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1、第一节第一节 不定积分的概念及其不定积分的概念及其计算法概述计算法概述一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表二、基本积分表三、不定积分的性质及简单计算三、不定积分的性质及简单计算四、小结四、小结例例定义：定义：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 原函数原函数关于原函数有以下三个问题：关于原函数有以下三个问题：1) 满足什么条件满足什么条件 , 其原函数一定存在？其原函数一定存在？原函数存在定理：原函数存在定理： 若若 在区间在区间 I 内连续内连续 , 则在区间则在区间 I 内一定存在内一定存在 的原函数的原函数.简言之：简言之：连续函数一定有原函
2、数连续函数一定有原函数.2) 若若f(x)有原函数有原函数 ,原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例即即:若若 f(x) 有原函数有原函数 ,则则 f(x) 的原函数有无的原函数有无穷多个穷多个.3) f(x)的全体原函数如何表示的全体原函数如何表示?（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则（ 为任意常数）为任意常数）关于原函数的两个说明：关于原函数的两个说明： 若若 F(x) 是是f(x)的一个原函数的一个原函数 ,则则 f(x) 的全体的全体原函数可表示为原函数可表示为F(x) +C. (C为任意常数）为任意常数）任任意意常常数
3、数积积分分号号被被积积函函数数 不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量 若若 F(x) 是是f(x)在区间在区间 I 内的一个原函数内的一个原函数 ,则则 f(x)在区间在区间 I 内的内的全体全体原函数称为原函数称为f(x)在区在区间间 I 内的内的不定积分不定积分,例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求 不定积分的几何意义不定积分的几何意义 不定积分称为积分曲线族不定积分称为积分曲线族 , 且在横坐标且在横坐标相同的每条曲线上的切线斜率相等相同的每条曲线上的切线斜率相等.为平面上的为平面上的 一条曲线一条曲线.为平面上的为平面上的 一族曲线一族曲线.设设 F
4、(x) 是是 f(x) 的一个原函数的一个原函数结论：结论：求不定积分的运算与微分运算是求不定积分的运算与微分运算是互逆互逆互逆互逆的的. 不定积分与微分不定积分与微分( (导数导数) )的关系的关系由此根据微分公式可得积分公式由此根据微分公式可得积分公式.实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.二、二、 基本积分表基本积分表基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：简写为简写为例例3 3 求积分求积分解解根据积分公
5、式（根据积分公式（2）证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、 不定积分的性质不定积分的性质及简单计算及简单计算例例4 4 求积分求积分解解 根据不定积分的运算性质和基本函数的积根据不定积分的运算性质和基本函数的积分公式分公式,可计算简单函数的不定积分可计算简单函数的不定积分.例例5 5 求积分求积分解解例例6 6 求积分求积分解解例例7 求积分求积分解解例例8 8 求积分求积分解解例例9 9 求积分求积分解解例例1010 求积分求积分解解例例1111 求积分求积分解解说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的
6、被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.注意注意: 1) 导数是唯一的导数是唯一的 , 但不定积分不唯一但不定积分不唯一. 2) 任一初等函数都可求导数任一初等函数都可求导数 , 且导数一般且导数一般也为初等函数也为初等函数 , 但一些初等函数的不定积分就但一些初等函数的不定积分就不能用初等函数来表示不能用初等函数来表示 .这些不定积分的原函数存在这些不定积分的原函数存在 , 但不能用初等函但不能用初等函数来表示数来表示 .基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质大家别忘了公式表里总结的积分公大家别忘了公式表里总结的积分公式式 原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、四、 小结小结
