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1、第一章第一章 二维线性系统分析二维线性系统分析1.1 常用函数常用函数1.5 傅里叶变换傅里叶变换1.7 常用函数的傅里叶变换常用函数的傅里叶变换1.2 脉冲函数脉冲函数1.3 卷积卷积1.6 傅里叶变换定理傅里叶变换定理1.4 相关函数相关函数一、一、 d d 函数函数 Pulse Function第一章 数学基础1.2 脉冲函数脉冲函数1、历史、历史 p1930年由狄拉克创立，又称狄拉克函数年由狄拉克创立，又称狄拉克函数p为描述一些宽度极窄、幅度趋于无穷大的物理量为描述一些宽度极窄、幅度趋于无穷大的物理量p曾引起许多数学家的困惑和反对曾引起许多数学家的困惑和反对p物理学家视其为有力的数学工
2、具，尽管当时还缺乏严物理学家视其为有力的数学工具，尽管当时还缺乏严格的证明格的证明p20多年后，施瓦兹发展到多年后，施瓦兹发展到d d 函数的严密理论函数的严密理论0xd (x)13、 函数的图示函数的图示：第一章 1.2 脉冲函数2、一般定义：、一般定义：10xd (x,y)y第一章 1.2 脉冲函数光光 学学 意意 义义单位质量质点的密度单位质量质点的密度 点质量点质量单位电量点电荷的电荷密度单位电量点电荷的电荷密度 点电荷点电荷单位光通量点光源的发光度单位光通量点光源的发光度 点光源点光源单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率电脉冲电脉冲等等等等. 物理上描述物理上
3、描述:u 是一种理想化处理是一种理想化处理u 简化复杂物理过程的研究简化复杂物理过程的研究例如例如 （看成普通函数构成的序列的极限）（看成普通函数构成的序列的极限）第一章 1.2 脉冲函数4 4、极限定义、极限定义、极限定义、极限定义 fn(x)可以是Nrect(Nx), Nsinc(Nx), NGaus(Nx), 二维圆域函数等。 物理系统已无法分辨更窄的函数。第一章 1.2 脉冲函数5 5、 函数的性质函数的性质函数的性质函数的性质（1 1）1 1）偶函数偶函数偶函数偶函数性质性质性质性质3 3）比例变化性质）比例变化性质）比例变化性质）比例变化性质2 2）筛选性质筛选性质筛选性质筛选性质
4、4) 4) 与普通函数乘积与普通函数乘积与普通函数乘积与普通函数乘积性质性质性质性质第一章 1.2 脉冲函数5 5、 函数的性质函数的性质函数的性质函数的性质（2 2）f( (x) d d (x-x0) = f( (x0) d d (x-x0) 例如例如 f( (x) = xf( (x) d d (x-a) = f( (a) d d (x-a) = a d d (x-a) 5) 5) 卷积性质卷积性质卷积性质卷积性质f( (x) * *d d (x-x0) = f(x-x0) f( (x) * *d d (x) = f(x) 任意函数与任意函数与d d-函数的乘积函数的乘积,是幅度变化了的是幅
5、度变化了的d d-函数函数计算：计算：1.sinc(x)d d (x) 2.sinc(x)d d (x-0.5) 3. sinc(x)d d (x-1) 4. (3x+5) d d (x+3) 练习题练习题=sinc(0)d d (x)=sinc(0.5)d d (x-0.5)=sinc(1)d d (x-1)= (-9+5)d d (x+3)=d d (x)0(-4 )d d (x+3)二二、d d -函数函数 的阵列的阵列-梳状函数梳状函数 comb(x)表示沿表示沿 x 轴分布、间隔为轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列的无穷多脉冲的系列.例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅例如：不考虑缝宽
6、度和总尺寸的线光栅.间隔为间隔为t t 的脉冲系列的脉冲系列:定义定义: n为整数为整数梳状函数与普通函数的乘积梳状函数与普通函数的乘积:f(x)0x=x0xcomb(x).0利用利用comb(x)可以对函数可以对函数f(x)进行进行等间距抽样等间距抽样.xy二维梳状函数二维梳状函数: comb(x,y)= comb(x) comb(y)练习1：已知连续函数f(x)，若x0b0,利用d 函数可筛选出函数在x= x0+b的值，试写出运算式。2: f(x)为任意连续函数， a0, 求函数g(x)= f(x)d(x+a)- d(x-a) 并作出示意图。3：已知连续函数f(x)， a0和b0 。求出下列函数： (1) h(x)= f(x)d(ax-x0) (2) g(x)= f(x)comb(x- x0)/b练习答案参考练习答案参考1:2:3:g(x) = f(x)d (x+a)-d (x-a)= f(x) d (x+a) - f(x)d (x-a)= f(-a) d (x+a) - f(a)d (x-a)h(x) = f(x) d (ax- x0)画函数图形画函数图形(1)(2)
