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1、2.1 曲线的参数方程1、参数方程一、概念的引入 已知该摩天轮半径为已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋米，逆时针匀速旋转一周需时转一周需时20分钟。分钟。 如图所示，某游客现在如图所示，某游客现在P0点（其中点（其中P0点点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过和转轴的连线与水平面平行）。问：经过t秒，秒，该游客的位置在何处该游客的位置在何处? 为变数为变数 方程方程、是否是圆心在原点，是否是圆心在原点，半径为半径为r r的圆方程？为什么？的圆方程？为什么？ t t为变数为变数 同一曲线可由不同的参数方程同一曲线可由不同的参数方程来表示来表示例一个质点P开始时位于x轴正半轴的点P0处，按
2、逆时针方向绕原点O以匀角速度作圆周运动，其中|OP|=r,求此质点P的坐标与时刻t的关系。OXpY 若要表示一个完整的圆，则若要表示一个完整的圆，则t t与与较为较为合适的取值范围是什么？合适的取值范围是什么？ 变数变数t（或（或 ）在以上范围内取值时，）在以上范围内取值时，可以表示一个完整的圆。可以表示一个完整的圆。 我们把方程我们把方程（或（或）叫做）叫做圆的参圆的参数方程数方程，变数，变数t t（或（或 ）叫做）叫做参数参数。 圆的参数方程及参数的定义圆的参数方程及参数的定义圆的参数方程及参数的定义圆的参数方程及参数的定义二、参数方程的定义一般地，平面直角坐标系中，如果曲线一般地，平面直
3、角坐标系中，如果曲线C上任上任意一点的坐标意一点的坐标x,y都是某个变量都是某个变量t的函数，的函数，并且对于并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的每一个允许值，由方程组所确定的点的点P（x,y）都在曲线）都在曲线C上，那么方程组就上，那么方程组就叫做曲线叫做曲线C的参数方程。的参数方程。变量变量t叫做参变量或参变数，简称参数。叫做参变量或参变数，简称参数。相对地相对地,x,y满足的方程满足的方程F(x,y)=0叫做曲线的普通方程叫做曲线的普通方程.几点说明：几点说明：普通方程是相对相对参数方程而言的，反普通方程是相对相对参数方程而言的，反映的是变量映的是变量x,y的直接关系；的直接关系；
4、参数方程是在直角坐标系下曲线方程的另参数方程是在直角坐标系下曲线方程的另一种形式，反映的是变量一种形式，反映的是变量x,y的间接关系；的间接关系；普通方程和参数方程是同一曲线的两种不普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同形式，他们之间可以互相转化同形式，他们之间可以互相转化二、普通方程和参数方程的互化例1、将下列曲线的参数方程化为普通方程练习、将下列曲线的参数方程化为普通方程例2、作下列参数方程所表示的曲线练习、作下列参数方程所表示的曲线化为普通方程。A圆B双曲线C椭圆(无左顶点)D椭圆(无下顶点)例3、将普通方程x2+y2-4y=0化为参数方程按下列条件，把x2+y2-2ry=0（r0）化为
5、参数方程:(1)以曲线上的点与圆心的连线和x轴正方向的夹角为参数(2)以曲线上的点与原点的连线和x轴正方向的夹角为参数【例4】化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线【例5】将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指出方程所代表的曲线形状2.1 曲线的参数方程2、几种曲线的参数方程引入参数的目的：引入参数的目的：两个变量转化为一个变量来解决数学问题；两个变量转化为一个变量来解决数学问题；刻画的点比较明显简洁；刻画的点比较明显简洁；有些曲线上有些曲线上x,y的直接关系很难表示出来的直接关系很难表示出来1 1、写出经过定点、写出经过定点P P（3,13,1）且该直线的一个方）且该直线的一个方向向量为
6、（向向量为（1 1，-1)-1)的直线的参数方程。的直线的参数方程。 2 2、写出经过定点、写出经过定点P P（3,13,1）且倾斜角为）且倾斜角为 的直线的直线l l的参数方程。的参数方程。 一、直线的参数方程如果直线经过点，且的一个方向向量为（u,v),设(x,y)是上任意一点，此时的参数方程可写为例题：求直线l 上到点P（-1，2）的距离等于2的点的坐标。例题：直线l的参数方程为：求过点P（,-1）且与平行的直线m在y轴上的截距一、直线的参数方程如果的倾斜角为，且的一个方向向量为（cos，sin）（0），此时方程可写为例1、写出经过定点P（3，1），且倾斜角为的直线l的参数方程。练习：练
7、习：1、写出倾斜角为、写出倾斜角为150度，且经过点（度，且经过点（-1，2）的直线的参数方程的直线的参数方程2、若直线、若直线l的参数方程为的参数方程为求直线求直线l经过的点、参数、斜率和倾斜角。经过的点、参数、斜率和倾斜角。二、圆的参数方程如果圆C的圆心为（xo,yo）,半径为r则此时方程可写为例、已知点A（x，y）在圆C：上运动，求x+y+的最大值例1、已知点A（x，y）在圆C：上运动，求x+y的最大值2、在圆x2+y2-2x=0上求一点P，使P到直线x+y+1=0的距离最大。练习：求椭圆的两个焦点坐标三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程为例3已知已知P（x，y）是椭圆）是椭圆 上的一个动点
8、，求上的一个动点，求 的最大值的最大值例.椭圆上任意一点P（除短轴端点外）与短轴的两个端点的连线交x轴于点M，N，求证：*四、双曲线的参数方程双曲线的参数方程为练习：求直线练习：求直线 与双曲线与双曲线 的交点的坐标的交点的坐标例求双曲线 的焦点坐标和渐近线方程。*五、抛物线的参数方程抛物线的参数方程为例抛物线抛物线y2=4x上求一点，使点上求一点，使点P到直线到直线l：4x-3y+3=0的距离最短，并求此时的距离最短，并求此时距离的最小值距离的最小值2.1 曲线的参数方程3、参数方程的建立例：以原点为圆心、R为半径做一个圆，设定点A的坐标是（2R，0）,B为圆上任意一点，M为线段AB的中点，
9、求点M轨迹的参数方程。六、参数方程的建立例、一木棒AB的两端A、B各在相互垂直的两杆上滑动，且AB=8cm，求AB的中点P的轨迹的参数方程。在三角形AB中,ABC=90o,|AB|=|BC|=4,顶点A、B分别在y轴、x轴的正半轴（包括坐标原点）上移动，求顶点C的轨迹方程（A、B、C按逆时针方向排列）等边三角形的边长为a，当它的两个顶点分别在x轴、y轴的正方向上移动时，求第三个顶点的轨迹的参数方程。例5、设炮弹的发射角为，发射的初速度为v0，求弹道的轨迹方程（不计空气阻力等因素）6、一物件作斜抛运动，初速度为40米/秒，抛射方向与水平方向成45o角，求这物体运动的轨迹的参数方程（不计空气阻力等
10、因素）例4、已知炮弹运动轨迹的参数方程是设vo是定值，可以变动，当为何值时，炮弹的射程最大？最大值是多少思考（1）若圆的一般方程为 ，你能写出它的一个参数方程吗？（2）根据引例中的实际情况，游客总是从摩天轮的最低点登上转盘。若某游客登上转盘的时刻记为t0，高度为h0，则经过时间t该游客的位置在何处？你能否建立合适的参数方程，确定游客的具体位置？（3）例题1的直线，你能否建立出其他的参数方程在三角形ABC中,ABC=90o,|AB|=|BC|=4,顶点A、B分别在y轴、x轴的正半轴（包括坐标原点）上移动，求顶点C的轨迹方程（A、B、C按逆时针方向排列）例2、一木棒AB的两端A、B各在相互垂直的两
11、杆上滑动，且AB=8cm，求AB的中点P的轨迹的参数方程。等边三角形的边长为a，当它的两个顶点分别在x轴、y轴的正方向上移动时，求第三个顶点的轨迹的参数方程。例3、设炮弹的发射角为，发射的初速度为v0，求弹道的轨迹方程（不计空气阻力等因素）一物件作斜抛运动，初速度为40米/秒，抛射方向与水平方向成45o角，求这物体运动的轨迹的参数方程（不计空气阻力等因素）参数的选择求曲线的参数方程时,参数可以选时间,角,斜率,线段长 等能反映出问题的物理意义或几何意义一般的，被选作参数的量，应满足以下两条(1)选定的参数可以确定曲线上所有点的位置(2)选定的参数t和x、y的相互关系比较明显，能较容易的列出x、
12、y与t之间的函数关系以原点为圆心、R为半径做一个圆，设定点A的坐标是（2R，0）,B为圆上任意一点，M为线段AB的中点，求点M轨迹的参数方程。参数方程化为普通方程的基本方法是“消去参数”。再消去参数时要注意变量x、y的取值范围，使化成的普通方程和参数方程等价。五、参数方程的应用例2、已知炮弹运动轨迹的参数方程是设vo是定值，可以变动，当为何值时，炮弹的射程最大？最大值是多少设排球场总长为18米，网高2米，运动员站在离网3米远的线上正对网竖直跳起，把球水平向前击出，如果击球点的高度为2.5米，当球水平向前击出时，速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界？课堂小结参数方程化为普通方程普通方程化为参数方程参数方程的简单应用
