高中数学 探究导学课型 第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件 新人教版必修4

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1、1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象【自主预习【自主预习】主题主题: :正弦函数与余弦函数的图象正弦函数与余弦函数的图象1.1.观察正弦曲线观察正弦曲线y=sinx,x0,2y=sinx,x0,2的图象的图象, ,回答下面回答下面的问题的问题: :在正弦曲线在正弦曲线y=sinx,x0,2y=sinx,x0,2的图象中起关键的点有的图象中起关键的点有哪些哪些? ?提示提示: :关键的点有五点关键的点有五点: :即即(0,0), ,(0,0), ,(,0),0)， ，(2,0).(2,0).2.2.观察余弦曲线观察余弦曲线y=cosx,x0,2y=cosx,x0,2的图象

2、的图象, ,回答下面回答下面的问题的问题: :在余弦函数在余弦函数y=cosx,x0,2y=cosx,x0,2的图象中的图象中, ,关键的点有关键的点有哪些哪些? ?提示提示: :关键的点有五点关键的点有五点: :即即(0,1), ,(,-1), ,(0,1), ,(,-1), ,(2,1).(2,1).通过以上探究通过以上探究, ,总结得到什么结论总结得到什么结论? ?用文字语言描述用文字语言描述: :在在0,20,2上上,y=sinx,y=sinx与与y=cosxy=cosx图象上图象上 的最高点、最低点、图象与坐标轴的的最高点、最低点、图象与坐标轴的 交点起着关键作用交点起着关键作用,

3、,这五个点描出后这五个点描出后 图象的形状就基本确定了图象的形状就基本确定了. . 五点法作图五点法作图: :先找出五个关键点再用光滑曲线连接起来先找出五个关键点再用光滑曲线连接起来, , 就得到简图的方法称为就得到简图的方法称为“五点法五点法”. . 正弦曲线、余弦曲线正弦曲线、余弦曲线: :(1)(1)正弦曲线正弦曲线如图所示如图所示: :正弦函数的图象叫做正弦曲线正弦函数的图象叫做正弦曲线. .(2)(2)余弦曲线余弦曲线将正弦曲线向将正弦曲线向_平移平移_个单位个单位, ,得到余弦曲线得到余弦曲线余弦函数的图象叫做余弦曲线余弦函数的图象叫做余弦曲线. .左左【深度思考【深度思考】结合教

4、材结合教材P32P32例例1 1你认为怎样画三角函数的图象你认为怎样画三角函数的图象? ?第一步第一步:_;:_;第二步第二步:_;:_;第三步第三步:_.:_.按五个关键点列表按五个关键点列表描点描点用光滑的曲线将这些点连接起来用光滑的曲线将这些点连接起来【预习小测【预习小测】1.1.已知正弦函数过点已知正弦函数过点 , ,则则m m的值为的值为( () )A.A. B. B. C. C. D.1 D.1【解析【解析】选选A.A.因为因为sin ,sin ,所以所以m= .m= .2.2.在在“五点法五点法”中中, ,正弦曲线最低点的横坐标与最高点正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等

5、于的横坐标的差等于( () )A.A. B. B. C. C. D.2 D.2【解析【解析】选选B.B.由五点作图法知由五点作图法知, ,最低点横坐标为最低点横坐标为 , ,最最高点横坐标为高点横坐标为 , ,故它们的差为故它们的差为.3.3.用用“五点法五点法”作作y=2sin2xy=2sin2x的图象时的图象时, ,首先描出的五个首先描出的五个点的横坐标是点的横坐标是( () ) 【解析【解析】选选B.B.由由“五点法五点法”知知 所以所以 . .故选故选B.B.4.4.用五点法作用五点法作y=1+cosx,x0,2y=1+cosx,x0,2的图象时的图象时, ,其中第其中第二个关键点的坐

6、标为二个关键点的坐标为. .【解析【解析】由五点作图法的规则知第二个点坐标为由五点作图法的规则知第二个点坐标为 . .答案答案: :5.5.函数函数y=sinxy=sinx的图象和的图象和y=cosxy=cosx的图象在的图象在0,20,2内的交内的交点坐标为点坐标为. .【解析【解析】由由sinx=cosxsinx=cosx且且x0,2,x0,2,所以所以 或或 当当 时时, , 当当 时时 答案答案: : 或或【备选训练【备选训练】作出作出y=2-sinx,x0,2y=2-sinx,x0,2的图象的图象.(.(仿照仿照教材教材P32P32例例1 1解析过程解析过程) )【解析【解析】找出五

7、点找出五点, ,列表如下列表如下: :x x0 022y=sinxy=sinx0 01 10 0-1-10 0y=2-sinxy=2-sinx2 21 12 23 32 2描点作图描点作图( (如图所示如图所示).).【互动探究【互动探究】1.y=sinx,x0,21.y=sinx,x0,2的图象与的图象与y=sinx,x2,4y=sinx,x2,4的图象有何关系的图象有何关系? ?提示提示: :它们的形状相同它们的形状相同, ,位置不同位置不同, ,将将y=sinx,x0,2y=sinx,x0,2的图象向右平移的图象向右平移2 2个单位与个单位与y=sinx,x2,4y=sinx,x2,4的

8、图象重合的图象重合. .2.2.观察正弦曲线观察正弦曲线y=sinx,xRy=sinx,xR, ,你能发现哪些变化规律你能发现哪些变化规律? ?提示提示: :(1)(1)正弦曲线夹在两条直线正弦曲线夹在两条直线y=-1y=-1和和y=1y=1之间之间. .(2)(2)每每22个单位长度重复出现个单位长度重复出现. .(3)(3)正弦曲线在正弦曲线在x=k(kZx=k(kZ) )附近附近, ,曲线曲线“陡陡”一些一些; ;在在x=k+ (kZx=k+ (kZ) )附近附近, ,曲线曲线“平缓平缓”一些一些. .【探究总结【探究总结】知识归纳知识归纳: :方法总结方法总结: :正正( (余余) )

9、弦函数图象的作法弦函数图象的作法(1)(1)几何法几何法: :就是利用单位圆中的正弦线和余弦线作出就是利用单位圆中的正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法正、余弦函数图象的方法, ,该方法作图较为精确该方法作图较为精确, ,但画但画图时较为烦琐图时较为烦琐. .(2)(2)五点法五点法: :就是利用五个关键点作图的方法就是利用五个关键点作图的方法, ,是我们作是我们作三角函数图象的基本方法三角函数图象的基本方法, ,在要求精度不太高的情况下在要求精度不太高的情况下常用此法常用此法. .作图时要注意五个关键点的确定作图时要注意五个关键点的确定. .【题型探究【题型探究】类型一类型一: :“五点

10、法五点法”作正弦、余弦函数的图象作正弦、余弦函数的图象【典例【典例1 1】作出下列函数在作出下列函数在-2,2-2,2上的图象上的图象. .(1)y=sinx-1.(2)y=2+cosx.(1)y=sinx-1.(2)y=2+cosx.【解题指南【解题指南】先在先在0,20,2范围内列出五个关键点的坐范围内列出五个关键点的坐标标, ,描点连线得在描点连线得在0,20,2范围内图象范围内图象, ,再由对称性得再由对称性得-2,2-2,2范围内的图象范围内的图象. .【解析【解析】(1)(1)先作出先作出y=sinx-1y=sinx-1在在x x0,20,2 上的图象上的图象. .列表列表: :x

11、 x0 022y=sinxy=sinx0 01 10 0-1-10 0y=sinx-1y=sinx-1-1-10 0-1-1-2-2-1-1描点连线可得描点连线可得y=sinx-1y=sinx-1在在0,20,2上的图象上的图象( (如图所示如图所示).).再向左平移再向左平移22个单位个单位, ,即得到即得到y=sinx-1y=sinx-1在在-2,22,2上的图象上的图象. .(2)(2)先作出先作出y=2+cosxy=2+cosx在在x0,2x0,2上的图象上的图象. .列表列表: :x x0 022cosxcosx1 10 0-1-10 01 12+cosx2+cosx3 32 21

12、12 23 3描点连线可得描点连线可得y=2+cosxy=2+cosx在在0,20,2上的图象上的图象( (如图所示如图所示).).再向左平移再向左平移22个单位个单位, ,即得到即得到y=2+cosxy=2+cosx在在-2,22,2上的图象上的图象. .【规律总结【规律总结】用用“五点法五点法”画函数画函数y=Asinx+b(A0)y=Asinx+b(A0)或或y=Acosx+b(A0)y=Acosx+b(A0)在在0,20,2上的简图的步骤上的简图的步骤(1)(1)列表列表: :x x0 022sinxsinx或或cosxcosx0 0或或1 11 1或或0 00 0或或-1-1-1-1

13、或或0 00 0或或1 1y yy y1 1y y2 2y y3 3y y4 4y y5 5(2)(2)描点描点: :在平面直角坐标系中描出下列五个点在平面直角坐标系中描出下列五个点:(0,y:(0,y1 1), ), ,(,y,(,y3 3), ,(2,y), ,(2,y5 5).).(3)(3)连线连线: :用光滑的曲线将描出的五个点连接起来用光滑的曲线将描出的五个点连接起来. .【巩固练习【巩固练习】1.1.函数函数f(x)=asinx+bf(x)=asinx+b的图象如图所示的图象如图所示, ,则则f(xf(x) )的解析式的解析式为为 ( () )A.f(xA.f(x)= sinx+

14、1)= sinx+1B.f(x)=sinxB.f(x)=sinx+ +C.f(xC.f(x)= sinx+1)= sinx+1D.f(x)= sinxD.f(x)= sinx+ +【解析【解析】选选A.A.将图象中的特殊点代入将图象中的特殊点代入f(x)=asinx+bf(x)=asinx+b, ,不不妨将妨将(0,1)(0,1)与与 代入得代入得 解得解得b=1,b=1,a=0.5,a=0.5,故故f(xf(x)= sinx+1.)= sinx+1.2.2.利用利用“五点法五点法”作出函数作出函数y=-1-cosx(0x2)y=-1-cosx(0x2)的的简图简图. .【解析【解析】(1)(

15、1)取值列表如下取值列表如下: :x x0 022cosxcosx1 10 0-1-10 01 1-1-cosx-1-cosx-2-2-1-10 0-1-1-2-2(2)(2)描点连线描点连线, ,如图所示如图所示. .类型二类型二: :利用正、余弦曲线解简单的三角不等式利用正、余弦曲线解简单的三角不等式【典例【典例2 2】求函数求函数f(x)=lg sinxf(x)=lg sinx+ + 的定义域的定义域. .【解题指南【解题指南】先写出使函数有意义的条件先写出使函数有意义的条件, ,然后借助正然后借助正弦曲线弦曲线, ,解不等式组解不等式组, ,求原函数定义域求原函数定义域. .【解析【解

16、析】由题意由题意, ,得得x x满足不等式组满足不等式组即即 作出作出y=sinxy=sinx的图象的图象, ,如图所示如图所示. .结合图形可得结合图形可得x-4,-)(0,).x-4,-)(0,).【延伸探究【延伸探究】1.1.本题中将本题中将“函数函数f(x)=lg sinxf(x)=lg sinx+ + ”改为改为“函函数数f(x)=lg sinxf(x)=lg sinx+ + ”求定义域求定义域. .【解析【解析】由题意知由题意知 即即0sinx0sinx . .作作y=sinx,xRy=sinx,xR的图象如图所示的图象如图所示: :在在0,20,2范围内范围内, ,由图知满足由图

17、知满足0sinx0a(a(或或cosxcosxa)a)的三个步骤的三个步骤(1)(1)作出直线作出直线y=a,y=sinxy=a,y=sinx( (或或y=cosxy=cosx) )的图象的图象. .(2)(2)确定确定sinxsinx=a(=a(或或cosxcosx=a)=a)的的x x值值. . (3)(3)确定确定sinxa(sinxa(或或cosxa)cosxa)的解集的解集. .提醒提醒: :解三角不等式解三角不等式sinxsinxaa一般先利用图象求出一般先利用图象求出x0,2x0,2范围内范围内x x的取值范围的取值范围, ,然后根据终边相同角然后根据终边相同角的同一三角函数值相

18、等的同一三角函数值相等, ,写出原不等式的解集写出原不等式的解集. .【补偿训练【补偿训练】函数函数y= y= 的定义域是的定义域是. .【解析【解析】要使函数有意义要使函数有意义, ,则则2cosx+10,2cosx+10,即即cosxcosx- ,- ,作作y=cosx,xRy=cosx,xR的图象如图所示的图象如图所示: :在在0,20,2范围内范围内, ,由图知满足由图知满足cosxcosx- - 的的x x的取值范的取值范围是围是 , ,故在故在R R上上x x应满足应满足 (kZ(kZ).).答案答案: : kZ kZ类型三类型三: :正、余弦函数图象的应用正、余弦函数图象的应用【

19、典例【典例3 3】(1)(1)方程方程2 2x x=cosx=cosx的解的个数为的解的个数为( () )A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.D.无穷多个无穷多个(2)(2)作出函数作出函数y=2+sinx,x0,2y=2+sinx,x0,2的简图的简图, ,并回答下列并回答下列问题问题: :观察函数图象观察函数图象, ,写出写出y y的取值范围的取值范围; ;若函数图象与若函数图象与y= y= 在在x0,x0,上有两个交点上有两个交点, ,求求a a的取值范围的取值范围. .【解题指南【解题指南】(1)(1)画出函数画出函数y=2y=2x x与与y=cosxy=cosx的图象的图象, ,

20、根据图象判断交点的个数根据图象判断交点的个数, ,即为方程解的个数即为方程解的个数. .(2)(2)利用描点作图法先作图象利用描点作图法先作图象, ,再观察得再观察得y y的取值范围的取值范围; ;根据根据y= y= 与与y=2+sinxy=2+sinx在在0,0,上有两个交点上有两个交点, ,建立建立关于关于a a的不等关系求解的不等关系求解. .【解析【解析】(1)(1)选选D.D.设设f(xf(x)=2)=2x x,g(x)=cosx,g(x)=cosx, ,在同一坐标系在同一坐标系中画出中画出f(xf(x) )和和g(xg(x) )的图象的图象, ,如图如图由图知由图知f(xf(x)=

21、2)=2x x与与g(x)=cosxg(x)=cosx交点个数有无穷多个交点个数有无穷多个, ,所以所以方程方程2 2x x=cosx=cosx的解有无穷多个的解有无穷多个. .(2)(2)列表列表: :x x0 022sinxsinx0 01 10 0-1-10 02+sinx2+sinx2 23 32 21 12 2描点、连线描点、连线, ,如图如图. .由图知由图知,y1,3.,y1,3.由图知由图知, ,当当2 32 3时时, ,函数图象与函数图象与y= y= 在在0,0,上有两个交点上有两个交点, ,即即-5a-3.-5a-3.故故a a的取值范围是的取值范围是(-5,-3.(-5,

22、-3.【规律总结【规律总结】方程根方程根( (或个数或个数) )的两种判断方法的两种判断方法(1)(1)代数法代数法: :直接求出方程的根直接求出方程的根, ,得到根的个数得到根的个数. .(2)(2)几何法几何法:方程两边直接作差构造一个函数方程两边直接作差构造一个函数, ,作出函作出函数的图象数的图象, ,利用对应函数的图象利用对应函数的图象, ,观察与观察与x x轴的交点个数轴的交点个数, ,有几个交点原方程就有几个根有几个交点原方程就有几个根; ;转化为两个函数转化为两个函数, ,分别作这两个函数的图象分别作这两个函数的图象, ,观察交观察交点个数点个数, ,有几个交点原方程就有几个根

23、有几个交点原方程就有几个根. .【巩固训练【巩固训练】1.1.函数函数y=sinx+2|sinx|,x0,2y=sinx+2|sinx|,x0,2的图象与直线的图象与直线y=y=的交点共有的交点共有个个. .【解题指南【解题指南】先将函数先将函数y=sinx+2|sinx|y=sinx+2|sinx|化为化为然后画出其图象然后画出其图象, ,利用图象判断交点个数利用图象判断交点个数. .【解析【解析】函数函数y=sinx+2|sinx|=y=sinx+2|sinx|=在同一坐标系中画出两函数的图象在同一坐标系中画出两函数的图象, ,如图所示如图所示, ,由图知两图象的交点共有由图知两图象的交点

24、共有4 4个个. .答案答案: :4 42.2.判断方程判断方程 -cosx-cosx=0=0的根的个数的根的个数. .【解题指南【解题指南】把研究方程把研究方程 -cosx-cosx=0=0根的个数问题根的个数问题, ,转转化为判断函数化为判断函数y= y= 与与y=cosxy=cosx图象交点个数问题图象交点个数问题. .【解析【解析】设设f(x)= ,g(x)=cosxf(x)= ,g(x)=cosx, ,在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中画出画出f(xf(x) )和和g(xg(x) )的图象的图象, ,如图如图: :由图可知由图可知,f(x,f(x) )与与g(xg(x) )的图象有三个交点的图象有三个交点, ,故方程故方程 - -cosxcosx=0=0有三个根有三个根. .