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1、 (4.8-1)在一般有限长变换中，其正反变换式可写为 (4.8-2)式中k(n)称基序列或变换核，它们相互正交，即4.8 离散余弦变换离散余弦变换(4.8-3)序列。变换，使得x(n) 是实序列时，其变换A(k)=X(k) 也是实也是复序列。实际上有若干种实数基序列（变换核）的DFT就是这类变换之一。在DFT中，基序列是复周期序列WN 。在这种变换中，即使x(n) 是实序列，其变换X(k) 是归一化正交变换如果缩方面特别有用十分重要。的特点，在数字信号处理的应用，尤其是语音、图像压DCT与DFT关系密切。由于DCT具有能量集中(压缩)离散余弦变换(DCT)就是一种实序列的正交变换，且DCT的
2、变换形式如(4.8-1) (4.8-2)式，其中变换核(基序4.8.1、离散余弦变换的定义、离散余弦变换的定义列)是余弦函数。性。由x(n) 的展开不同，有数种DCT的定义。讨论 x(n)的展开。1/41/81/231210例 即与DFT隐含着周期性相似，DCT同时隐含周期对称中的x(n)在区间0 n N-1外的延伸也是周期对称的。x(n)n因为余弦函数既是周期的又是对称的，使(4.8-2)式11/21/41/40 1 2 3 4 5 6 7 81/41/81/211/2的周期为2N-2=6 ，对应DCT-1 n11/811/21/41/40 1 2 3 4 5 6 7 8 91/41/81/
3、211/2的周期为2N=8 ，对应DCT-2 n1/4-1/2-1-1/41/21/811/4-1/2-1/81-1/41/2-1/813 14 155 6 7 8 9 10 11 120 1 2 3 4的周期为4N=16 ，对应DCT-3 n-1-1/81/4-1/2-1-1/41/21/811/4-1/2-1/81-1/41/2121314 155 6 7 8 9 10 110 1 2 31的周期为4N=16 ，对应DCT-4 n对于给定的实序列x(n) ，0 n N-1 ，DCT定义为(4.8-5)(4.8-4)式中由x(n) 的展开不同，有数种DCT的定义，只讨论最常用的一种，即DCT
4、-2。(4.8-6)反变换系数是归一化正交变换所需要的0 n N-1x(n)=IDCTX(k)在本节中 Xc2 (k)或X c(k)为简便记为X (k)。 由DCT的定义计算变换可以用矩阵表示为Xc=CNx其中 CN是NN的变换矩阵，例N=8DCT的反变换的矩阵表示为所以CN是归一化的正交阵，DCT是正交变换。CN的行、列向量均有如下正交关系 (4.8-7)例 4.8.2、用、用DFT处理处理DCT将N点x(n)实序列扩展为2N点的序列y(n)1/41/81/231210x(n)n1/811/40 1 2 3 4 5 6 71/41/81/211/2由图可见y(n)对N-1/2偶对称。 1/4
5、1/81/231210x(n)n对后一项令y(n)的DFT为(4.8-8) 令可写为k=0,1,2,2N-1与DCT定义比较(4.8-9)或(4.8-10)(4.8-11)(4.8-10)式不仅给除了DFT与DCT的关系，也给出了一种将其结果乘以DCT的算法：将x(n) 扩展为2N点序列，并求2N的DFT，对IDCT也可以由Y(k)求 2N点的IDFT得到y(n)，再由(4.8-7)式的y(n)中截取前N点得到x(n)。后取实部，再乘以适当常数因子。4.8.3、快速余弦变换FCT但它没有利用DCT实系数的优点。实际上DCT余弦变换也有类似DFT的快速算法FCT。其思路、原理与FFT很相似。思路
6、是将长点的DCT分解为短点的DCT，利用基序列余弦的递推关系，减少乘法次数，其流图结构与FFT也很相似。利用DFT求DCT的算法，可以通过FFT提高计算效率，由DCT与IDCT的定义，其基序列（变换核）相同，以IDCT为例，推导快速余弦变换的原理。(4.8-6)为推导方便将(4.8-6)式改写为(4.8-12)1、一个N点的IDCT分解为两个N/2点的IDCT 0 n N-1 (4.8-12)式中(4.8-13) (4.8-14)将(4.8-12)式中的 按 的奇、偶分为两部分 (4.8-15)式中= g(n)+h(n) 是N/2点的IDCT 利用 (4.8-17)积的公式作恒等变换h(n)还
7、不是标准的N/2点的IDCT利用三角的和差与2cos cos = cos(+) + cos(-) (4.8-18)令(4.8-19)对(4.8-17)式两边乘以得(4.8-20)并且定义即(4.8-20)式的第二项可写为 (4.8-21) 将(4.8-21)式代入(4.8-20)式(4.8-22)(4.8-23)h(n)是N/2点的IDCT，与h(n)的关系为 (4.8-24)现在g(n)与都可表示为N/2点的IDCT，由式(4.8-15)可得到前N/2点的x(n)0 n (N/2)-1而后N/2点的x(n)，利用余弦的周期对称性：x(N-n-1)= g(N-n-1)+h(N-n-1) (4.
8、8-25) = g(n)-h(n)分解方法同上， 由式(4.8-16)(4.8-26)其中中的 取奇、偶2、一个、一个N/2点的点的IDCT分解为两个分解为两个N/4点的点的IDCT (4.8-27)(4.8-29)(4.8-28)利用(4.8-30)(4.8-31)同上利用定义(4.8-31)式的后一项(4.8-34)以及 (4.8-33)(4.8-32)这样，得到(4.8-35)( 4.8-36)( 4.8-37)由此，前N/4点的g(n)为后N/4点的g(n)为同理由(4.8-23)( 4.8-38)其中中的 取奇、偶( 4.8-39)( 4.8-40)( 4.8-41)利用(4.8-3
9、1)式(4.8-42)(4.8-33)以及同上利用定义 (4.8-42)式的后一项( 4.8-43)这样，得到( 4.8-44)( 4.8-45)( 4.8-46)由此，前N/4点的h(n)为后N/4点的h(n)为例、8点IFCT的流图一个8点的IDCT分解为两个4点的IDCT0 n 30 n 33、不断分解，直到两点IDCT-1-1-1-1 图4.8-1 8 8点的点的IDCTIDCT分解为两个分解为两个4 4点的点的IDCTIDCT一次分解后的流图如图4.8-2所示。X(0)X(7)X(6)X(5)X(4)X(3)X(2)X(1)x(0)x(7)x(6)x(5)x(4)x(3)x(2)x(
10、1)N/2点DFCN/2点DFC二次分解将一个二次分解将一个4点的点的IDCT分解为两个分解为两个2点的点的IDCT-1-1g(n)流图为g(0)g(3)g(2)g(1)g1(0)g1(1)g2(0)g2(1)利用-1-1h1(0)h1(1)h2(0)h2(1)h(n)流图为-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1 图4.8-2 8 8点的点的IFCTIFCT流图流图 最后，N=8点的IFCT流图4.8-3如下所示X(0)X(7)X(6)X(5)X(4)X(2)X(1)X(3)x(0)x(7)x(6)x(5)x(4)x(3)x(2)x(1)因为FCT的算法是IFCT的逆过程，所以翻转I
11、FCT的流图由图4.8-2可归纳FCT的一般运算规律(1)、乘法次数 ，若 是实序列，运算就是实数运算。的方向就可得到FCT的运算流图。(2) 输入是倒序位的。(3) 输出序号的生成由一对二进制数(0，1)开始，在每个作业：作业：画出画出16点点IFCT流图流图110，100，101)；。后取反，得到八个二进制数(000，001，011，010，111，依此方法再对四个二进制数(00，01，11，10) 前加“0”制数(00，01)取反，得到四个二进制数(00，01，11，10)数前加一个“0”，得到一对二进制数(00，01)；对这对二进当N=8时，就是x(0), x(1) ,x(3) ,x(2), x(7), x(6),x(4),x(5)。h(n)是N/2点的IDCT，与h(n)的关系为(4.8-23)现在g(n)与h(n)都可表示为N/2点的IDCT，由式(4.8-15)x(n)= g(n)+h(n)可得到前 N/2点的x(n)：0 n (N/2)-1(4.8-24) 而后N/2点的x(n)，利用余弦的周期对称性：x(N-n-1)= g(N-n-1)+h(N-n-1) (4.8-25) = g(n)+h(n)
