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1、 总体与样本总体与样本 统计量统计量 2-分布分布,t-分布和分布和F-分布分布 关于正态总体的重要定理关于正态总体的重要定理第六章第六章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念 数理统计数理统计数理统计数理统计是以概率论的理论为基础、通过试验所得是以概率论的理论为基础、通过试验所得是以概率论的理论为基础、通过试验所得是以概率论的理论为基础、通过试验所得数据来研究随机现象的一门数学分支，应用广泛，内容数据来研究随机现象的一门数学分支，应用广泛，内容数据来研究随机现象的一门数学分支，应用广泛，内容数据来研究随机现象的一门数学分支，应用广泛，内容丰富。丰富。丰富。丰富。简简 介介 我们仅介绍其有关参
2、数估计与参数假设检验等基本我们仅介绍其有关参数估计与参数假设检验等基本我们仅介绍其有关参数估计与参数假设检验等基本我们仅介绍其有关参数估计与参数假设检验等基本内容。内容。内容。内容。 概率论是数理统计的理论基础概率论是数理统计的理论基础概率论是数理统计的理论基础概率论是数理统计的理论基础, , , ,数理统计是概率论的数理统计是概率论的数理统计是概率论的数理统计是概率论的重要应用。重要应用。重要应用。重要应用。1 1、随机样、随机样本本 定义定义定义定义1 1 1 1 在数理统计中，将所研究对象的全体称为在数理统计中，将所研究对象的全体称为在数理统计中，将所研究对象的全体称为在数理统计中，将所
3、研究对象的全体称为总总总总体体体体( ( ( (母体母体母体母体),),),),其中每个对象称为其中每个对象称为其中每个对象称为其中每个对象称为个体个体个体个体。 由于通常关注的是研究对象的某些个数量指标由于通常关注的是研究对象的某些个数量指标由于通常关注的是研究对象的某些个数量指标由于通常关注的是研究对象的某些个数量指标, , , ,因此因此因此因此也称这些数量指标取值的全体为总体也称这些数量指标取值的全体为总体也称这些数量指标取值的全体为总体也称这些数量指标取值的全体为总体, , , ,其中每个元素称为其中每个元素称为其中每个元素称为其中每个元素称为个体个体个体个体. . . .一、总体与
4、个体一、总体与个体一、总体与个体一、总体与个体一、总体与个体一、总体与个体 例如例如例如例如, , , ,检验灯泡厂生产的灯泡寿命检验灯泡厂生产的灯泡寿命检验灯泡厂生产的灯泡寿命检验灯泡厂生产的灯泡寿命: : : :受检的全体灯泡就受检的全体灯泡就受检的全体灯泡就受检的全体灯泡就是总体是总体是总体是总体, , , ,每个灯泡就是个体。也可理解：全体灯泡寿命数每个灯泡就是个体。也可理解：全体灯泡寿命数每个灯泡就是个体。也可理解：全体灯泡寿命数每个灯泡就是个体。也可理解：全体灯泡寿命数值构成总体，每个灯泡的寿命数值为一个体。值构成总体，每个灯泡的寿命数值为一个体。值构成总体，每个灯泡的寿命数值为一
5、个体。值构成总体，每个灯泡的寿命数值为一个体。 又如又如又如又如, , , ,调查工大男生身高情况：工大全体男生就是总调查工大男生身高情况：工大全体男生就是总调查工大男生身高情况：工大全体男生就是总调查工大男生身高情况：工大全体男生就是总体，每个工大男生就是一个个体。也可理解：全体工大男体，每个工大男生就是一个个体。也可理解：全体工大男体，每个工大男生就是一个个体。也可理解：全体工大男体，每个工大男生就是一个个体。也可理解：全体工大男生身高数值构成总体，每个工大男生身高数值就是一个个生身高数值构成总体，每个工大男生身高数值就是一个个生身高数值构成总体，每个工大男生身高数值就是一个个生身高数值构
6、成总体，每个工大男生身高数值就是一个个体。体。体。体。 灯泡的寿命检验是一个灯泡的寿命检验是一个灯泡的寿命检验是一个灯泡的寿命检验是一个破坏性试验破坏性试验破坏性试验破坏性试验, , , ,即当得知一个即当得知一个即当得知一个即当得知一个灯灯灯灯泡泡泡泡寿命时寿命时寿命时寿命时, , , ,该灯泡的使用价值也就消失了该灯泡的使用价值也就消失了该灯泡的使用价值也就消失了该灯泡的使用价值也就消失了. . . .因此因此因此因此, , , ,不可能不可能不可能不可能抽抽抽抽检检检检每个灯泡每个灯泡每个灯泡每个灯泡! ! ! ! 可以逐一测量每个工大男生的身高可以逐一测量每个工大男生的身高可以逐一测量
7、每个工大男生的身高可以逐一测量每个工大男生的身高, , , ,但但但但工作量大工作量大工作量大工作量大. . . .而而而而我我我我们们们们仅需对工大男生身高情况有个大致了解仅需对工大男生身高情况有个大致了解仅需对工大男生身高情况有个大致了解仅需对工大男生身高情况有个大致了解, , , ,因此因此因此因此, , , ,不必要不必要不必要不必要抽抽抽抽测测测测每个工大男生每个工大男生每个工大男生每个工大男生! ! ! ! 做法做法做法做法 从总体中随机地抽取若干个体从总体中随机地抽取若干个体从总体中随机地抽取若干个体从总体中随机地抽取若干个体( ( ( (灯泡、工大男灯泡、工大男灯泡、工大男灯泡
8、、工大男生生生生),),),),测试其所需数据测试其所需数据测试其所需数据测试其所需数据( ( ( (寿命、身高寿命、身高寿命、身高寿命、身高),),),),最后对所得数据通过最后对所得数据通过最后对所得数据通过最后对所得数据通过整理加工和分析来推断总体整理加工和分析来推断总体整理加工和分析来推断总体整理加工和分析来推断总体( ( ( (这批灯泡寿命、工大男生身这批灯泡寿命、工大男生身这批灯泡寿命、工大男生身这批灯泡寿命、工大男生身高高高高) ) ) )的分布情况的分布情况的分布情况的分布情况, , , ,从而了解整体情况从而了解整体情况从而了解整体情况从而了解整体情况. . . . 一般一般
9、一般一般, , , ,我们所研究的总体的某项数量指标我们所研究的总体的某项数量指标我们所研究的总体的某项数量指标我们所研究的总体的某项数量指标X X X X是一个随是一个随是一个随是一个随机变量机变量机变量机变量, , , ,其取值在客观上有一定的分布其取值在客观上有一定的分布其取值在客观上有一定的分布其取值在客观上有一定的分布. . . .因此因此因此因此, , , ,对总体的研对总体的研对总体的研对总体的研究究究究, , , ,就是对相应的随机变量就是对相应的随机变量就是对相应的随机变量就是对相应的随机变量X X X X的研究。的研究。的研究。的研究。 今后今后今后今后, , , ,我们称
10、我们称我们称我们称X X X X的分布函数和数字特征分别为总体的的分布函数和数字特征分别为总体的的分布函数和数字特征分别为总体的的分布函数和数字特征分别为总体的分布函数和数字特征分布函数和数字特征分布函数和数字特征分布函数和数字特征, , , ,并不再区分总体与相应的随机变量并不再区分总体与相应的随机变量并不再区分总体与相应的随机变量并不再区分总体与相应的随机变量X.X.X.X.对总体的称呼对总体的称呼对总体的称呼对总体的称呼: : : :总体总体总体总体, , , ,总体总体总体总体X X X X与与与与总体总体总体总体F F F F. . . . 例如例如例如例如, ,当当当当XN(,XN
11、(,2 2) )时时时时, ,称总体称总体称总体称总体X X为正态总体为正态总体为正态总体为正态总体. .正态正态正态正态总体总体总体总体有以下三种类型有以下三种类型有以下三种类型有以下三种类型: : 未知未知未知未知, ,但但但但 2 2已知已知已知已知; ; 2 2未知未知未知未知, ,但但但但 已知已知已知已知; ; ,2 2均未知均未知均未知均未知. . 数理统计的数理统计的基本任务基本任务就是通过对从总体中抽取的就是通过对从总体中抽取的一部分个体一部分个体(称为总体的样本称为总体的样本)进行观察进行观察,根据所记录的根据所记录的数据数据(样本值样本值)经整理与加工经整理与加工,以推断
12、总体的某些性质以推断总体的某些性质. “从总体中抽取一个个体从总体中抽取一个个体”就是对总体进行一次就是对总体进行一次观观(试验试验),并记录其数据结果并记录其数据结果. 在相同条件下对总体在相同条件下对总体X进行进行n次独立、重复的观察次独立、重复的观察,将将n次试验结果依次记为次试验结果依次记为 ,则称之为来自则称之为来自总体总体X的容量为的容量为n的一个的一个简单随机样本简单随机样本;n次试验完成后次试验完成后所得样本的一组观察值所得样本的一组观察值 称为称为样本值样本值.二、样本与样本值二、样本与样本值二、样本与样本值二、样本与样本值二、样本与样本值二、样本与样本值定义2 显然显然,若
13、若X的分布函数为的分布函数为F(x),则则 的联合的联合分布函数为分布函数为 定义定义定义定义2 2 2 2 设总体设总体设总体设总体X X X X的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数为F,F,F,F,若若若若X X X X1 1 1 1，X X X X2 2 2 2，X X X Xn n n n是相互独立且具有相同分布函数是相互独立且具有相同分布函数是相互独立且具有相同分布函数是相互独立且具有相同分布函数F F F F的的的的n n n n个随机变量个随机变量个随机变量个随机变量, , , ,则称则称则称则称之是来自总体之是来自总体之是来自总体之是来自总体F(F(F(F(分布函数分
14、布函数分布函数分布函数F,F,F,F,总体总体总体总体X)X)X)X)的容量为的容量为的容量为的容量为n n n n的的的的( ( ( (简单随简单随简单随简单随机机机机) ) ) )样本样本样本样本, , , ,其观察值其观察值其观察值其观察值 称为称为称为称为样本值样本值样本值样本值。 特别的特别的,若若X的概率密度为的概率密度为f(x),则则 的联合的联合概率密度为概率密度为分布函数 若若X的概率分布为的概率分布为p(x),则则 的联合概率分的联合概率分布为布为 样本来自总体样本来自总体样本来自总体样本来自总体, ,必然携带有反映总体性质的各种信必然携带有反映总体性质的各种信必然携带有反
15、映总体性质的各种信必然携带有反映总体性质的各种信息。息。息。息。 后面介绍的内容仅限于有关总体参数的估计与推断，后面介绍的内容仅限于有关总体参数的估计与推断，后面介绍的内容仅限于有关总体参数的估计与推断，后面介绍的内容仅限于有关总体参数的估计与推断，称为称为称为称为参数估计参数估计参数估计参数估计与参数与参数与参数与参数假设检验假设检验假设检验假设检验。三、数理统计的基本任务三、数理统计的基本任务三、数理统计的基本任务三、数理统计的基本任务三、数理统计的基本任务三、数理统计的基本任务 数理统计的基本任务就是通过对样本的研究来对总数理统计的基本任务就是通过对样本的研究来对总数理统计的基本任务就是
16、通过对样本的研究来对总数理统计的基本任务就是通过对样本的研究来对总体的未知参数或分布类型作出体的未知参数或分布类型作出体的未知参数或分布类型作出体的未知参数或分布类型作出估计估计估计估计，对有关总体的假设，对有关总体的假设，对有关总体的假设，对有关总体的假设作出作出作出作出推断推断推断推断。随机抽样随机抽样 获得样本获得样本完成试验完成试验 获得数据获得数据整理加工整理加工统计推断统计推断图示2 2、抽样分布、抽样分布一、统计量一、统计量一、统计量一、统计量一、统计量一、统计量 样本是进行统计推断的依据。但在实际应用时，一样本是进行统计推断的依据。但在实际应用时，一样本是进行统计推断的依据。但
17、在实际应用时，一样本是进行统计推断的依据。但在实际应用时，一般不是直接使用样本本身，而是对样本进行整理和加工般不是直接使用样本本身，而是对样本进行整理和加工般不是直接使用样本本身，而是对样本进行整理和加工般不是直接使用样本本身，而是对样本进行整理和加工, , , ,即即即即针对具体问题构造适当的函数针对具体问题构造适当的函数针对具体问题构造适当的函数针对具体问题构造适当的函数统计量统计量统计量统计量, , , ,利用这些函数利用这些函数利用这些函数利用这些函数来进行统计推断来进行统计推断来进行统计推断来进行统计推断, , , ,揭示总体的统计特性揭示总体的统计特性揭示总体的统计特性揭示总体的统
18、计特性. . . . 定义定义定义定义3 3 3 3 设设设设X X X X1 1 1 1，X X X X2 2 2 2，X X X Xn n n n是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体X X X X的样本的样本的样本的样本,x,x,x,x1 1 1 1，x x x x2 2 2 2，x x x xn n n n为其样本值为其样本值为其样本值为其样本值, , , ,则称则称则称则称不含任何总体分布中未知参数的不含任何总体分布中未知参数的不含任何总体分布中未知参数的不含任何总体分布中未知参数的连续函数连续函数连续函数连续函数 为为为为统计量统计量统计量统计量, , , ,相应的实数相应的实数
19、相应的实数相应的实数 称为其观察值。称为其观察值。称为其观察值。称为其观察值。常用统计量常用统计量常用统计量常用统计量常用统计量常用统计量有有有有有有: : : : : :样本均值样本均值(修正修正)样本方差样本方差(修正修正)样本标准差样本标准差样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩说明说明说明说明 (修正修正)样本方差还可表示为样本方差还可表示为【推导推导】说明 样本方差样本方差 样本均值是样本一阶原点矩；样本方差是样本二阶样本均值是样本一阶原点矩；样本方差是样本二阶中心矩。中心矩。续1 上述各统计量的观察值为上述各统计量的观察值为 重要结论：重要结论：样本矩样本矩(的连续函
20、数的连续函数)依概率收敛依概率收敛于总体矩于总体矩(的连续函数的连续函数)矩估计的理论基础矩估计的理论基础。 总体总体k阶阶(原点原点)矩矩 总体的总体的期望期望就是其一阶矩就是其一阶矩: 总体的总体的方差方差:续2 定义定义 性质性质 重要积分重要积分补充知识补充知识补充知识补充知识补充知识补充知识: -: -: -: -: -: -函数函数函数函数函数函数 完全由样本确定的函数就是统计量。完全由样本确定的函数就是统计量。完全由样本确定的函数就是统计量。完全由样本确定的函数就是统计量。 定义定义定义定义 设设设设X X X X1 1 1 1，X X X X2 2 2 2，X X X Xn n
21、 n n是来自标准正态总体是来自标准正态总体是来自标准正态总体是来自标准正态总体N(0,1)N(0,1)N(0,1)N(0,1)的样本的样本的样本的样本, , , ,称统计量称统计量称统计量称统计量 下面下面下面下面, , , ,介绍来自介绍来自介绍来自介绍来自正态总体正态总体正态总体正态总体的几个重要统计量的分布的几个重要统计量的分布的几个重要统计量的分布的几个重要统计量的分布. . . . 1 1 1、 2 22- - -分布分布分布分布分布分布( ( (卡方分布卡方分布卡方分布卡方分布卡方分布卡方分布) ) ) 服从自由度为服从自由度为服从自由度为服从自由度为n n n n的的的的2 2
22、 2 2- - - -分布分布分布分布, , , ,记为记为记为记为二、抽样分布二、抽样分布二、抽样分布二、抽样分布二、抽样分布二、抽样分布统计量是随机变量，它的分布称为统计量是随机变量，它的分布称为统计量是随机变量，它的分布称为统计量是随机变量，它的分布称为抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布。 -分布的分布的概率密度概率密度为为1、卡方分布 -分布的分布的性质性质与与数字特征数字特征 -分布的分布的可加性可加性: -分布的分布的期望期望与与方差方差为为: 上上分位点分位点(双侧双侧/2分位点分位点) 定义定义定义定义 点点点点 为为为为 分布的分布的分布的分布的上上上上分位点分位点分位点分位点
23、 续1查查附表附表5P.299:续2双侧分位点双侧分位点查查附表附表5:2 2 2、t-t-t-分布分布分布分布分布分布 定义定义定义定义 设设设设 且且且且X X X X与与与与Y Y Y Y独立，则称独立，则称独立，则称独立，则称随机变量随机变量随机变量随机变量服从自由度为服从自由度为服从自由度为服从自由度为n n n n的的的的t-t-t-t-分布分布分布分布, , , ,记为记为记为记为 t- t-分布的分布的分布的分布的概率密度概率密度概率密度概率密度为为为为 t- t-分布的概率密度分布的概率密度分布的概率密度分布的概率密度性质性质性质性质 t- t-分布的概率密度为分布的概率密度
24、为分布的概率密度为分布的概率密度为偶函数偶函数偶函数偶函数，且以，且以，且以，且以标准正态概率标准正态概率标准正态概率标准正态概率密度密度密度密度为其极限为其极限为其极限为其极限(n)(n)。续1续2 上上分位点分位点(双侧双侧/2分位点分位点) 定义定义定义定义 点点点点 为为为为 分布的分布的分布的分布的上上上上分位点分位点分位点分位点 查查附表附表4P.298:双侧双侧/2分位点分位点:续3显然显然,3 3 3、F-F-F-分布分布分布分布分布分布 定义定义定义定义 设设设设 且且且且X X X X与与与与Y Y Y Y独立，则独立，则独立，则独立，则称随机变量称随机变量称随机变量称随机
25、变量服从自由度为服从自由度为服从自由度为服从自由度为(n(n(n(n1 1 1 1,n,n,n,n2 2 2 2) ) ) )的的的的F-F-F-F-分布分布分布分布, , , ,记为记为记为记为 F-F-分布的分布的分布的分布的概率密度概率密度概率密度概率密度为为为为 F-F-分布的分布的分布的分布的性质性质性质性质续1由由由由F F F F分布定义可得：分布定义可得：分布定义可得：分布定义可得： 上上上上 分位点分位点分位点分位点( (双侧双侧双侧双侧/2/2分位点分位点分位点分位点) ) 定义定义定义定义 点点点点 为为为为 分布的分布的分布的分布的上上上上分位点分位点分位点分位点 查查
26、附表附表6P.301:F分布上分布上分位点分位点有如下性质：有如下性质：续2三、样本均值与样本方差的分布三、样本均值与样本方差的分布三、样本均值与样本方差的分布三、样本均值与样本方差的分布三、样本均值与样本方差的分布三、样本均值与样本方差的分布 设总体设总体设总体设总体X X X X有均值与方差：有均值与方差：有均值与方差：有均值与方差： 是来自是来自是来自是来自X (X (X (X (无论无论无论无论X X X X服从何种分布服从何种分布服从何种分布服从何种分布!)!)!)!)的一个的一个的一个的一个样本，则总有样本，则总有样本，则总有样本，则总有: : : : 特别的特别的特别的特别的,
27、, , ,当当当当 时时时时, , , ,样本均值样本均值样本均值样本均值 对于对于对于对于单正态总体单正态总体单正态总体单正态总体N(,N(,N(,N(,2 2 2 2) ) ) )的的的的均值均值均值均值与与与与方差方差方差方差有有有有: : : : 定理定理定理定理1 1 1 1 设设设设 是来自正态总体是来自正态总体是来自正态总体是来自正态总体N(,N(,N(,N(,2 2 2 2) ) ) )的的的的样本样本样本样本, , , ,则则则则 、 、 、 、 独立独立. . 注意注意注意注意: : : :即即2卡方分布定义卡方分布定义定理1 定理定理定理定理2 2 2 2 设设设设X X
28、 X X1 1 1 1，X X X X2 2 2 2，X X X Xn n n n与与与与Y Y Y Y1 1 1 1，Y Y Y Y2 2 2 2，Y Y Y Yn n n n分别是来分别是来分别是来分别是来自正态总体自正态总体自正态总体自正态总体N(N(N(N(1 1 1 1,2 2 2 2), N(), N(), N(), N(2 2 2 2,2 2 2 2) ) ) )的的的的样本样本样本样本, , , ,且这两个样且这两个样且这两个样且这两个样本相互独立本相互独立本相互独立本相互独立, , , ,又又又又 分别为两样本的均值与方差分别为两样本的均值与方差分别为两样本的均值与方差分别为
29、两样本的均值与方差, , , ,则则则则其中其中其中其中 对于对于对于对于同方差同方差同方差同方差的的的的双正态总体双正态总体双正态总体双正态总体N(N(N(N(1 1 1 1,2 2 2 2), N(), N(), N(), N(2 2 2 2,2 2 2 2) ) ) )的的的的均值差均值差均值差均值差有有有有: : : :定理2同方差双正态总体同方差双正态总体同方差双正态总体同方差双正态总体单单单单正正正正态态态态总总总总体体体体 上面介绍的上面介绍的3个重要分布个重要分布与与4个重要公式个重要公式在数理统在数理统计的计的区间估计区间估计与与假设检验假设检验中有着重要应用，必须牢记中有着
30、重要应用，必须牢记!说明2 2- -分布分布分布分布t- t-分布分布分布分布F-F-分布分布分布分布 【例例例例1 1 1 1】在正态总体在正态总体在正态总体在正态总体N(12,4)N(12,4)中随机抽取容量为中随机抽取容量为中随机抽取容量为中随机抽取容量为5 5的样本的样本的样本的样本X X1 1，X X2 2，X X3 3，X X4 4，X X5 5，试求，试求，试求，试求 （1）样本均值与总体均值之差的绝对值大于）样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概的概率；率； （2） （3） 例1 解解正态总体样本均值的分布正态总体样本均值的分布 (1) 因为因为 所以所以 于是于是, 例1-
31、1 (2). (3). 解解解解t- t-分布分布分布分布, ,2 2- -分布，分布，分布，分布，F-F-分布。分布。分布。分布。 因为因为因为因为Xt(n),Xt(n),所以由所以由所以由所以由t- t-分布定义知：存在两个相互独分布定义知：存在两个相互独分布定义知：存在两个相互独分布定义知：存在两个相互独立的随机变量立的随机变量立的随机变量立的随机变量 由由由由Y,ZY,Z的相互独立可得的相互独立可得的相互独立可得的相互独立可得:Y:Y2 2与与与与Z Z也相互独立。也相互独立。也相互独立。也相互独立。再由再由F-分布定义得分布定义得:使有使有使有使有【例例例例2 2 2 2】已知已知已
32、知已知 ，证明，证明，证明，证明 。由由由由2 2 2 2- - - -分布定义知：分布定义知：分布定义知：分布定义知：例2解解因为因为XiP(),所以所以E(Xi)=D(Xi)=(i=1,2,n), 【例例例例3 3 3 3】设设设设X X1 1，X X2 2，X X3 3，X X4 4，X X5 5为来自泊松分布为来自泊松分布为来自泊松分布为来自泊松分布P()P()的一个样本，的一个样本，的一个样本，的一个样本， 为其样本均值和（修正）样本为其样本均值和（修正）样本为其样本均值和（修正）样本为其样本均值和（修正）样本方差，求方差，求方差，求方差，求例3例例3-13-1解解卡方分布及其数字特征卡方分布及其数字特征 。于是于是,由卡方分布数字特征知：由卡方分布数字特征知：由定理由定理1知知: 【例例4 4】 设在总体设在总体 中抽取一容量为中抽取一容量为16的的样本，其中样本，其中 均为未知。均为未知。（1）求概率）求概率 ； （2）求方差）求方差 。 例4 (2)因为因为所以所以,例例4-4-续续 (1) P.180:1; 8 ; 10 ; P.181: 12;13;16 。 本章作业本章作业
