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1、一、一个方程所确定一、一个方程所确定(qudng)的隐函的隐函数及其导数数及其导数定理(dngl)1. (dngl)1. 设函数则方程(fngchng)单值连续函数 y = f (x) ,并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数第1页/共21页第一页，共22页。两边(lingbin)对 x 求导在的某邻域(ln y)内则机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第2页/共21页第二页，共22页。若F( x , y ) 的二阶偏导数(do sh)也都连续,二
2、阶导数二阶导数(dosh):则还有机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第3页/共21页第三页，共22页。例例1.验证验证(ynzhng)方程方程在点(0,0)某邻域(ln y)可确定(qudng)一个单值可导隐函数解: 令连续 ,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求第4页/共21页第四页，共22页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第5页/共21页第五页，共22页。两边(lingbin)对 x 求导两边(lingbin)再对 x 求导令 x = 0 , 注意(zh y)此时导数的另一求法导数的另
3、一求法 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共21页第六页，共22页。定理定理(dngl)2.若函数(hnsh) 的某邻域内具有连续(linx)偏导数 ,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共21页第七页，共22页。两边(lingbin)对 x 求偏导同样(tngyng)可得则机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第8页/共21页第八页，共22页。例例2.设设解法1 利用(lyng)隐函数求导机动 目录 上页
4、 下页 返回(fnhu) 结束 再对 x 求导第9页/共21页第九页，共22页。解法解法(jif)2利用公式利用公式设则两边(lingbin)对 x 求偏导机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第10页/共21页第十页，共22页。例例3.设F( x , y)具有(jyu)连续偏导数,解法(ji f)1 利用偏导数公式.确定(qudng)的隐函数,则已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故第11页/共21页第十一页，共22页。对方程两边(lingbin)求微分:解法(ji f)2 (ji f)2 微分法. .机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第12页/共21页第十二页，
5、共22页。二、方程组所确定的隐函数二、方程组所确定的隐函数(hnsh)组组及其导数及其导数隐函数存在(cnzi)定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数(do sh)组成的行列式称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共21页第十三页，共22页。定理定理(dngl(dngl)3.)3.的某一邻域内具有(jyu)连续偏导数；设函数(hnsh)则方程组的单值连续函数且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共21页第十四页，共
6、22页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第15页/共21页第十五页，共22页。有隐函数(hnsh)组则两边(lingbin)对 x 求导得设方程组设方程组在点 P 的某邻域(ln y)内公式 目录 上页 下页 返回 结束 故得系数行列式第16页/共21页第十六页，共22页。同样(tngyng)可得机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共21页第十七页，共22页。例例4.设设解:方程组两边(lingbin)对 x 求导，并移项得求练习(linx): 求机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 答案:由题设故有第18页/共21页第十八页，共22页。内容内容
7、(nirng)小结小结1. 隐函数( 组) 存在(cnzi)定理2. 隐函数(hnsh) ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共21页第十九页，共22页。作 业 P37 3 , 9 , 10 (1); (4)第六节 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第20页/共21页第二十页，共22页。感谢您的观看(gunkn)！第21页/共21页第二十一页，共22页。内容(nirng)总结一、一个方程所确定的隐函数及其导数。 具有连续的偏导数。在点(0,0)某邻域。解: 令。由 定理1 可知,。在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可。解法(ji f)1 利用隐函数求导。再对 x 求导。设F( x , y)具有连续偏导数,。解法(ji f)1 利用偏导数公式.。称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.。两边对 x 求导得。在点 P 的某邻域内。方程组两边对 x 求导，并移项得。1. 隐函数( 组) 存在定理第二十二页，共22页。
