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1、第第26周周 加法、加法、乘法原理乘法原理一、知识要点一、知识要点 在做一件事情时，如果有几类不同的方法，而每一类方法中又在做一件事情时，如果有几类不同的方法，而每一类方法中又有几种可能的情况，要求一共有多少种不同的方法，就用加有几种可能的情况，要求一共有多少种不同的方法，就用加法原理来解决；而做一件事情时，如果要分几步完成，完成法原理来解决；而做一件事情时，如果要分几步完成，完成每一步时又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多每一步时又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用乘法原理来解决。少种方法，就用乘法原理来解决。二、精讲精练二、精讲精练【例题【例题1】小红、小丽和
2、小敏三个人到世纪公园游玩拍照留念】小红、小丽和小敏三个人到世纪公园游玩拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种不同的拍照方法？（不考虑站的顺序），共有多少种不同的拍照方法？【思路导航】我们不妨按照相的人数来分类。一个人照相：小【思路导航】我们不妨按照相的人数来分类。一个人照相：小红、小丽和小敏共红、小丽和小敏共3种拍照方法；两人合影：小红和小丽合种拍照方法；两人合影：小红和小丽合影、小红和小敏合影、小丽和小敏合影共影、小红和小敏合影、小丽和小敏合影共3种拍照方法；三种拍照方法；三个人合影只有个人合影只有1种拍照方法。种拍照方法。 3+3+1=7（种）（种） 答：共有答：共有7种不同的拍照方法种不
3、同的拍照方法.【例题【例题2】从北京到天津的列车中途要经过】从北京到天津的列车中途要经过4个站，这列列车从个站，这列列车从北京到天津共要准备多少种不同的车票？北京到天津共要准备多少种不同的车票？【思路导航】从北京到天津的列车中途要经过【思路导航】从北京到天津的列车中途要经过4个站，那么以个站，那么以北京为起点，共要准备北京为起点，共要准备5种不同的车票（分别为到途中第一种不同的车票（分别为到途中第一站、第二站、第三站、第四站和终点天津站）；以途中第一站、第二站、第三站、第四站和终点天津站）；以途中第一站为起点共要准备站为起点共要准备4种不同的车票（分别为到途中第二站、种不同的车票（分别为到途中
4、第二站、第三站、第四站和终点天津站）；照此类推，以途中第二站第三站、第四站和终点天津站）；照此类推，以途中第二站为起点共要准备为起点共要准备3种不同的车票；以途中第三站为起点共要种不同的车票；以途中第三站为起点共要准备准备2种不同的车票；以途中第四站为起点共要准备种不同的车票；以途中第四站为起点共要准备1种不同种不同的车票；的车票； 5+4+3+2+1=15（种）（种） 答：共有答：共有15种不同的拍照方法种不同的拍照方法.【例题【例题3】在】在44的方格图中（如右图），共有多少个正方形？的方格图中（如右图），共有多少个正方形？【思路导航】设每个小正方形的边长为【思路导航】设每个小正方形的边长
5、为1，按照正方形的边长分类探究：，按照正方形的边长分类探究：边长为边长为1的正方形有的正方形有42=16个；个；边长为边长为2的正方形有（的正方形有（41）2=32=9个；个；边长为边长为3的正方形有（的正方形有（42）2=22=4个；个；边长为边长为4的正方形有（的正方形有（43）2=12=1个，据此解答个，据此解答 解：设每个小正方形的边长为解：设每个小正方形的边长为1 边长为边长为1的正方形有的正方形有42=16（个）；（个）； 边长为边长为2的正方形有（的正方形有（41）2=32=9（个）；（个）； 边长为边长为3的正方形有（的正方形有（42）2=22=4（个）；（个）； 边长为边长为
6、4的正方形有（的正方形有（43）2=12=1（个）；（个）； 共有共有16+9+4+1=30（个）（个） 答：共有答：共有30个不同的正方形个不同的正方形知识要点知识要点 从上面的三道例题可以看出如下的规律：从上面的三道例题可以看出如下的规律：如果完成一件事情有如果完成一件事情有N类做法（只要选择任何一类做法中的一类做法（只要选择任何一类做法中的一种，都能完成这件事情），在第一类做法中有种不同的方法，种，都能完成这件事情），在第一类做法中有种不同的方法，在第二类做法中有种不同的方法在第二类做法中有种不同的方法在第在第n类做法中有种不类做法中有种不同的方法，如果用同的方法，如果用N表示完成这件事
7、情做法的总数，那么：表示完成这件事情做法的总数，那么：N=，这个规律就称为加法原理。，这个规律就称为加法原理。【例题【例题4】从】从5，7，11，13这四个数中每次取出两个数分别作这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？其中有多少个真分数？【思路导航】方法一：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有【思路导航】方法一：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及有多少个真分数画树状图得：等可能的结果以及有多少个真分数画树状图得：方法方法二二：我们可以分两步来想
8、。第一步：先选一个数作为分母，可以选：我们可以分两步来想。第一步：先选一个数作为分母，可以选5，7，11，13这四个数中的任意一个，有这四个数中的任意一个，有4种选法；第二步，再选分子，由种选法；第二步，再选分子，由于已经选定了于已经选定了4个数中的一个数作为分母，分子只能在剩下的个数中的一个数作为分母，分子只能在剩下的3个数中任个数中任选一个，有选一个，有3种选法。所以一共可以组成种选法。所以一共可以组成43=12（个）不同的分数。在（个）不同的分数。在这这12个分数中，有一半是真分数。个分数中，有一半是真分数。 43=12（个）（个） 122=6（个）（个） 答：一共可以组成答：一共可以组
9、成12个不同的分数，其中有个不同的分数，其中有,6个真分数。个真分数。【例题【例题5】用】用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个不同的这五个数字可以组成多少个不同的三位数？三位数？【思路导航】我们可以这样分成三步来想：第一步：先选百位【思路导航】我们可以这样分成三步来想：第一步：先选百位上的数字，可选上的数字，可选1，2，3，4中的任意一个（为什么？），有中的任意一个（为什么？），有4种不同的选法；第二步：选十位上的数字，有种不同的选法；第二步：选十位上的数字，有4种不同的选种不同的选法；第三步：选个位上的数字，有法；第三步：选个位上的数字，有3种不同的选法。再运用种不同的选法。再运用乘法原理，可以列式为：乘法原理，可以列式为： 443=48（种）（种） 答：这五个数字可以组成答：这五个数字可以组成 48个不同的三位数个不同的三位数知识要点知识要点 从以上三个例子可以看出如下规律：从以上三个例子可以看出如下规律：做一件事，完成它需要分成做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一步有种不同的方个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有不同的方法，法，做第二步有不同的方法，做第，做第n步有不同的方法。步有不同的方法。那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=种不同的方法。这就是乘法种不同的方法。这就是乘法原理。原理。
