随机数学课件：1-1节 事件的关系和运算

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1、概率统计序言概率统计序言 在我们所生活的世界上， 充满了不确定性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化落，到大自然的千变万化，我们无时，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性无刻不面临着不确定性和随机性. 从亚里士多德时代开始，哲学家们从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人

2、们理解能力范围的东西越了人们理解能力范围的东西. . 他们没他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性去测量不定性. . 将将不定性数量化不定性数量化，来尝试回答这些，来尝试回答这些问题，是直到问题，是直到2020世纪初叶才开始的世纪初叶才开始的. . 还还不能说这个努力已经十分成功了，但就不能说这个努力已经十分成功了，但就是那些已得到的成果，已经给人类活动是那些已得到的成果，已经给人类活动的一切领域带来了一场革命的一切领域带来了一场革命. . 这场革命为研究新的设想，发展自这场革命为研究新的设想，发展自然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道然科学知识，

3、繁荣人类生活，开拓了道路路. . 而且也改变了我们的思维方法，使而且也改变了我们的思维方法，使我们能大胆探索自然的奥秘我们能大胆探索自然的奥秘. . 下面我们就来开始一门下面我们就来开始一门“将不定将不定性数量化性数量化”的的课程的学习，这就是课程的学习，这就是 1654年年,一个名叫一个名叫梅累的骑士就梅累的骑士就“两个赌徒约两个赌徒约定赌若干局定赌若干局, 且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家, 若在一赌徒若在一赌徒胜胜 a 局局 ( ac ),另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(bc)时便终止赌博时便终止赌博,问应如何分赌本问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与帕斯

4、卡与费马通信讨论这一问题费马通信讨论这一问题, 于于1654 年共同建立了概年共同建立了概率论的第一个基本概念率论的第一个基本概念数学期望数学期望.概率论的诞生及应用概率论的诞生及应用1. 概率论的诞生概率论的诞生2. 概率论的应用概率论的应用 概率论是数学的一个分支概率论是数学的一个分支，它研究随机它研究随机现象的数量规律现象的数量规律， 概率论的概率论的应用几乎遍及应用几乎遍及所有的科学领域所有的科学领域，例如天气预报例如天气预报、 地震预地震预报报、产品的抽样调查产品的抽样调查，在通讯工程中概率论在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等分辨率等等.概

5、率论的研究对象概率论的研究对象 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性二、二、 随机试验和随机事件随机试验和随机事件一、一、 必然现象和必然现象和随机现象随机现象 第一节第一节 随机试验随机试验 随机事件随机事件三、三、 随机事件的关系及运算随机事件的关系及运算四、四、 小结小结在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象. . “太阳从东边升起太阳从东边升起”,1.确定性现象确定性现象 “同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象一、

6、必然现象和随机现象一、必然现象和随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 “在相同条件下在相同条件下掷一枚均匀的硬币掷一枚均匀的硬币,观观察正反两面出现的情况察正反两面出现的情况”.2. 随机现象随机现象 “函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数” 等等.结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果结果有可能为结果有可能为:“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”. 实例实例3 “抛掷一枚骰子抛掷

7、一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数”. 实例实例2 “用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发 , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况”.结果结果: “弹落点可能会不同弹落点可能会不同”.实例实例4 “从一批含有正品和次品的产品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品中任意抽取一个产品”.其结果可能为其结果可能为: 正品正品 、次品次品.实例实例5 “一只灯泡的寿命一只灯泡的寿命” 可长可可长可短短.随机现象的分类随机现象的分类个别随机现象个别随机现象：原则上不能在相同条件下重：原则上不能在相同条件下重 复出现（例复出现（例5）大量性随机现象大量

8、性随机现象：在相同条件下可以重复出：在相同条件下可以重复出 现（例现（例4）随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果2. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶偶然性然性, , 但在大量重复试验或观察中但在大量重复试验或观察中, , 这种结果的这种结果的出现具有一定的出现具有一定的统计规律性统计规律性 。 概率论就是研究概率论就是研究随机现象及其统计规律的一门数学学科随机现象及其统计规律的一门数学学科. .随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象

9、如何来研究随机现象?说明说明1. 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系联系 , , 其数量关系无法用函数的形式加以描述其数量关系无法用函数的形式加以描述. . 1.试验试验在相同的条件下在相同的条件下可以可以重复重复地进行地进行;2. 每次试验的每次试验的可能结果不止一个可能结果不止一个,并且能事先并且能事先 明确试验的所有可能结果明确试验的所有可能结果;3. 进行一次试验之前进行一次试验之前不能确切不能确切知道哪一个结果知道哪一个结果 会出现会出现.定义定义 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试

10、验随机试验.二、随机试验和随机事件二、随机试验和随机事件说明说明 1. 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的也包括对客观事物进行的 “调查调查”、“观察观察”、或、或 “测量测量” 等等.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察正面察正面,反面出现的情况反面出现的情况”.分析分析 2. 随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1) 试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;1.“抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数”.2.“从一

11、批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验(2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面正面(H)，反面反面(T);(3) 进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现. . 故为随机试验故为随机试验.3. 记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人车人 数数.4. 考察某地区考察某地区 10 月份的平均气温月份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取一只从一批灯泡中任取一只,测试其寿命测试其寿命. 样本空间样本空间

12、 样本点样本点定义定义1.1 1.1 对于随机试验对于随机试验E E，它的每一个可，它的每一个可能结果称为能结果称为样本点样本点，由一个样本点组成的，由一个样本点组成的单点集称为单点集称为基本事件基本事件。所有样本点构成的。所有样本点构成的集合称为集合称为E E 的的样本空间或必然事件样本空间或必然事件，用 或S S表示表示我们我们规定规定不含任何元素的空集不含任何元素的空集为不可能事件为不可能事件，用用 表示。表示。 2. 同一试验同一试验 , 若试验目的不同若试验目的不同,则对应的样则对应的样 本空本空 间也不同间也不同. 例如例如 对于同一试验对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次将一枚硬

13、币抛掷三次”. 若观察正面若观察正面 H、反面、反面 T 出现的情况出现的情况 ,则样本空间则样本空间为为若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数 , 则样本空间为则样本空间为说明说明 1. 试验不同试验不同, 对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同.随机事件定义随机事件定义 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 的子的子集集(或某些样本点的子集），称为或某些样本点的子集），称为 E 的随机事件的随机事件, 简称事件简称事件.试验中试验中,骰子骰子“出现出现1点点”, “出现出现2点点”, ,“出现出现6点点”,“点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数点数为偶数” 等都为随机事件等都

14、为随机事件. 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数.随机事件的概念随机事件的概念两点说明两点说明例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数. 可设可设 A = “点数不大于点数不大于4”,B = “点数为奇数点数为奇数” 等等等等.(1) 随机事件可简称为事件随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母并以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件来表示事件(2) 随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就

15、是随机事件.随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件随随机机事事件件基本事件基本事件 必然事件必然事件不可能事件不可能事件复合事件复合事件互为对立事件互为对立事件 写出掷骰子试验的样本点写出掷骰子试验的样本点, , 样本空间样本空间, , 基本事件基本事件, ,事件事件A A出现偶数出现偶数, ,事件事件B B出现奇数出现奇数 基本事件基本事件 解：用解：用 表示掷骰子出现的点数为表示掷骰子出现的点数为 例例1.11.1 1. 包含关系包含关系若事件若事件 A 出现出现, 必然导致必然导致 B 出现出现 ,则称事件则称事件 B 包含事件包含事件 A,记作记作实例实例 “长度不合

16、格长度不合格” 必然导致必然导致 “产品不合产品不合格格”所以所以“产品不合格产品不合格” 包含包含“长度不合格长度不合格”.图示图示 B 包含包含 A. BA三、随机事件间的关系及运算三、随机事件间的关系及运算I.I.随机事件间的关系及运算随机事件间的关系及运算若事件若事件A包含事件包含事件B,而且事件而且事件B包含事件包含事件A, 则称事则称事件件A与事件与事件B相等相等,记作记作 A=B.2. 事件的和事件的和(并并)实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定直径是否合格所决定,因此因此 “产品不合格产品不合格”是是“长度长度不合

17、格不合格”与与“直径不合格直径不合格”的并的并.图示事件图示事件 A 与与 B 的并的并. BA3. 事件的交事件的交 (积积)推广推广图示事件图示事件A与与B 的积的积事件事件. ABAB实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定,因此因此“产品合格产品合格”是是“长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件.和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质4. 事件事件的的互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 、B 满足满足则称事件则称事件 A与与B互不相容互不相容.实例实例 抛

18、掷一枚硬币抛掷一枚硬币, “出现花面出现花面” 与与 “出现字面出现字面” 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.“骰子出现骰子出现1点点” “骰子出现骰子出现2点点”图示图示 A与与B互斥互斥 AB互斥互斥实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数 . 说明说明 当当A B= 时时,可将可将A B记为记为“直和直和”形式形式A+B. 任意事件任意事件A与不可能事件与不可能事件为互斥为互斥.5. 事件的差事件的差图示图示 A 与与 B 的差的差实例实例 “长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格”是是“长度合格长度合格” 与与“直径合格直径合格”的差的差. AB B

19、A事件事件 “A 出现而出现而 B 不出现不出现”，称为事件，称为事件 A 与与 B 的差的差. 记作记作 A- - B. 若事件若事件 A 、B 满足满足则称则称 A 与与B 为为互逆互逆(或对立或对立)事件事件. A 的逆记作的逆记作实例实例 “骰子出现骰子出现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”图示图示 A 与与 B 的对立的对立. BA6. 事件的互逆（对立）事件的互逆（对立）对立对立对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别 ABABA、B 对立对立A、B 互斥互斥互互 斥斥对对 立立II.事件间的运算规律事件间的运算规律补充几条运算律：补充几条运算律：等价关系：等价关系：

20、例例1.2 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件, ,试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来. .(1) A 出现出现 , B, C 不出现不出现;(5) 三个事件三个事件都不都不出现出现;(2) A, B都出现都出现, C 不出现不出现;(3) 三个事件都出现三个事件都出现;(4) 三个事件至少有一个出现三个事件至少有一个出现; 或或 (7) 不多于两个事件出现不多于两个事件出现;(8) 三个事件至少有两个出现三个事件至少有两个出现;(6) 不多于一个事件出现不多于一个事件出现;(9) A, B 至少有一个出现至少有一个出现, C 不出现不出现;(10) A,

21、B, C 中恰好有两个出现中恰好有两个出现.例例1.3解解说明说明 一个事件往往有多个等价的表达方式一个事件往往有多个等价的表达方式.例例1.41.4 利用事件关系和运算表达多个事件利用事件关系和运算表达多个事件 的关系的关系A ,B ,C 都不都不发生发生 A ,B ,C 不都不都发生发生逆逆分配律分配律例例1.5四、小结四、小结随机现象的特征随机现象的特征:1.条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果.2. 随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的. (1) 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;(2) 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不

22、止一个, 并且能事并且能事 先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果;(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现出现.随随机机试试验验3.3.随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件.随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件必然事件、不可能事件是两个特殊的必然事件、不可能事件是两个特殊的 随机事件随机事件 必然事件的对立面是不可能事件必然事件的对立面是不可能事件,不可能事不可能

23、事件的对立面是必然事件件的对立面是必然事件,它们互称为它们互称为对立事件对立事件.4.4.随机事件间的关系随机事件间的关系 包含、相等、互不相容及互逆关系包含、相等、互不相容及互逆关系5.5.事件间的运算及规律事件间的运算及规律 并（和）、交（积）、差事件并（和）、交（积）、差事件 交换律、结合律、分配律、对偶律等交换律、结合律、分配律、对偶律等6 . 概率论与集合论之间的对应关系概率论与集合论之间的对应关系记号记号概率论概率论集合论集合论样本空间样本空间, ,必然事件必然事件不可能事件不可能事件基本事件基本事件随机事件随机事件A的对立事件的对立事件A出现必然导致出现必然导致B出现出现事件事件A与事件与事件B相等相等 空间空间(全集全集) 空集空集 元素元素 子集子集 A的补集的补集 A是是B的子集的子集 A集合与集合与B集合相集合相 等等事件事件A与事件与事件B的差的差 A与与B两集合的差集两集合的差集事件事件A与与B互不相容互不相容A与与B 两集合中没有两集合中没有相同的元素相同的元素事件事件A与事件与事件B的和的和 A集合与集合与B集合的并集集合的并集 事件事件A与与B的积事件的积事件 A集合与集合与B集合的交集集合的交集