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1、第一章第一章 几何空间中的向量几何空间中的向量 第三节 向量运算的坐标表示n 仿射坐标系（了解）n 空间直角坐标系n 向量运算的坐标表示（重点）1一、一、 仿射坐标系仿射坐标系1 1、仿射坐标系存在性定理、仿射坐标系存在性定理2说明：说明： 1. 三个不共面的向量就足以表示空间中的所有三个不共面的向量就足以表示空间中的所有 其它向量。其它向量。 2. 对于选定的三个对于选定的三个不共面的不共面的向量，没有要求它向量，没有要求它 们一定互相垂直。们一定互相垂直。32 2、仿射坐标系仿射坐标系定义定义 43 3、向量坐标化、向量坐标化 取定取定仿射坐标系后，仿射坐标系后， 因此几何空间的向量与因此
2、几何空间的向量与3 3元有序组是一一对应元有序组是一一对应5横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.二、二、 空间直角坐标系（特殊仿射坐标系）空间直角坐标系（特殊仿射坐标系）6面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限7 1、直角坐标系概念、直角坐标系概念zijkMoxyCABzyxN82、 空间上两点间距离公式空间上两点间距离公式93、方向余弦的坐标表示式、方向余弦的坐标表示式.1). 方方向向角角: 非零向量 与x, y, z 轴正向夹角, , , 称为 的方向角.2). 方向方向余弦余弦
3、: 方向角的余弦 cos, cos, cos, 称为方向余弦.3). 方向余弦的坐标表达式方向余弦的坐标表达式故有 ax =| | cos ay =| | cos az =| | cosayzx0设 =(ax, ay, az)10又：11由上式可得cos2 +cos2 +cos2 = 1设ao是与a同向的单位向量= (cos , cos , cos )12二、向量运算的坐标表示二、向量运算的坐标表示1、线性运算坐标表示、线性运算坐标表示设设 = (x1, x2, x3), = (y1, y2, y3), 则则 (k1x1+k2y1, k1x2+k2y2, k1x3+k2y3). k1 +k2
4、= 13例例. 设两个定点为设两个定点为P1(x1, y1, z1)与与P2(x2, y2, z2), 若点若点P(x, y, z)把有向线段把有向线段P1P2分成定比分成定比 , 即即P1P = PP2 ( 1), 求分点求分点P的坐标的坐标.x xy yz zP P1 1P PO O P P2 2 OP OP1 = (OP2 OP ) OP =OP1+ OP21+ y =y1+ y21+ ,x =x1+ x21+ ,z =z1+ z21+ . 14设设2、内积坐标表示、内积坐标表示15两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为16解解17设设3、向量积、向量积坐标表示坐标表示提示：提示：咋判断咋判断 等等正负号？等等正负号？18向量积可用二阶行列式表示向量积可用二阶行列式表示提示：提示：1、行列式是一种运算符号，如同加法减法一样、行列式是一种运算符号，如同加法减法一样2、三阶行列式计算方法（递推法）、三阶行列式计算方法（递推法）3、行列式交换后面两行会怎么样？、行列式交换后面两行会怎么样？向量积还可用三阶行列式向量积还可用三阶行列式19解解20设设4、混合积的坐标表达式、混合积的坐标表达式则则因此因此21解解2223解解24
