《第一节微分中值定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一节微分中值定理（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第一节第一节 微分中值定理微分中值定理引理引理罗尔定理罗尔定理方程根的判定方程根的判定拉格朗日定理拉格朗日定理柯西中值定理柯西中值定理几何意义几何意义有限增量公式有限增量公式函数的单调性函数的单调性单调区间单调区间第三章第三章 中值定理和导数的应用中值定理和导数的应用1引理引理(费马定理费马定理）：）：若函数若函数y=f(x)（1）在在x0的某邻域内有定义的某邻域内有定义且在且在x0 取得最值；取得最值；（2）在在x0处可导。处可导。则则f (x0)=0. 证明思路证明思路证：证： 不妨设不妨设f(x0)是是x0某邻域内的最大值某邻域内的最大值 保号性定理保号性定理保号性定理保号性定理 x0
2、处可导处可导不妨设不妨设f(x0)最大最大 2一、罗尔定理一、罗尔定理一、罗尔定理一、罗尔定理 使得使得条件：条件：条件：条件： 结论：结论：结论：结论： 注意注意：（1）条件并非缺一不可；）条件并非缺一不可；（2）罗尔定理的条件充分而非必要。）罗尔定理的条件充分而非必要。证明的关键是证明的关键是： 是区间的内点；是区间的内点；ab。3证明思路证明思路:M=mf(x)=C(a,b)内任意点可为内任意点可为 MmM,m不可能都在端点取得，不可能都在端点取得，设设M由区间内某点取得由区间内某点取得f(a)=f(b)由引理可得结论由引理可得结论引理引理(费马定理费马定理）：）：若函数若函数y=f(x
3、)（1）在在x0的某邻域内有的某邻域内有定义且在定义且在x0 取得最取得最值；值；（2）在在x0处可处可导。导。则则f (x0)=0.使得使得条件：条件：条件：条件： 结论：结论：结论：结论： 4二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理结论等价于：结论等价于： 条件：条件：条件：条件： 结论：结论：结论：结论： 或：或：AB的方程为：的方程为：在 上满足罗尔定理的条件，且上满足罗尔定理的条件，且 5证证则必然则必然使得使得即即所以所以证毕证毕构造函数：构造函数：显然显然且且6拉格朗日中值公式的其它形式拉格朗日中值公式的其它形式拉格朗日中值公式的其它形式拉
4、格朗日中值公式的其它形式注意：注意：注意：注意：函数的微分是增量的近似公式函数的微分是增量的近似公式其中，其中，x在区间的端点取值，在区间的端点取值，dx则要很小。且则要很小。且f (x)不为零。不为零。而拉格朗日增量公式则是一个精确公式而拉格朗日增量公式则是一个精确公式因此，拉格朗日中值公式又叫做因此，拉格朗日中值公式又叫做有限增量公式有限增量公式 7推论推论推论推论1 1 证证 则则在在上满足拉格朗日定理的条件上满足拉格朗日定理的条件 推论推论推论推论2 2 8三、柯西中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理 条件：条件：条件：条件： 结论：结论：结论：结论： 9则曲线上任
5、一点（则曲线上任一点（X,Y ） 处的切线的斜率为：处的切线的斜率为： 弦弦AB的斜率为：的斜率为：设曲线弧设曲线弧 AB 由参数方程由参数方程 确定，其中确定，其中 为参数。为参数。 假定点假定点C对应于参数对应于参数那么曲线上点那么曲线上点 C 处的切线平行于处的切线平行于 AB可表示为可表示为A柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义P1410注意：注意：注意：注意： （1）定理中的定理中的f( )，F( )是在同一点是在同一点 处的导数值，所以处的导数值，所以下面的证明是错误的：下面的证明是错误的：因为不能保证，两个函数由拉格朗日定理得到的是同一个点因为
6、不能保证，两个函数由拉格朗日定理得到的是同一个点 .（2）若若F(x)=x，则成为柯西定理的特殊情况，与拉格朗日则成为柯西定理的特殊情况，与拉格朗日 定理的形式相同。所以拉格朗日定理是柯西定理的特例。定理的形式相同。所以拉格朗日定理是柯西定理的特例。柯西定理则是拉格朗日定理的推广柯西定理则是拉格朗日定理的推广 。（3）柯西定理的一个重要应用就是洛必达法则。柯西定理的一个重要应用就是洛必达法则。11证：证：引入辅助函数：引入辅助函数：满足罗尔定理的全部条件，满足罗尔定理的全部条件，且：且：由罗尔定理，至少存在一点由罗尔定理，至少存在一点 （a，b） ，使使 即：即：于是：于是：A12例例1 验证
7、罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数 在区间在区间 上的正确性。上的正确性。 解解： 函数函数 在在 上连续，上连续， 在在内可导，内可导， （函数（函数 是初等函数，是初等函数， 且当且当 时，时， 即即 是是 定义域内的一部分；定义域内的一部分； 且且令令得得即即使得使得四四四四. . . .例题例题例题例题: : : : 13 例例2 不用求函数不用求函数 的导数，说明的导数，说明 方程方程 有几个实根，并指出它们所在的区间。有几个实根，并指出它们所在的区间。 解解 在在 显然函数显然函数 在在上连续，上连续，内可导，内可导， 且且 由罗尔定理：由罗尔定理： 使得使得 同理同理 使得使得 即
8、即 都是方程都是方程 的根。的根。 注意到注意到 为三次方程，为三次方程， 它最多有三个根。它最多有三个根。 我们已经找到它的三个实根我们已经找到它的三个实根 所以这三个根就是方程所以这三个根就是方程 的全部根。的全部根。 14例例3 证证拉格朗日定理的条件，即拉格朗日定理的条件，即 则则 显然，函数显然，函数在在上满足上满足15例例4 证明下列不等式：证明下列不等式：证证(1)令令 在在上连续，在上连续，在 内可导，则内可导，则 由由即即所以所以（2）令令取区间取区间由于函数由于函数在在上连续，在上连续，在内可导，内可导，所以所以即即因此因此 16例例5 设设在区间在区间上连续，在上连续，在
9、内可导，证明：内可导，证明：至少存在一点至少存在一点 使使 分析：分析：分析：分析：将将 中的中的 换为换为 得得 令令 得得 解解 令令 显然显然 在在 上满足拉格朗日定理的条件上满足拉格朗日定理的条件, 至少存在一点至少存在一点 使得使得 即即 17例例6 设设 在在 上连续，在上连续，在 内可导，证明内可导，证明使得使得 ( )( )( )( )()( )( )( )( )x xx xgagfafabbgagbfaf-=证证 设设在在上连续，在上连续，在内可导，且内可导，且分析：分析：分析：分析： 设设 18即即所以所以由拉格朗日定理由拉格朗日定理 19因为因为 且且 不恒为常数，不恒为
10、常数， 不妨设不妨设 同理可证：同理可证： 的情形的情形.证明证明 显然显然 在在 上满足拉格朗日中值定理的条件，上满足拉格朗日中值定理的条件， 使使 于是至少存在一点于是至少存在一点例例7 设不恒为常数的函数设不恒为常数的函数 上连续上连续,在在 内可导，且内可导，且 证明至少存在一个证明至少存在一个使使 在在 使得使得 所以至少存在一点所以至少存在一点 20例例8 若函数若函数在在内满足关系式内满足关系式且且则则证证构造函数构造函数 即即21证证设设例例9 设设在在上连续，在上连续，在内可导，证明内可导，证明使得使得故故22例例10 设函数设函数 上连续上连续,在在 内可导，且内可导，且
11、在在 试证存在试证存在 使得使得 分析：分析：分析：分析：上式变形为上式变形为 右侧为右侧为 和和 导数的比值，因此设导数的比值，因此设 应用柯西中值定理。应用柯西中值定理。 证证 令令 则则 和和 上满足柯西中值定理的条件上满足柯西中值定理的条件 在在 因此必因此必 使得使得 又又 上满足拉格朗日中值定理的条件，因此上满足拉格朗日中值定理的条件，因此 在在 使得使得 由已知由已知 知知 从而从而 23故故 即即 例例11 设设证明证明证证 设设 则则 在在 上连续，在上连续，在 内可导，内可导， 24例例12 设设在在 上连续，在上连续，在 内可导，且内可导，且 证明至少存在一点证明至少存在一点 使得使得 分析：分析：分析：分析：此题证明的关键是由题目中的结论构造出满足罗尔此题证明的关键是由题目中的结论构造出满足罗尔 定理的函数。定理的函数。 将将 中的中的 换为换为x，即即令令 证明证明 显然显然F(x)在在0,1上连续，在上连续，在(0,1)内可导，内可导，又又 由零点定理可知，存在一点由零点定理可知，存在一点 使使 又又 对对F(x)在在0, 上应用罗尔定理，至少存在一点上应用罗尔定理，至少存在一点 使得使得即即令令 25
