项四舍五入
7、到小数点后若每项四舍五入到小数点后 6 位位, ,则则 各项舍入误差之和不超过各项舍入误差之和不超过总误差为总误差为这时得到的近似值这时得到的近似值不能保证不能保证误差不超过误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位因此计算时中间结果应比精度要求多取一位. .解解: 近似公式的误差近似公式的误差令令解得解得即当即当时时, 由给定的近似公式计算的结果由给定的近似公式计算的结果能准确到能准确到 0.005.例例9 9、用近似公式、用近似公式计算计算 cos x 的近似值的近似值,使其精确到使其精确到 0.005 , 试确定试确定 x 的适用范围的适用范围.内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .2. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算(3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等.(2) 利用多项式逼近函数 , 思考题：思考题：习题习题2.2 第第1题（题（6）到（）到（7）思考题参考答案思考题参考答案课堂练习：课堂练习：习题习题2.2 第第16题到第题到第17题题练习参考答案练习参考答案
