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1、例例1 1 有有称此二次型称此二次型对应的矩阵对应的矩阵称为称为. .5.3 5.3 二次型与对称矩阵的有定性二次型与对称矩阵的有定性考虑二次型考虑二次型是是正定二次型正定二次型. .1考虑二次型考虑二次型 有有称此二次型是称此二次型是相应的矩阵相应的矩阵称为称为半正定矩阵半正定矩阵. .例例2 2 存在存在使得使得半正定二次型半正定二次型. .2例例3 3 称此二次型是称此二次型是相应的矩阵相应的矩阵为为负定矩阵负定矩阵. .考虑二次型考虑二次型 有有负定二次型负定二次型. .3例例4 4 有有称此二次型是称此二次型是相应的矩阵相应的矩阵称为称为半负定矩阵半负定矩阵. .半负定半负定二次型二
2、次型. .考虑二次型考虑二次型 存在存在使得使得4 对于具有对称矩阵对于具有对称矩阵A A如果对任何如果对任何都有都有则称二次型则称二次型 A A称为称为正定矩阵正定矩阵是是正定二次型正定二次型定义定义5.4 5.4 的二次型的二次型( (负定二次型负定二次型) )( (负定矩阵负定矩阵) )5对于具有对称矩阵对于具有对称矩阵A A 如果对任如果对任都有都有则称二次型则称二次型 A A称为称为半半正定矩阵正定矩阵. .且至少存在一个且至少存在一个 使使是是半半正定二次型正定二次型. .定义定义5.4 5.4 的二次型的二次型6对于具有对称矩阵对于具有对称矩阵A A 如果对任如果对任都有都有则称
3、二次型则称二次型 A A称为称为半半负定矩阵负定矩阵. .且至少存在一个且至少存在一个 使使是是半半负定二次型负定二次型. .定义定义5.4 5.4 的二次型的二次型7二次型二次型 有有 有有 且且使得使得是是正正定的定的二次型二次型 有有 是是负负定的定的二次型二次型 是半是半正正定的定的二次型二次型 是半是半负负定的定的有有 且且使得使得8例例 不是不是 正定的正定的; ;( (半半) )( (半半) )也不是也不是 负定的负定的. .此时此时称为称为不定的不定的. . 二次型二次型9 二次型及其矩阵二次型及其矩阵不具有有定性的二次型不具有有定性的二次型只有对称矩阵只有对称矩阵矩阵矩阵 谈
4、到矩阵为正定、谈到矩阵为正定、负定、负定、 半正定、半正定、 半负定半负定统称为二次型统称为二次型负定、半正定、半负定负定、半正定、半负定. .均已隐含它是对称矩阵均已隐含它是对称矩阵. .才有对应的二次型才有对应的二次型, ,及其矩阵及其矩阵的的及其矩阵及其矩阵称为称为不定的不定的. .有定性有定性. .故只有对称故只有对称才谈的上才谈的上正定、正定、负定、半正定、半负定负定、半正定、半负定, ,的正定、的正定、10它对应的二次型它对应的二次型对称矩阵对称矩阵A A为为正定正定矩阵矩阵它对应的二次型它对应的二次型对称矩阵对称矩阵A A为负为负定定矩阵矩阵它对应的二次型它对应的二次型对称矩阵对
5、称矩阵A A为为半正定半正定矩阵矩阵它对应的二次型它对应的二次型对称矩阵对称矩阵A A为为半负定半负定矩阵矩阵为为正定正定二次型二次型为为负定负定二次型二次型为为半正定半正定二次型二次型为为半负定半负定二次型二次型11例例 对任何对任何故二次型故二次型为正定二次型为正定二次型. .为正定矩阵为正定矩阵. .当当时，时，对应的矩阵对应的矩阵12如如为正定二次型为正定二次型. .故单位矩阵故单位矩阵E E为正定矩阵为正定矩阵. .13例例 对任何对任何故二次型故二次型为负定二次型为负定二次型. .为负定矩阵为负定矩阵. .当当时，时，对应的矩阵对应的矩阵14如如为正定二次型为正定二次型. .故故为
6、负定矩阵为负定矩阵. .15例例 对任何对任何故二次型故二次型为半正定二次型为半正定二次型. .为半正定矩阵为半正定矩阵. .当当时，时，对应的矩阵对应的矩阵且至少有一个且至少有一个16如如为半正定二次型为半正定二次型. .为半正定矩阵为半正定矩阵. .17例例 对任何对任何故二次型故二次型为半负定二次型为半负定二次型. .为半负定矩阵为半负定矩阵. .当当时，时，对应的矩阵对应的矩阵且至少有一个且至少有一个18如如为半负定二次型为半负定二次型. .为半负定矩阵为半负定矩阵. .19对角矩阵对角矩阵为正定矩阵为正定矩阵定理定理5.65.6的充要条件是的充要条件是20如果如果A A正定正定, ,
7、证明思路：证明思路： A A正定正定, , 则则B B也正定也正定. .C C可逆可逆. .要证要证定理定理 5.5 5.5 设设A AB B由由A AB B 知，知，设设只需证只需证21如果如果A A正定正定, ,证证 由由C C可逆，可逆，方程组方程组只有零解只有零解. . A A正定正定, , 所以矩阵所以矩阵B B正定正定. .则则B B也正定也正定. .C C可逆可逆. .定理定理 5.5 5.5 设设A AB B由由A AB B 知，知，设设令令22给定二次型给定二次型设该二次型设该二次型化为化为: :若若经过经过非退化非退化正定，正定，则则也正定也正定. .线性替换线性替换23矩
8、阵或二次型为正定矩阵或二次型为正定准则准则2 2 定理定理5.7 5.7 准则准则4 4 准则准则1 1A A与单位矩阵与单位矩阵E E合同合同. .A A的特征值都大于零的特征值都大于零定理定理5.85.8准则准则3 3 f f 的正惯性指标为的正惯性指标为n n以下给出几个以下给出几个作为判别准则作为判别准则. . 存在存在可逆矩阵可逆矩阵C,C,使得使得矩阵矩阵A A为正定矩阵为正定矩阵n n元二次型元二次型f f 正定正定 矩阵矩阵A A为正定矩阵为正定矩阵的的充分必要充分必要条件条件, ,24准则准则5 5 定义定义5.55.5称为矩阵称为矩阵A A的的顺序主子式顺序主子式. .A
9、A的顺序主子式都大于零的顺序主子式都大于零. . ( (定理定理5.9)5.9)矩阵矩阵A A为正定矩阵为正定矩阵的充分必要的充分必要 条件是条件是25例例 AA正定正定解解 该二次型不正定该二次型不正定. .判别下列矩阵或二次型判别下列矩阵或二次型是否正定是否正定 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为26例例 取何值时取何值时, ,解解 时，时，以下二次型为正定以下二次型为正定二次型对应的矩阵为：二次型对应的矩阵为：当且仅当当且仅当二次型正定二次型正定. .27 矩阵矩阵A A负定负定都有都有证证都有都有矩阵矩阵( (A)A)正定正定. .故判断一个矩阵是否负定故判断一个矩阵是否负定, ,负
10、定的判别：负定的判别：可以转化为判断它的可以转化为判断它的是否正定是否正定. .矩阵矩阵 正定正定. .A A负定负定负矩阵负矩阵28负定负定正定正定A A的顺序主子式的顺序主子式负正负正相间相间. .A A的奇数阶顺序主子式的奇数阶顺序主子式 均小于零均小于零, ,偶数阶顺序主子式偶数阶顺序主子式均大于零均大于零. .29例例A A是负定矩阵是负定矩阵. .注意注意: :矩阵矩阵A A负定负定A A的顺序主子式的顺序主子式负正负正相间相间. .A A的顺序主子式都为的顺序主子式都为负负. .矩阵矩阵A A正定正定A A的顺序主子式都为的顺序主子式都为正正. .30定理定理5.105.10设二次型设二次型则下列各条件等价：则下列各条件等价：是负定二次型；是负定二次型；的负惯性指数为的负惯性指数为n n；(3)(3)实对称矩阵实对称矩阵A A合同于合同于(4) (4) 实对称矩阵实对称矩阵A A的特征值均为负数的特征值均为负数; ;(5)(5)实对称矩阵实对称矩阵A A的奇数阶顺序主子式的奇数阶顺序主子式 均小于零均小于零, ,偶数阶顺序主子式偶数阶顺序主子式均大于零均大于零. .31作业作业P230 3P230 3（1 1），），101032
