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1、第第三节三节 定积分的换元法定积分的换元法 和分部积分法和分部积分法定积分的换元法定积分的换元法小结小结 思考题思考题 作业作业定积分的定积分的分部积分分部积分法法definite integral by partsdefinite integral by substitution第五章第五章 定积分定积分1 上一节的牛上一节的牛莱公式将定积分的计算莱公式将定积分的计算的形式的形式,而不定积分可用换元法而不定积分可用换元法和分部积分法求积和分部积分法求积 , 这样定积分的计算问题这样定积分的计算问题已经比较完满地解决了已经比较完满地解决了.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法归
2、结为求不定积分归结为求不定积分,如果将换元法和分部积分法写成定积分如果将换元法和分部积分法写成定积分常可使得计算常可使得计算更简单更简单.2定理定理1则有则有定积分换元公式定积分换元公式假设函数假设函数定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法一、定积分的换元法函数函数满足条件满足条件:(1) (2) 具有连续导数具有连续导数,且其值域且其值域definite integral by substitution 3证证故有故有则则由于由于N-L公式公式N-L公式公式则则所以存在原函数所以存在原函数定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法原函数原函数,4注注
3、由于积分限做了相应的由于积分限做了相应的故积出来的原函数不必回代故积出来的原函数不必回代;求定积分的方法有两种方法求定积分的方法有两种方法: 可用可用N-L公式公式;从换元的观点从换元的观点.(1)换元公式仍成立换元公式仍成立;(2) 在定积分换元公式中在定积分换元公式中,改变改变,(3)定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法5例例 解解 在用在用“凑凑”微分的方法微分的方法时时,不明显地写出不明显地写出下限就不要变下限就不要变.定积分的上、定积分的上、新的变量新的变量 t ,注注定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法6或或例例 解解原式原式这是半径为这是半径为a的
4、四分之一的圆的面积的四分之一的圆的面积.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法7例例 解解 原式原式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法8解解 令令原式原式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法9 几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子的例子. 换元积分换元积分例例 证证 由于由于由由被积函数的变化和积分区间变化被积函数的变化和积分区间变化来确定变换来确定变换.通常通常定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法作作变换变换,还可以证明一些定积分等式还可以证明一些定积分等式,10利用这一结果计算利用这一
5、结果计算:则则定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法11可得可得: 由定积分的几何意义由定积分的几何意义(面积的代数和面积的代数和)也可得也可得.奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质且有且有则则则则定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 由由12例例 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法13奇奇奇奇偶偶定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法14证证 (1)三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式例例
6、 由此计算由此计算设设定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法证毕证毕.15定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法设设证证由此计算由此计算16说明说明:尽管尽管但由于它没有但由于它没有初等原函数初等原函数,故此积分无法直接用故此积分无法直接用N-L公式求得公式求得.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法17周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式这个公式就是说：这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等区间上的定积分都相等.(留给同学证留给同学证)定积分的换元法和分部
7、积分法定积分的换元法和分部积分法18例例 解解 法一法一定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法19法二法二即即定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法20解解被积函数中除积分变量被积函数中除积分变量t外还含有变量外还含有变量x,故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式,应先作换元变换应先作换元变换,则则分析分析定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法21定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法选择题选择题设设函数函数连续连续,则下列函数中则下列函数中,必为必为偶函数偶函数的是的是分析分析2002年考研数学
8、年考研数学(二二)选择选择3分分22定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法二、定积分的二、定积分的分部积分分部积分法法设设有有连续的导数连续的导数,则则definite integral by parts定理定理2由不定积分的分部积分法由不定积分的分部积分法及及N-L公式公式.23例例 解解定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法原原式式=24例例 解解定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法1990年考研数学年考研数学(一一)计算计算5分分原原式式=25例例 解解无法直接求出无法直接求出所以所以因为因为没有初等原函
9、数没有初等原函数,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法分析分析被积函数中含有被积函数中含有“积分上限的函数积分上限的函数”,用用分部积分法分部积分法做做.选择选择积分上限的函数积分上限的函数为为26定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法注注今后也可将原积分化为二重积分计算今后也可将原积分化为二重积分计算.27例例 证明定积分公式证明定积分公式证证设设n为正偶数为正偶数n为大于为大于1的正奇数的正奇数 J.Wallis公式公式十七世纪的英国数学家十七世纪的英国数学家 John Wallis 给出给出.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法28积分积分
10、关于下标的递推公式关于下标的递推公式直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止因为因为定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法29所以所以,当当n为正偶数时为正偶数时,当当n为大于为大于1的正奇数时的正奇数时,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法30例例 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数上公式在计算其它积分时可以直接引用上公式在计算其它积分时可以直接引用.注注定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法31例例 解解用公式用公式n为正偶数为正偶数定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法32解解用定积分的分部积分公式（先求用定积分的分部
11、积分公式（先求不定积分如何？请试试）不定积分如何？请试试）定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法33定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法三、小结三、小结定积分的换元公式定积分的换元公式奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式34思考题思考题1 试检查下面运算是否正确试检查下面运算是否正确? 如不正确如不正确,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 希指出原因希指出原因.解答解答注意注意必定大于零必定大于零.上述运算的问题在于引进的变换上述运算的问题在于引进的变换不满足换元法则的前提条件不满足换元法则的前提条件.35思考题思考题2解答解答定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法36作业作业习题习题5-3 (2495-3 (249页页) ) 11.(1) (5) (9) (10) (12) (13) 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法1.(2) (7) (10) (11) (12) (14) (19) 2.(3) (4) 3. 5. 8. 9. 10. 37
