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1、4.3 单边拉普拉斯反单边拉普拉斯反( 逆逆) 变换变换Laplace反变换的求解方法反变换的求解方法 查表法查表法 部分分式展开法部分分式展开法 围线积分法围线积分法留数法留数法 利用里曼利用里曼-梅林反演公式梅林反演公式 借助计算机求反变换借助计算机求反变换 利用拉氏变换的性质求反变换利用拉氏变换的性质求反变换1. 查表法查表法利用表利用表4.2或附录或附录F求拉氏反变换。求拉氏反变换。查表得：查表得：所以：所以：例例. 已知已知 ，求其拉氏反变，求其拉氏反变换。换。解解. 将将 表示为常用信号的拉氏变换形式，即：表示为常用信号的拉氏变换形式，即：2.2.利用拉氏变换的性质求反变换利用拉氏
2、变换的性质求反变换例例. 已知已知 ， 求求 的原函数的原函数 。解：解：可以表示为可以表示为又已知又已知根据根据s域微分性质，则域微分性质，则3.3.部分分式展开法（展开定理）：部分分式展开法（展开定理）：在线性系统中，激励或响应的拉氏变换通常为有在线性系统中，激励或响应的拉氏变换通常为有理分式，即理分式，即其中其中 均为实数。均为实数。*若若m=n，则，则 为假分式，为假分式， 利用利用长除法（多项长除法（多项式除法）式除法）可将其分解为多项式与真分式之和。可将其分解为多项式与真分式之和。其中多项式的逆变换为冲激函数及其各阶导数其中多项式的逆变换为冲激函数及其各阶导数之和，而真分式可展开为
3、部分分式后求逆变换。之和，而真分式可展开为部分分式后求逆变换。例例. 已知已知 ，求反变换求反变换 。解解:其中其中根据根据 ，则，则式中式中1）分母）分母 A(s)=0 的根均为单实根（的根均为单实根（ 仅有仅有单单极点）。极点）。分三种情况：分三种情况：解：解：例例. 已知已知 ，求求 。所以：所以：反变换得：反变换得：例例. 已知已知 ，求反变换求反变换 。解：用长除法得到解：用长除法得到2）分母）分母 A(s)=0 有共轭复根（有共轭复根（ 有复极点）。有复极点）。若分母若分母A(s)=0有复根，则必然共轭成对出现。与有复根，则必然共轭成对出现。与前面只有实根的情形一样，先展开为部分分
4、式，前面只有实根的情形一样，先展开为部分分式，再求逆变换。最后进行整理，简化计算结果。再求逆变换。最后进行整理，简化计算结果。设设 ，则，则利用单极点展开法，得系数利用单极点展开法，得系数例例. 已知已知 ，求反变换求反变换 。解解: 由由 有共轭复根有共轭复根 。反变换得：反变换得：例例. 求求 。解：解：共轭复根共轭复根应用复频移性质应用复频移性质因为因为所以所以思考题：思考题：已知已知 ，求求反变换反变换 。不是有理分式不是有理分式18-418-4其中其中而而再由复频移性质再由复频移性质3）分母）分母 A(s) = 0 有有 重根（重根（ 有重极点）。有重极点）。表4.2例例. 已知已知
5、 ，求求F(s)的单边拉的单边拉氏氏解解: F(s)可展开为可展开为单极点项：单极点项：逆变换。逆变换。于是得于是得重极点项：重极点项：所以所以例例. 已知已知 为为f(t)的双边拉氏变换。的双边拉氏变换。（1）试求所有可能的收敛域；）试求所有可能的收敛域；（2）求出与各）求出与各收敛域收敛域对应的时间函数表达式；对应的时间函数表达式；（3）指出各收敛域的傅立叶变换是否存在？）指出各收敛域的傅立叶变换是否存在？解：（解：（1）在）在s=-2，s=-3处有极点，可能的收敛域有处有极点，可能的收敛域有-2-3-2-3傅立叶变换存在傅立叶变换存在傅立叶变换不存在傅立叶变换不存在（2）时间函数表达式时间函数表达式对对对对对对
