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1、吉林油田第二中学：翟臣知识回顾知识回顾 =（3x+4y+x-2y)(3x+4y-x+2y)= (4x+2y)(2x+6y)=5a3(x2-y2)=5a3(x+y)(x-y) 由由分解因式与整式乘法分解因式与整式乘法的关系可以看的关系可以看出出, ,如果把如果把乘法公式反过来乘法公式反过来, ,那么就可以把某那么就可以把某些多项式分解因式些多项式分解因式, ,这种分解因式的方法叫这种分解因式的方法叫做运用公式法做运用公式法. .如如: :完全平方公式完全平方公式现在我们把这现在我们把这个公式反过来个公式反过来 很显然，我们可以运用以上很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称这个公
2、式来分解因式了，我们把它称为为“完全平方公式完全平方公式”(a+b)2=a2+2ab+b2,(ab)2=a22ab+b2. 两个数的平方和加上（或减去）两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的倍，等于这两个数的和这两个数的积的倍，等于这两个数的和（或差）的平方（或差）的平方. .a2+2ab+b2=(a+b)2a22ab+b2=(ab)215.4.2 15.4.2 公式法公式法(2)(2) 如果一个多项式能写成两个数的平如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方公式把它因式分解，那么就可以运用完全平方公
3、式把它因式分解，它等于这两个数的和（或差）的平方它等于这两个数的和（或差）的平方形如形如 的式子称为的式子称为完全平方式完全平方式. . 下列各多项式是不是完全平方式下列各多项式是不是完全平方式? ?若若是是, ,请找出相应的请找出相应的a a和和b.b.辨明真相辨明真相解解:原式原式=x2+2.x.6+62 a=x,b=6解解:原式原式=x2-2xy+y2 a=x,b=y 不是完全平方式不是完全平方式解解:原式原式=-x2-2xy+y2下列各式是不是完全平方式下列各式是不是完全平方式是是是是否否是是否否辨明是非辨明是非完全平方式的特点：完全平方式的特点：1 1、必须是三项式、必须是三项式2
4、2、首尾平方乘积二倍、首尾平方乘积二倍 3 3、平方项符号相同平方项符号相同议一议议一议一般地一般地, ,利用公式利用公式a a2-2-b b2 2=(=(a+b)(a-ba+b)(a-b),),或或(a(a2 2+2ab+b+2ab+b2 2)=(a+b)=(a+b)2 2把一个多项式分解因式的方法把一个多项式分解因式的方法, ,叫做叫做公式法公式法. .公式中的公式中的a, ba, b可可以是以是数数, ,也可以是也可以是整式整式. .知识链接知识链接 例例5 5 分解因式：分解因式：(1) 16(1) 16x x2 2+24+24x x+9+9； (2) (2) x x2 2+4+4xy
5、xy4 4y y2 2. . 分析：在分析：在(1)中，中，16x2=(4x)2，9=32，24x=24x3，所以所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+24x3+32a22a bb2+解：解：(1)16x2+24x+9 = (4x)2+24x3+32 =(4x+3)2.+解：解：(2) x2+4xy4y2 = (x24xy+4y2) = x22x2y+(2y)2 = (x2y)2 . 例例5 分解因式：分解因式： (1)(1) 16x2+24x+9； (2)(2) x2+4xy4y2. 例例6 6 分解因式分解因式: : (1) 3
6、(1) 3axax2 2+6+6axyaxy+3+3ayay2 2; ; (2) ( (2) (a a+ +b b) )2 212(12(a a+ +b b)+36.)+36. 分析：在（分析：在（1 1）中有公因式）中有公因式3 3a a，应先提出，应先提出公因式，再进一步分解公因式，再进一步分解. .解：解：(1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 . .(2)(a+b)212(a+b)+36=(a+b)22(a+b)6+62=(a+b6)2.将将a+ba+b看作一个整体，看作一个整体，设设a+ba+b=m=m, ,则原式化则原式化为完全平方式为
7、完全平方式m m2 21212m+m+36.36.练习练习分解因式分解因式: (2x+y)2-6(2x+y)+9解解: :原式原式=(2x+y)=(2x+y)2 2-2-2. .(2x+y)(2x+y). .3+33+32 2=(2x+y)-32=(2x+y-3)2注意注意: :本例把本例把2x+y2x+y看看作是一个整体作是一个整体, ,或者或者说设说设2x+y=a,2x+y=a,这种数这种数学思想称为学思想称为换元换元思想思想. . 应用提高、拓展创新应用提高、拓展创新 1. 1.把下列多项式分解因式，从中你能把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？发现因式分解的一般步骤吗
8、？ （1 1） ； （2 2） ；（3 3） ；（4 4）（5 5） . . 归纳：归纳：（1 1） 先提公因式（有的话）；先提公因式（有的话）；（2 2） 利用公式（可以的话）；利用公式（可以的话）；（3 3） 分解因式时要分解到不能分解为止分解因式时要分解到不能分解为止. . 2. 2.证明：连续两个奇数的平方差可证明：连续两个奇数的平方差可以被以被8 8整除整除. . 例例7 7：分解因式：分解因式：(1)(1)y y2 24 4x x( (y yx x) )；(2)(2)(a a2 2b b2 2) )2 24 4a a2 2b b2 2. .思路导引：思路导引：(1)(1)题将原式展
9、开，再运用完全题将原式展开，再运用完全平方公式即可分解；平方公式即可分解；(2)(2)题先运用平方差公式分题先运用平方差公式分解因式，然后将各个因式运用完解因式，然后将各个因式运用完全平方公式分解因式全平方公式分解因式解：解：(1)(1)y y2 24 4x x( (y yx x) )y y2 24 4xyxy4 4x x2 2( (y y2 2x x) )2 2. .(2)(2)(a a2 2b b2 2) )2 24 4a a2 2b b2 2( (a a2 2b b2 2) )2 2(2(2abab) )2 2( (a a2 2b b2 22 2abab)()(a a2 2b b2 22
10、 2abab) )( (a ab b) )2 2( (a ab b) )2 2. .【规律总结规律总结】凡是符合完全平方公式左边特点凡是符合完全平方公式左边特点的三项式，的三项式，都可以运用完全平方公式分解因式都可以运用完全平方公式分解因式仔细做一做：分解因式仔细做一做：分解因式: :( (x x+ +y y) )2 2+4(+4(x x- -y y) )2 2-4(-4(x x2 2- -y y2 2).).创新应用创新应用: :已知已知( (a a+2+2b b) )2 2-2-2a a-4-4b b+1=0,+1=0,求求( (a a+2+2b b) )20052005的值的值. .综合
11、拓展综合拓展: :已知已知ABCABC的三边分别为的三边分别为a a, ,b b, ,c c, ,且且a a, ,b b, ,c c满足满足等式等式3(3(a a2 2+ +b b2 2+ +c c2 2)=()=(a a+ +b b+ +c c) )2 2, ,请你说明请你说明ABABC C是是等边三角形等边三角形. .（1）x4-2x2+1解：原式解：原式=（x2-1)2 =(x+1)(x-1)2 =(x+1)2(x-1)2（2）(x2+y2)2-4x2y2解：原式解：原式=（x2+y2)2-(2xy)2 =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2例例8 8
12、 分解因式分解因式（3）3abx2+6abxy+3aby2解：原式解：原式=3ab（x22xyy2）=3ab(x+y)2（4）（）（m+n）2-4m（m+n）+4m2 解：原式解：原式=（m+n）2-22m（m+n）+（2m)2 =（ mn2m ）2 =（mn）2练习：分解因式：练习：分解因式：(1)(1)x x3 34 4x x；(2)36(2)36m m2 2a a9 9m m2 2a a2 23636m m2 2. .思路导引：思路导引：(1)(1)中有公因式中有公因式 x x，先提公因式，先提公因式，剩下剩下 x x2 24 4 可用平方差公式分解可用平方差公式分解(2)(2)中有公因
13、式中有公因式9 9m m2 2，提出后剩下，提出后剩下 a a2 24 4a a4 4，可用完全平方公式进行分解可用完全平方公式进行分解解：解：(1)x34xx(x24)x(x2)(x2)(2)36m2a9m2a236m29m2(a24a4)9m2(a2)2.【规律总结规律总结】因式分解一般按下列步骤进行：因式分解一般按下列步骤进行：(1)(1)一提若有公因式，应先提取公因式一提若有公因式，应先提取公因式(2)(2)二套即套用公式，如果各项没有公因二套即套用公式，如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解若为二项式，那么可以尝试运用公式法来分解若为二项式，考虑用平方差公式；若为式，考虑用
14、平方差公式；若为三项式，考虑用完全平方公式三项式，考虑用完全平方公式例例7 7：若：若9x9x2 2+kxy+36y+kxy+36y2 2是完全平方式，则是完全平方式，则k= k= 分析分析: :完全平方式是形如：完全平方式是形如：a a2 22ab+b2ab+b2 2即两数即两数的平方和与这两个数乘积的的平方和与这两个数乘积的2 2倍的和倍的和( (或差或差).).9x9x2 2+kxy+36y+kxy+36y2 2=(3x)=(3x)2 2+kxy+(6y)+kxy+(6y)2 2kxykxy=2=23x3x6y=36xy6y=36xyk=k=36 36 做一做做一做 若若x x2 2+(
15、k+3)x+9+(k+3)x+9是完全平方式，则是完全平方式，则k=_ k=_ k=3k=3或或k=-9 k=-9 一天一天, ,小明在纸上写了一个算式为小明在纸上写了一个算式为4x4x2 2 +8x+11,+8x+11,并对小刚说并对小刚说: :“无论无论x x取何值取何值, ,这个这个代数式的值都是正值代数式的值都是正值, ,你不信试一试你不信试一试? ?”请运用完全平方公式把下请运用完全平方公式把下列各式分解因式：列各式分解因式：例题例题在进行因式分解时，一般都遵循在进行因式分解时，一般都遵循“一提、二看、一提、二看、三变、四查三变、四查”：(1)(1)一提：提公因式，如果多项式的各项含
16、有公一提：提公因式，如果多项式的各项含有公因式，那么首先提取这个公因式，再进一步分解因式，那么首先提取这个公因式，再进一步分解因式因式(2)(2)二看：符合哪个公式，二看：符合哪个公式，平方差公式；平方差公式；完全平方公式完全平方公式(3)(3)三变：变换后分解因式三变：变换后分解因式(4)(4)四查：查漏补缺，分解因式完成后，还要四查：查漏补缺，分解因式完成后，还要检查以下几项：检查以下几项：分解是否彻底；分解是否彻底；分解是否准确分解是否准确( (通过整式的乘通过整式的乘法来检验结果法来检验结果) )；分解因式的最后结果是不是只分解因式的最后结果是不是只含小括号含小括号例例7 7：若：若9
17、x9x2 2+kxy+36y+kxy+36y2 2是完全平方式，则是完全平方式，则k= k= 分析分析: :完全平方式是形如：完全平方式是形如：a a2 22ab+b2ab+b2 2即两数即两数的平方和与这两个数乘积的的平方和与这两个数乘积的2 2倍的和倍的和( (或差或差).).9x9x2 2+kxy+36y+kxy+36y2 2=(3x)=(3x)2 2+kxy+(6y)+kxy+(6y)2 2kxykxy=2=23x3x6y=36xy6y=36xyk=k=36 36 做一做 若若x x2 2+(k+3)x+9+(k+3)x+9是完全平方式，则是完全平方式，则k=_ k=_ k=3或k=-
18、9 1 1、把、把 分解因式得分解因式得( ( ) ) A A、 B B、2 2、把、把 分解因式得分解因式得 （ ）A A、 B B、BA练一练练一练3 3、如果、如果100100x x2 2+kxy+y+kxy+y2 2可以分解为可以分解为（1010x-yx-y) )2 2, ,那么那么k k的值是（的值是（ ）A A、20 20 B B、-20 -20 C C、10 D10 D、-10-104 4、如果、如果x x2 2+mxy+mxy+9 9y y2 2是一个完全平是一个完全平方式，那么方式，那么m m的值为（的值为（ ）A A、6 6 B B、6 6 C C、3 D3 D、3 3 B
19、B5 5、把、把 分解因式得分解因式得（ ）A A、 B B、C C、 D D、6 6、计算、计算 的的结果是（结果是（ ）A A、 1 B1 B、-1-1C C、 2 D2 D、-2-2CA 练习练习1.下列多项式是不是完全平方式？为下列多项式是不是完全平方式？为什么什么 (1) a24a+4; (2)1+4a2; (3) 4b2+4b1 ; (4)a2+ab+b2.3若若a+b=4，a2+b2=10 求求a3+a2b+ab2+b3的值的值解：原式解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3) =a2(a+b)+b2(a+b) =(a+b)(a2+b2) a+b=4，a2+b2=10 原式原式=410=404已知已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求，求2x2+4xy+2y2的值的值解：由题意：解：由题意：(x+y)2-2(x+y)+1=0 (x+y-1)2=0即即x+y-1=0 x+y=1 2x2+4xy+2y2=2(x+y)2 =212=2五、求证不论五、求证不论x、y取何值取何值,代数式代数式x2+y2+4x-6y+14的值总是的值总是正数正数。即原式的值总是即原式的值总是正数正数证明：证明：x2+y2+4x-6y+14= x2+ 4x + 4+y2-6y+9+1=(x+2)2+(y-3)2+1 (x+2)20，(y-3)2 0 (x+2)2+(y-3)2+10
