一、无穷小量极限极限(jíxiàn)(jíxiàn)为零的函数称为无穷小为零的函数称为无穷小量量. .定义定义(dìngyì)：：Note:(2)无穷小量相对无穷小量相对(xiāngduì)于自变量的某一变化过程而言于自变量的某一变化过程而言.(3)无穷小量不是指很小的数而是指一个无穷小量不是指很小的数而是指一个变量变量当当 时，时， 是无穷小量；是无穷小量；当当 时，时， 是无穷小量；是无穷小量；当当 时，时， 是无穷小量；是无穷小量；第1页/共18页第一页，共19页 例：自变量例：自变量x x在何变化过程在何变化过程(guòchéng)(guòchéng)中中, , 下列变量下列变量 f (x) f (x)为无为无穷小？穷小？解：解：(3) 无论无论(wúlùn) x 趋于何值趋于何值, 第2页/共18页第二页，共19页 二、无穷小量的性质(xìngzhì)：•性质性质1: 1: 有限个无穷小量之和、差、积仍为无穷小量有限个无穷小量之和、差、积仍为无穷小量•性质性质2:2:无穷小量与有界量之积仍为无穷小量。
无穷小量与有界量之积仍为无穷小量 •注意注意(zhù yì)(zhù yì)：上述结论中：上述结论中" "有限个有限个" "不能轻易去掉不能轻易去掉. .比如无限比如无限个无穷小量之和不一定无穷小量个无穷小量之和不一定无穷小量同一(tóngyī)自变量变化过程)n n个个推论推论1 1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小：常数与无穷小的乘积仍为无穷小. .推论推论2 2 有极限的变量与无穷小的乘积仍为无穷小有极限的变量与无穷小的乘积仍为无穷小. .第3页/共18页第三页，共19页 n n解：|sinx|≤1(有界量有界量).( (无穷小量与有界量之积无穷小量与有界量之积) )例例: :第4页/共18页第四页，共19页 第5页/共18页第五页，共19页 无穷小量与函数极限无穷小量与函数极限(jíxiàn)的关系的关系定理定理(dìnglǐ)2.3.1：： 其中其中(qízhōng) (qízhōng) 为为 时的无时的无穷小量第6页/共18页第六页，共19页 •§2.6 无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较(bǐjiào)一、无穷小量阶的比较一、无穷小量阶的比较(bǐjiào)二、无穷小量的等价替换二、无穷小量的等价替换(tì huàn)原理原理第7页/共18页第七页，共19页。
无穷小量虽然都是趋于零的变量，不同 无穷小量虽然都是趋于零的变量，不同(bù tónɡ)的无穷小量的无穷小量趋于零的速度都不一样，有时差别很大趋于零的速度都不一样，有时差别很大一、无穷小量阶的比较一、无穷小量阶的比较(bǐjiào)第8页/共18页第八页，共19页 定义定义(dìngyì)2.6.1:设设 和和 均是均是 变化趋势下变化趋势下的两个无穷小量，的两个无穷小量，则称则称 是是 的的高阶高阶的无穷小量的无穷小量.则称则称 与与 是是同阶同阶的无穷小量的无穷小量.特别特别(tèbié)地，地， 则称则称 与与 是是等价等价的无穷小量的无穷小量.(3) 如果如果 则称则称 是是 的的k阶无穷小阶无穷小.第9页/共18页第九页，共19页 例：当例：当x0+时时,对无穷小量对无穷小量x1/2,2x,4x,x2进行进行(jìnxíng)比较注意：不是任何两个注意：不是任何两个(liǎnɡ ɡè)无穷小量都可以比较阶的无穷小量都可以比较阶的高低！高低！第10页/共18页第十页，共19页。
等价(děngjià)无穷小量：第11页/共18页第十一页，共19页 则则 定理定理2.6.2 (等价替换原理等价替换原理) 设设 为同一极限过为同一极限过程中无穷小量程中无穷小量, 且且,若若存在存在, 二、无穷小量等价(děngjià)替换原理：无穷小等价替换只能在分子分母中的因式无穷小等价替换只能在分子分母中的因式(yīnshì)(yīnshì)中用中用, ,不能在加减运算中用不能在加减运算中用第12页/共18页第十二页，共19页 n n解：解：n n解：解：例：第13页/共18页第十三页，共19页 错误错误(cuòwù)(cuòwù)的的代换：代换：加减运算加减运算(yùn suàn)(yùn suàn)内各部不能替换内各部不能替换第14页/共18页第十四页，共19页 第15页/共18页第十五页，共19页 小结小结(xiǎojié)1、理解、理解(lǐjiě)无穷小量的定义无穷小量的定义2、掌握无穷小量的性质、掌握无穷小量的性质3、无穷小量阶的定义和阶的比、无穷小量阶的定义和阶的比较较第16页/共18页第十六页，共19页。
作业(zuòyè)：P41：2 (2) 3(1)(2)(3)(6) 第17页/共18页第十七页，共19页 感谢您的欣赏(xīnshǎng)！第18页/共18页第十八页，共19页 内容(nèiróng)总结一、无穷小量第2页/共18页性质1: 有限个无穷小量之和、差、积仍为无穷小量性质2:无穷小量与有界量之积仍为无穷小量注意：上述结论中"有限个"不能轻易去掉.比如无限(wúxiàn)个无穷小量之和不一定无穷小量推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小.第3页/共18页例：当x0+时,对无穷小量x1/2,2x,4x,x2进行比较3、无穷小量阶的定义和阶的比较3(1)(2)(3)(6)第17页/共18页感谢您的欣赏第十九页，共19页。