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1、第一节第一节一、平面(pngmin)点集n 维空间二、多元函数(hnsh)的概念三、多元(du yun)函数的极限四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念 第九章 第1页/共31页第一页，共32页。1邻域(ln y)一、平面(pngmin)点集n维空间(不记笔记)注称为点 的去心邻域。第2页/共31页第二页，共32页。2区域(qy)(1) 内点、外点、边界(binji)点与边界(binji)设有点集 E 及一点(y din) P， 若存在点 P 的某邻域U(P)，使得U(P) E , 若存在点 P 的某邻域U(P)，使得 U(P) E = , 若点 P 的任一
2、邻域 U(P)内既含属于 E 的点，又含不则称 P 为 E 的内点；属于 E 的点 , 则称 P 为 E 的边界点；则称 P 为 E 的外点; E 的边界点的全体称为E 的边界。第3页/共31页第三页，共32页。例如例如(lr)(lr)：上任(shng rn)一点都是边界点边界(binji)为圆周的边界为圆周及圆周的边界为 若点 P 的任一邻域 U(P)内既含属于 E 的点，又含不属于 E 的点 , 则称 P 为 E 的边界点；E 的边界点的全体称为E 的边界。第4页/共31页第四页，共32页。(3) 开集、闭集 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若E 的边界(binji)包含在
3、E 内, 则称 E 为闭集；例如(lr)：开集为闭集第5页/共31页第五页，共32页。(4) 连通(lintng)集D若集 D 中任意(rny)两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,则称 D 是连通(lintng)集; 是开集，但不是连通集是连通集第6页/共31页第六页，共32页。(5) (开)区域(qy)、闭区域(qy)D 开区域连同它的边界一起(yq)称为闭区域。 连通的开集称为(chn wi)开区域 ,简称区域 ; 例如，（开）区域闭区域第7页/共31页第七页，共32页。为有界闭区域(qy)；为无界开区域(qy)例如(lr)，（6）有界点集、无界点集 若平面点集 E 可包含于原点的某个
4、邻域内，则称 E 为有界点集；否则，称 E 为无界点集第8页/共31页第八页，共32页。以后(yhu)区域可简单(jindn)地表示成机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共31页第九页，共32页。3n 维空间注注10 设两点为则20 平面点集的有关(yugun)概念均可推广到n 维空间中去，如，邻域(ln y)：在空间中表示(biosh)闭区域，边界面为第10页/共31页第十页，共32页。二、多元函数(hnsh)的概念两个自变量的函数称为(chn wi)二元函数，一般记为1多元(du yun)函数的概念同理，三个自变量的函数称为三元函数，一般记为二元及二元以上的函数称为多元
5、函数。，例如第11页/共31页第十一页，共32页。例1 设 求：解：。第12页/共31页第十二页，共32页。例2 求 的定义域解所求定义域为。第13页/共31页第十三页，共32页。2. 二元函数 的图形二元函数 的图形通常是一张空间曲面，例如(lr)：定义域为圆域图形(txng)为中心在原点的上半球面。第14页/共31页第十四页，共32页。三、多元(duyun)函数的极限f (x,y)=3x+2yxyf (x,y)1.52.49.31.11.97.10.992.016.991.0011.9997.0011.00012.00017.0005则称 7是当对应(duyng)的时的极限(jxin)当点
6、趋向于点第15页/共31页第十五页，共32页。当点 无限(wxin)趋近于点 时，由于(yuy)记或的值无限(wxin)接近于常数 A，则称 A 是当点 趋向于点 时的极限，记为一般地：因此有第16页/共31页第十六页，共32页。定义(dngy)2. 设函数 f (x,y)的定义(dngy)域为D，边界点 ,则称A为函数(hnsh)P0 是D的内点或若存在(cnzi)常数A,当都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 , 总存在正数 ,时的极限，记作第17页/共31页第十七页，共32页。例例3. 3. 证明证明(zhngmn(zhngmng)g)证:故总有机动(jdng) 目录 上页
7、 下页 返回 结束 要证 只要(zhyo)取当有第18页/共31页第十八页，共32页。注： 若点以两种不同方式趋于时，趋于两个不同值，或当点以某种的极限不存在，方式趋于时，则不存在。 第19页/共31页第十九页，共32页。例4 证明(zhngmng) 不存在. 证故不存在。以两种不同方式趋于，趋于不同值第20页/共31页第二十页，共32页。四、多元(duyun)函数的连续性定义(dngy)3 如果函数 在 D 上的每一点都连续，则称函数 在 D上连续，或者称 是 D上的连续函数。定义(dngy)4第21页/共31页第二十一页，共32页。例5 讨论(toln)在 (0,0) 的连续性解其值随k的
8、不同(b tn)而变化，因为(yn wi)因此， 在点(0,0)处不连续。故极限 不存在第22页/共31页第二十二页，共32页。定理(dngl)一切多元初等函数都在其定义(dngy)区域内连续注定义区域(qy)是指包含在定义域内的开区域(qy)或闭区域(qy)。例6求解 原式= 第23页/共31页第二十三页，共32页。例7解第24页/共31页第二十四页，共32页。4有界闭区域上连续函数的性质(xngzh)(了解,不记) 有界闭区域D上的多元(du yun)连续函数必在D上取得它的最大值和最小值 有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得(qd)介于其最小值与最大值之间的一切值。（2）最值性（3）
9、介值性（1）有界性有界闭区域D上的多元连续函数必在D上有界第25页/共31页第二十五页，共32页。习题(xt)P561,3(1)(4),4,5,6(1)(3)(4)(6),7(1),8(2)第26页/共31页第二十六页，共32页。思考题解答(jid)不能！例如(lr)：取但是， 不存在.因为(yn wi)若取 若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于A，能否断定？第27页/共31页第二十七页，共32页。备用备用(biyn(biyng)g)题题设求解 令机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第28页/共31页第二十八页，共32页。证：因为(yn wi)所以(suy) 不存在(c
10、nzi)。以两种不同方式趋于，趋于不同值例4 设，不存在证明：第29页/共31页第二十九页，共32页。例8解 （理由：无穷小与有界函数(hnsh)的乘积仍为无穷小。）第30页/共31页第三十页，共32页。感谢您的观看(gunkn)！第31页/共31页第三十一页，共32页。内容(nirng)总结第一节。(1) 内点、外点、边界点与边界。第3页/共31页。 开区域(qy)连同它的边界一起称为闭区域(qy)。（6）有界点集、无界点集。20 平面点集的有关概念均可推广到n 维空间中去，。以两种不同方式趋于时，。方式趋于时，。则不存在。故不存在。以两种不同方式趋于，。因此， 在点(0,0)处不连续。定义区域(qy)是指包含在定义域内的开区域(qy)或闭区域(qy)。6(1)(3)(4)(6),第三十二页，共32页。
