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1、分部积分公式分部积分公式对此不等式两边求不定积分对此不等式两边求不定积分即即5.4 5.4 分部积分法分部积分法一般说来, 被积函数为下列形式时, 可考虑运用分部积分法进行计算:幂函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 指数函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 幂函数与指数函数之积 ,指数函数与对数函数之积 , 一个函数难于用其它方法积分 ,两个函数的乘积 . 下列积分可以用分部积分法下列积分可以用分部积分法分部积分公式： 关键：恰当选取u和确定v.如何选取u:(LIATE法)L-对数函数I-反三角函数(不是三角函数)A-代数函数T-三角函数E-指数函数根据LIATE法，f(x)与g
2、(x)谁排在LIATE这一字母表前面就选谁为u.即若选f(x)为u,则g(x)dx=dv。v=g(x)dx、或v=g(x).使用分部积分公式，若选f(x)=u,则vg(x)注：而v=g(x).例例1 1 求积分求积分解解令令如果令如果令显然，显然， 选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行. 一般地，若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数的乘积的乘积, 就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为u例例2 2 求积分求积分解解 若被积函数是幂函数和指数函数的乘积若被积函数是幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 v例例3 3 求积分求积分解解例例4 4 求
3、积分求积分解解 若被积函数是幂函数和对数函数的乘若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为积，就考虑设对数函数为 .例例5 5 求积分求积分解解令令 若被积函数是幂函数和反三角函数的乘若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为积，就考虑设反三角函数为u.例例6 6 求积分求积分解解例例7 7 求积分求积分解解复原法复原法(回归法回归法,循环法循环法)!例例7 7解解消去消去(超越函数超越函数)法法!例8解递推关系可以由低次幂函数的积分计算出高次幂函数的积分. 例9解例例1010 求积分求积分解解用分部积分法，当用分部积分法，当积分过程常要兼用换元法与分部积分法。积分
4、过程常要兼用换元法与分部积分法。例例1111 求积分求积分解解解解解解两边同时对两边同时对 求导求导, 得得连用分部积分法解：同理可求不定积分例14.解解例16解例17解二二 有理函数的积分有理函数的积分有理函数有理函数假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式有理函数是真分式；有理函数是真分式；有理函数是假分式；有理函数是假分式； 有理函数有以下性质：有理函数有以下性质：1 1）利用多项式除法或简单拆项法）利用多项式除法或简单拆项法, , 假分式假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和可以化成一个多项式和一个真分式之和. .例如例如化为化为2）在实数范围内真分式可以分解成最简分
5、式的和）在实数范围内真分式可以分解成最简分式的和(部分分式分解部分分式分解)最简分式是下面两种形式最简分式是下面两种形式:（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：）有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为（2 2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中其中则分解后为则分解后为特殊地特殊地：分解后为分解后为简分式的和简分式的和4)4)真分式可分解为四类最真分式可分解为四类最axA- -)1(有理函数化为部分分式之和后，只出现三类：有理函数化为部分分式之和后，只出现三类：多项式；多项式；它们的积分只需讨论它们
6、的积分只需讨论:令令则则记记把真分式化为部分分式之和，再把上面的待定的把真分式化为部分分式之和，再把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法常数确定，这种方法叫待定系数法例例1 1通分比较分子：通分比较分子：代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2例例4 4 求积分求积分 解解例例6 6 求积分求积分解解令令三、简单无理式的积分三、简单无理式的积分例例1010 求积分求积分解解 令令例例1111 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.例例1例例2三、其他典型例题解：解：解：解：（分子是分母的导数）（分子是分母的导数） 凑导数法凑导数法!例例3解：方法解：方法1例例4例例5ux = =sin令令被积函数为余弦的被积函数为余弦的奇函数奇函数,采用正弦换采用正弦换元元方法方法2本例也可以直接采用凑微分的方法本例也可以直接采用凑微分的方法例例7例例8例例9 9解解例例1010解解例例1111解解凑导数法凑导数法!例例1212解解(倒代换倒代换,尽管可采用割换尽管可采用割换)例例1414解解例例1515解解凑整法凑整法例例1616解解例例1818解解例例1919解解例20解凑导数法凑导数法, ,双曲函数双曲函数例21解例22解例23解
