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1、第一讲：数列极限、函数的极限第一讲：数列极限、函数的极限1 数列极限数列极限2 函数极限的概念与性质函数极限的概念与性质3函数极限的计算方法函数极限的计算方法4无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较极限洛比塔法则1、数列的定义、数列的定义例如例如极限洛比塔法则问题问题:当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:极限洛比塔法则如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是
2、发散的.注意：注意：极限洛比塔法则2、数列极限的性质数列极限的性质1.有界性有界性例如例如,有界有界无界无界极限洛比塔法则问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.2.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .极限洛比塔法则极限洛比塔法则2.另两种情形另两种情形:极限洛比塔法则二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限极限洛比塔法则极限洛比塔法则2.几何解释几何解释:注意：注意：极限洛比塔法则例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.极限洛比塔法则3.单侧极限单侧极限:例如例如,极
3、限洛比塔法则左极限左极限右极限右极限极限洛比塔法则左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证极限洛比塔法则三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.有界性有界性2.唯一性唯一性极限洛比塔法则推论推论3.不等式性质不等式性质定理定理( (保序性保序性) )极限洛比塔法则定理定理( (保号性保号性) )推论推论极限洛比塔法则例例证证极限洛比塔法则二者不相等二者不相等,极限洛比塔法则四、小结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)极限洛比塔法则思考题思考题极限洛比塔法则思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.极限洛比塔法则2函数极限运
4、算方法函数极限运算方法极限运算法则极限运算法则定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得极限洛比塔法则极限洛比塔法则推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2有界，有界，极限洛比塔法则二、求极限方法举例二、求极限方法举例例例1 1解解极限洛比塔法则小结小结: :极限洛比塔法则解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2极限洛比塔法则解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)极限洛比塔法则例例4 4解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)极限洛比塔法则小结小结: :无穷小分出法无穷小分出法: :以
5、分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.极限洛比塔法则例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限.极限洛比塔法则例例6 6解解极限洛比塔法则例例7 7解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,极限洛比塔法则两边夹定理，重要极限两边夹定理，重要极限1.夹逼准则夹逼准则上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限极限洛比塔法则注意注意: :准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则.极限洛比塔法则例例1 1解解由夹逼定理得由夹逼定理得极限洛比塔法则二、两个重要极限二、两个
6、重要极限(1)极限洛比塔法则极限洛比塔法则例例3 3解解极限洛比塔法则(2)定义定义极限洛比塔法则例例4 4解解例例5 5解解极限洛比塔法则三、小结三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .极限洛比塔法则思考题思考题求极限求极限极限洛比塔法则思考题解答思考题解答极限洛比塔法则三、小结三、小结1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷
7、小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.极限洛比塔法则思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？极限洛比塔法则思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误极限洛比塔法则4、无穷小、无穷小1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.例如例如,注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数
8、混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.极限洛比塔法则3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.极限洛比塔法则推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个
9、无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小极限洛比塔法则二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.极限洛比塔法则特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.极限洛比塔法则不是无穷大不是无穷大无界，无界，极限洛比塔法则2、无穷小与无穷大的关系、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷
10、大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论.极限洛比塔法则四、小结四、小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数
11、和（乘积）未必是无穷小. .（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.极限洛比塔法则一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限极限洛比塔法则定义定义: :极限洛比塔法则例例1 1解解例例2 2解解极限洛比塔法则常用等价无穷小常用等价无穷小: :用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如例如,极限洛比塔法则二、等价无穷小替换二、等价无穷小替换定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )证证极限洛比塔法则例例3 3解解不能滥用等价无
12、穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意极限洛比塔法则例例4 4解解解解错错极限洛比塔法则例例5 5解解极限洛比塔法则三、小结三、小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的无穷小的阶阶.极限洛比塔法则思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？极限洛比塔法则思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时极限洛比塔法则思考题思考题极限洛比塔法则思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例有有极限洛比塔法则
