第3章离散傅里叶变换DFT09101课件

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1、3.1 3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 3.2 3.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质3.3 3.3 频率域采样频率域采样3.4 DFT3.4 DFT的应用举例的应用举例第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)第三章第三章 学习目标学习目标u理解理解Fourier变换的几种形式；变换的几种形式；u理解离散傅里叶变换及性质，掌握循环移位、循环理解离散傅里叶变换及性质，掌握循环移位、循环共轭对称性，掌握循环卷积、线性卷积及二者之间共轭对称性，掌握循环卷积、线性卷积及二者之间的关系；的关系；u掌握频域采样理论；掌握频域采样理论；u理解频谱分

2、析过程。理解频谱分析过程。连续连续=非周期非周期离散离散=周期周期四种傅里叶变换形式的归纳四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数时间函数 频率函数频率函数 连续和非周期连续和非周期 非周期和连续非周期和连续 连续和周期连续和周期（Tp） 非周期和离散非周期和离散（0=2/Tp） 离散离散（T）和非周期和非周期 周期周期（ s=2/T ）和连续和连续 离散离散（T）和周期和周期（Tp） 周期周期（ s=2/T ）和离散和离散（0=2/Tp） 周期延拓周期延拓取主值取主值周期延拓周期延拓取主值取主值DFTIDFTDFSIDFSDFTDFT即即DFSDFS，只不过时、频域各取一个主值而已，只不过时、频域

3、各取一个主值而已3.1 3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 一一. DFT. DFT的定义的定义1. 1. 周期延拓（以周期延拓（以N为周期）为周期） 用用(n)N表表示示（n mod N），其其数数学学上上就就是是表表示示“n对对N取余数取余数”， 或称或称“n对对N取模值取模值”。 令令 0n1N-1, m为整数为整数 则则n1为为n对对N的余数。的余数。 例如例如: : 是周期为是周期为N=8的序列，则有：的序列，则有： 2. 2. 取主值取主值3. DFT3. DFT定义式定义式时、频域各取一个主值区间时、频域各取一个主值区间DFSDFT例：例：x(n)=R4(n) ，求

4、，求x(n)的的8 8点和点和1616点点DFT DFT 解：设变换区间解：设变换区间N=8， 则则设变换区间设变换区间N=16， 则则思考： 其4点的DFT结果？X(ejw)=DTFTR4(n)讨论：讨论：N N为为DFTDFT变换区间变换区间长度，即周期延长度，即周期延拓的周期、频域拓的周期、频域的采样点数；的采样点数；同一序列，同一序列，N N不不同，同，DFTDFT不同；不同；通过后补零使通过后补零使N N增大，谱线变密增大，谱线变密高密度谱高密度谱二二. . DFT和和Z变换的关系变换的关系设序列设序列x(n)的长度为的长度为N，其，其Z变换和变换和DFT分别为：分别为：比较上面二式

5、可得关系式比较上面二式可得关系式 表明表明 是是Z平面单位圆上幅角为平面单位圆上幅角为 的的点点，也也即即将将Z平平面面单单位位圆圆N等等分分后后的的第第k点点，所以所以X(k)也就是对也就是对X(z)在在Z平面单位圆上平面单位圆上N点点等间隔采样值等间隔采样值。 DFT与序列傅里叶变换的关系为与序列傅里叶变换的关系为 DFTDFT的的物物理理意意义义X(k)可可以以看看作作序序列列x(n)的的傅傅里里叶叶变变换换X(ej)在区间在区间0, 2上的上的N点点等间隔采样，其采样间隔为等间隔采样，其采样间隔为N=2/N。DFTDFT与序列傅里叶变换、与序列傅里叶变换、Z Z变换的关系变换的关系 第

6、一采样点在第一采样点在正实轴上正实轴上三三. . DFTDFT的隐含周期性的隐含周期性 DFTDFT变换对中，变换对中，x(nx(n) )与与X(k)X(k)均为有限长序列，但由于均为有限长序列，但由于W WN Nknkn的周期性，的周期性， 使使x(nx(n) ) 和和X(kX(k) )均具有均具有隐含周期性隐含周期性，且周期均为且周期均为N N。 对任意整数对任意整数m m，总有，总有均为整数均为整数 已知已知x(n)是长度为是长度为N的有限长度序列，的有限长度序列，X(k)=DFTx(n)，令，令 ，试求，试求Y(k)=DFTy(n)与与X(k)之间的关系。之间的关系。例题：例题：解：解

7、：DFT与与DFS的关系：的关系：有限长度序列的有限长度序列的DFT正好是其周期延拓正好是其周期延拓序列的序列的DFS级数系数的主值序列！级数系数的主值序列！3.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质一一. . 线性性质线性性质x x1 1(n)(n)和和x x2 2(n)(n)是两个有限长序列，长度分别为是两个有限长序列，长度分别为N N1 1和和N N2 2 y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中式中a、 b为常数，为常数， 即即NmaxN1, N2， 则则y(n)的的N点点DFT为：为： （补零问题！）（补零问题！） Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k),

8、 0kN-1其中其中X1(k)和和X2(k)分别为分别为x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT。 NmaxN1,N2已知已知x(n)是长度为是长度为N的有限长度序列，其的有限长度序列，其N点点DFT为为X(k)=DFTx(n)，在序列前部补，在序列前部补N个个0值，得到序列值，得到序列试求试求Y(k)=DFTy(n)与与X(k)之间的关系。之间的关系。思考题：思考题：二二. . 循环移位循环移位 1. 1. 定义定义 一个长度为一个长度为N的有限长序列的有限长序列x(n)的循环移位定义为的循环移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(n) ：仍为长度为：仍为长度为N的序列！的序列！ 循环移位

9、过程示意图循环移位过程示意图 移出主值移出主值区间的序区间的序列值又依列值又依次从另一次从另一侧移入主侧移入主值区间值区间12345n=0N=6左移顺时针转左移顺时针转右移逆时针转右移逆时针转2. 2. 时域循环移位定理时域循环移位定理设设x(n)是长度为是长度为N的有限长序列，的有限长序列，y(n)为为x(n)循环移位，即循环移位，即 则循环移位后的则循环移位后的DFTDFT为为 证：利用周期序列的移位性质加以证明证：利用周期序列的移位性质加以证明 可直接按IDFTY(k)证明再利用再利用DFSDFS和和DFTDFT关系关系 这这表表明明，有有限限长长序序列列的的循循环环移移位位在在离离散散

10、频频域域中中引引入入一一个个和和频频率率成成正正比比的的线线性性相相移移 ，而而对对频频谱谱的的幅幅度度没没有有影影响响幅度谱的平移不变性幅度谱的平移不变性。 已知已知x(n)是长度为是长度为N的有限长度序列，的有限长度序列，X(k)=DFTx(n)，在序列前部补，在序列前部补N个个0值，得到序列值，得到序列试求试求Y(k)=DFTy(n)与与X(k)之间的关系。之间的关系。思考题：思考题： 3. 3. 频域循环移位定理频域循环移位定理调制特性调制特性 对对于于频频域域有有限限长长序序列列X(k)，也也可可看看成成是是分分布布在在一一个个N N等等分分的的圆圆周周上上，所所以以对对于于X(k)

11、的的循循环环移移位位，利利用用频频域域与与时时域域的的对对偶偶关系，可以证明以下性质：关系，可以证明以下性质： 这就是调制特性这就是调制特性时域序列的调制等效于频域的循环移位。时域序列的调制等效于频域的循环移位。 序列反转序列反转序列共轭序列共轭序列共轭反转序列共轭反转序列反转序列反转四四. . 循环卷积循环卷积 1、时域循环卷积定理时域循环卷积定理有有限限长长序序列列x1(n)和和x2(n)，长长度度分分别别为为N1和和N2， N=maxN1,N2。x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT分别为分别为： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n) 若若Y(k)=X1(k)X2

12、(k)，求求y(n)=IDFTY(k) ？ NN循环卷积结果仍为有限长序列！循环卷积结果仍为有限长序列！注意：循环卷积的长度！注意：循环卷积的长度！计算步骤：计算步骤：将将x2(m)周期化，形成周期化，形成x2(m)N；再再 反反 转转 形形 成成 x2(-m)N， 取取 主主 值值 序序 列列 则则 得得 到到 x2(-m)NRN(m)，通常称之为通常称之为x2(m)的圆周反转的圆周反转；对对x2(m)的圆周反转序列圆周右移的圆周反转序列圆周右移n，形成，形成 x2(n-m)NRN(m)；当当n=0,1,2,N-1时时，分分别别将将x1(m)与与x2(n-m)NRN(m)相相乘乘，并并在在m

13、=0到到N-1区区间间内内求求和和，便便得得到到其其循循环环卷卷积积y(n)。nN-10nN-100m0m0m0m0233211N-1nN两个长度两个长度小于等于小于等于N的的序列的序列的N点点循环卷积循环卷积长度仍为长度仍为N，与线性卷积与线性卷积不同不同2 2、频域循环卷积定理、频域循环卷积定理x1(n)，x2(n)皆为皆为N点有限长序列，点有限长序列，y(n)的的N N点点DFTDFT为为 时域序列相乘，乘积的时域序列相乘，乘积的DFTDFT等于各个等于各个DFTDFT的循环卷积再乘以的循环卷积再乘以1/1/N N。 N)()(1)()()(1)()()(1)()(2111022101k

14、XkXNkRlkXlXNkRlkXlXNnyDFTkYNNNlNNNl=-=-=-=-=证明：对Y(k)两边取 IDFT即可！例题：例题：4 3 2 151 2 3 4 4 3 2 1 24 22 24 30 2 8 6 4 6 3 12 912 8 4 16不进位乘法！思考：若两序列作思考：若两序列作N=7点循环卷积，结果如何？点循环卷积，结果如何？求求 的的DFT的反变换，其中的反变换，其中X(k)是序列是序列 的的5点点DFT。思考题：思考题：1 1、有限长共轭对称与共轭反对称、有限长共轭对称与共轭反对称 设设有有限限长长序序列列x(n)的的长长度度为为N点点，则则它它的的有有限限长长共

15、共轭轭对对称称分分量量xep(n)和有限长共轭和有限长共轭反对称分量反对称分量xop(n)分别被分别被重新定义重新定义为为: : nN-1 nN-1 三三. . 有限长共轭对称性有限长共轭对称性4213关于关于N/2点的点的对称性对称性共轭对称性共轭对称性的基本概念的基本概念N为偶数为偶数xep(n)为实数点为实数点为纯虚数点为纯虚数点N=8x(n)=xep(n)+xop(n) 0nN-1 x*(N-n)=xep*(N-n)+xop*(N-n) = xep(n)-xop(n) 0nN-1 复序列对称性分析复序列对称性分析序列序列DFT复序列对称性分析复序列对称性分析序列序列DFT实实序列对称性

16、分析序列对称性分析序列序列DFT为零为零为零为零实序列的频谱具有有限实序列的频谱具有有限长共轭对称性长共轭对称性实实偶偶序列对称性分析序列对称性分析序列序列为零为零为零为零DFT：实偶序列的频谱具有实偶对称性实偶序列的频谱具有实偶对称性x(n)X(K)实偶函数实偶函数实偶函数实偶函数实奇函数实奇函数虚奇函数虚奇函数虚奇函数虚奇函数实奇函数实奇函数虚偶函数虚偶函数虚偶函数虚偶函数应用举例：应用举例：补充作业：补充作业：设实序列设实序列x(n)，N=14，其，其14点点DFT为为X(k)，已知前，已知前8点点值为：值为：X(0)=12 X(1)=-1+3j X(2)=3+4jX(3)=1-5j X

17、(4)=-2+2j X(5)=6+3jX(6)=-2-3j X(7)=10试确定试确定1）X(k)在其他频率点的值；在其他频率点的值；2）不通过计算）不通过计算IDFTX(k)，确定下列值：，确定下列值： x(0) x(7)五五. DFT. DFT形式下的帕塞伐定理形式下的帕塞伐定理 证：证： 令令x(n)=y(n)DFTDFT性质表性质表( (序列长皆为序列长皆为点点) ) X(0), X(1), X(2), , X(N-1) 3.3 频率域采样频率域采样 是否任意一个频率特性（例如，理想低是否任意一个频率特性（例如，理想低通特性）都能用频域采样的办法去逼近呢通特性）都能用频域采样的办法去逼

18、近呢？其限制条件是什么？其限制条件是什么？频域采样后会带来什么样的误差？在什频域采样后会带来什么样的误差？在什么条件下才能消除误差？么条件下才能消除误差？一、频域采样一、频域采样一个任意的绝对可和的非周期序列一个任意的绝对可和的非周期序列x(n)，其，其Z变变换为：换为：对对X(z)在单位圆上进行在单位圆上进行N点等间隔采样：点等间隔采样：分析：分析：由由 得得到到的的周周期期序序列列 是是原原非非周周期期序序列列x(n)x(n)的的周周期期延延拓拓，其其时时域域周周期期为为频频域域采样点数采样点数N N。时时域域采采样样造造成成频频域域的的周周期期延延拓拓，频频域域采采样样同同样样会造成时域

19、的周期延拓。会造成时域的周期延拓。 x(n)为无限长序列为无限长序列时域周期延拓时域周期延拓必必会混叠失真，产生误差；会混叠失真，产生误差；当当n增加时信号衰减得越快，或频域采样越密（即增加时信号衰减得越快，或频域采样越密（即采样点数采样点数N越大），则误差越小，即越大），则误差越小，即xN(n)越接近越接近x(n)；x(n)为有限长序列，长度为为有限长序列，长度为M M：NM，不混叠，可无失真恢复；，不混叠，可无失真恢复；NM，不混叠不混叠N=3M，混叠混叠其值为其值为1 1x(n)=xN(n)内插函数的零极点内插函数的零极点 零极点对消零极点对消恢复时，本采样点值仅由恢复时，本采样点值仅由

20、自己决定，不受其他采样自己决定，不受其他采样点值影响。点值影响。用频域采样用频域采样X(k)表示表示X(ejw)的内插公式的内插公式内插函数：内插函数：内插函数幅度特性与相位特性内插函数幅度特性与相位特性(N=5) |1(w-2/N)|当变量当变量=0 时，时， ()=1；当当 （i=1, 2, , N-1)时时， ()=0。因而可知，因而可知， 满足以下关系：满足以下关系： k=0, 1, , N-1 也就是说，函数也就是说，函数 在本采样点在本采样点 ， 而在其他采样点而在其他采样点 上上 ， 函函 数数 。整个整个X(ej)就是由就是由N N个个 函函数数分分别别乘乘上上X(k)后后求求

21、和和。 所所以以很很明明显显，在在每每个个采采样样点点上上X(ej)就就精精确确地地等等于于X(k)（因因为为其其他他点点的的插插值值函数在这一点上的值为零，没有影响）即函数在这一点上的值为零，没有影响）即 各各采采样样点点之之间间的的X X(e(ejj) )值值由由各各采采样样点点的的加加权权插插值值函函数数在在所所求求点点上上的的值值的的叠叠加加得得到到的。的。 频频率率采采样样理理论论为为FIRFIR滤滤波波器器的的结结构构设设计计，以以及及FIRFIR滤滤波器传递函数的逼近提供了又一个有力的工具。波器传递函数的逼近提供了又一个有力的工具。 对时域序列对时域序列x(nx(n) )，X(z

22、X(z) )是按是按z z的幂级数（即罗朗级数）展开的幂级数（即罗朗级数）展开的，的， x(nx(n) )为罗朗级数的系数；为罗朗级数的系数；对频域序列对频域序列X(kX(k) )，X(zX(z) )是按函数集展开的，是按函数集展开的， X(kX(k) )为展开系为展开系数；数；对时域序列对时域序列x(nx(n) )，频响，频响X(eX(ejwjw) ) 展成负正弦级数（傅立叶级展成负正弦级数（傅立叶级数），数）， x(nx(n) )为负正弦级数的谐波系数；为负正弦级数的谐波系数；对频域序列对频域序列X(kX(k) )，频响，频响X(eX(ejwjw) ) 展成内插函数的级数，展成内插函数的级

23、数， X(kX(k) )为展开系数；为展开系数；3.4 DFT的应用举例的应用举例 DFTDFT在在数数字字通通信信、 语语言言信信号号处处理理、 图图像像处处理理、 功功率率谱谱估估计计、 仿仿真真、 系系统统分分析析、 雷雷达达理理论论、 光光学学、 医医学学、 地地震震以以及及数数值值分分析析等等各各个个领领域域都都得得到到广广泛泛应应用。用。 对对时时域域连连续续信信号号的的频频谱谱进进行行分分析析计计算算信信号号各各个个频频率率分分量量的的幅幅值值、相相位位和和功功率率（功功率率谱谱具具有有突突出出主主频频率率特特性性，在在分分析析带带有有噪噪声声干干扰扰的的信信号号时时特特别别有有

24、用用）。线性谱估计（传统谱估计）线性谱估计（传统谱估计）数据直接数据直接FFT求谱，对谱的模取平方运算得功率谱求谱，对谱的模取平方运算得功率谱（周期图法），或对数据自相关函数求谱即（周期图法），或对数据自相关函数求谱即为功率谱（自相关法）。对被处理数据以外为功率谱（自相关法）。对被处理数据以外数据作了不合理假设；数据作了不合理假设；假设以被处理数据长度为一周期，以外为其周期假设以被处理数据长度为一周期，以外为其周期延拓或全为零，准确程度受数据截取长度影响；延拓或全为零，准确程度受数据截取长度影响；数据较短时，估计出来的值方差大，分辨率低，数据较短时，估计出来的值方差大，分辨率低，甚至面目全非。

25、甚至面目全非。为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。 用用计计算算机机进进行行测测试试信信号号处处理理时时，不不可可能能对对无无限限长长的的信信号号进进行行测测量量和和运运算算，而而是是取取其其有有限限的的时时间片段进行分析，这个过程称信号截断。间片段进行分析，这个过程称信号截断。 周期延拓信号与真实信号是不同的：周期延拓信号与真实信号是不同的：能量泄漏误差能量泄漏误差 信号的时域波形分析信号的时域波形分析 超门限报警超门限报警 信号类型识别信号类型识别 基本参数识别基本参数识别 Pp-p信号的频域分析信号的频域

26、分析 信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)x(t)变换为频域信号变换为频域信号X(f)X(f)，从而帮助人们从另一个从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。角度来了解信号的特征。 8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里叶傅里叶变换变换X(t)= sin(2nft)0 t0 f信号频谱信号频谱X(f)X(f)代表了信号代表了信号在不同频率分量成分的大在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。波形更直观，丰富的信息。 时域分析与频域分析的关系时域分析与频域分

27、析的关系时间时间幅值幅值频率频率时域分析时域分析频域频域分析分析 时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。信号的频率组成和各频率分量大小。 图例：受噪声干扰的多频率成分信号图例：受噪声干扰的多频率成分信号 大型空气压缩机传动装置故障诊断大型空气压缩机传动装置故障诊断故障诊断故障诊断通过振动信号频谱分析，确定通过振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据转速最大频率分量，然后根据转速和传动链，找出故障点。和传动链，找出故障点。xa(t)Xa(j

28、)x(n)x(n)d(n)xN(n)NxN(n)Xa(ejw)XN(k)NXN(k)抽样抽样t=nTs截短截短周期延拓周期延拓周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期周期延拓周期延拓s=2/TsXa(ejw)*D(ejw)卷积卷积抽样抽样0 =/N周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期FTDTFTDTFTDFSDFT一、一、用用DFT对连续信号作谱分析的基本步骤对连续信号作谱分析的基本步骤信号的频谱分析：计算信号的傅立叶变换信号的频谱分析：计算信号的傅立叶变换T0=NT=N/fsF0=1/T0=1/NT=fs/N1.频域抽样：一个周期分频域抽样：一个周期分N段，采样间隔段，采样间隔F0时域周期延拓：

29、周期为时域周期延拓：周期为T0=1/F0 0=2F0 频域采样间隔频域采样间隔 用用DFT计算计算理想低通滤波器理想低通滤波器频响曲线频响曲线 截取一段截取一段T0=8sfs=4Hz,T=0.25sN=T0/T=32,F0=1/NT=0.125HzH(k)=TDFTh(n) k=0,1,.31h(n)=ha(nT)R32(n)2.低频处低频处逼近好，逼近好，高频处高频处因混叠因混叠失真而失真而逼近不逼近不好好二、谱分析误差及参数选择二、谱分析误差及参数选择1、混叠失真、混叠失真抽样造成的误差抽样造成的误差时域抽样：时域抽样：fs2fh， fs限制谱分析范围限制谱分析范围频域抽样：频域抽样：F0

30、=1/T0，F0为频谱分辨率为频谱分辨率若想同时提高最高频率与频率分辨率，必须若想同时提高最高频率与频率分辨率，必须N2、截短效应（降低频谱分辨率截短效应（降低频谱分辨率 混叠失真）混叠失真） 周周期期延延拓拓后后的的信信号号与与真真实实信信号号是是不不同同的的，下下面面我我们们就就从从数数学学的的角角度度来来看看这这种种处处理理带带来来的的误误差差情情况。况。 将将截截断断信信号号谱谱 X XT T()()与与原原始始信信号号谱谱X()X()相相比比较较可可知知，它它已已不不是是原原来来的的两两条条谱谱线线，而而是是两两段段振振荡荡的的连连续续谱谱. . 原原来来集集中中在在f0f0处处的的

31、能能量量被被分分散散到到两两个个较较宽宽的的频频带带中中去去了了，这这种种现现象象称称之之为为频谱能量泄漏频谱能量泄漏。周期延拓信号与真实信号是不同的：周期延拓信号与真实信号是不同的：能量泄漏误差能量泄漏误差克服方法：克服方法：增加窗函数的长度；增加窗函数的长度；用缓慢截短方式，不加矩形窗。改用缓慢截短方式，不加矩形窗。改用旁瓣能量较小的余弦窗、三角形用旁瓣能量较小的余弦窗、三角形窗、升余弦窗等。窗、升余弦窗等。克服方法：信号整周期截断克服方法：信号整周期截断常用窗函数常用窗函数3、 为为提提高高效效率率, ,通通常常采采用用FFTFFT算算法法计计算算信信号号频频谱谱，设设数数据据点点数数为

32、为N N，采采样样频频率率为为F Fs s。则则计计算算得得到到的的离离散频率点为散频率点为: : Xs(Fi) ， Fi = i *Fs / N , i = 0，1，2，.，N/2 X(f)f0f 如果信号中的频如果信号中的频率分量与频率取样点率分量与频率取样点不重合，则只能按四不重合，则只能按四舍五入的原则，取相舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线邻的频率取样点谱线值代替。值代替。 栅栏效应误差实验：栅栏效应误差实验： u 能量泄漏与栅栏效应的关系能量泄漏与栅栏效应的关系 频频谱谱的的离离散散取取样样造造成成了了栅栅栏栏效效应应，谱谱峰峰越越尖尖锐，产生误差的可能性就越大。锐，产生误差的可

33、能性就越大。 例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。无穷大。 实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。也能得到该频率分量的一个近似值。 从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成

34、的栅栏效应误差将是不能接受的。样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。 能能量量泄泄漏漏分分主主瓣瓣泄泄漏漏和和旁旁瓣瓣泄泄漏漏，主主瓣瓣泄泄漏漏可可以以减减小小因因栅栅栏栏效效应应带带来来的的谱谱峰峰幅幅值值估估计计误误差差，有有其其好好的的一一面面，而而旁旁瓣瓣泄泄漏漏则则是是完完全全有有害害的。的。为使频率分辨率提高一倍，为使频率分辨率提高一倍， F0=5 Hz， 要求要求只有通过增加信号的有效持续时间只有通过增加信号的有效持续时间T0来增加来增加采样点数采样点数N才能得到才能得到高分辨率谱高分辨率谱；通过后补零使通过后补零使N N增加得到增加得到高密度谱高密度谱。高分辨率谱和高密度谱差异比

35、较高分辨率谱和高密度谱差异比较高密度谱是在原有序列后插零；高密度谱是在原有序列后插零；高分辨谱是增加采样点；高分辨谱是增加采样点；高密度谱呈许多谱线型高密度谱呈许多谱线型,而且当补充而且当补充0越多越多, 谱线也越密集谱线也越密集； 高分辨率谱则在取样点达到一定程度后，高分辨率谱则在取样点达到一定程度后， 谱线一定了，也没有那种密集度。谱线一定了，也没有那种密集度。例：例：x(n)为周期序列，周期为周期序列，周期N=14所以抽样点数至少为所以抽样点数至少为14点点。或者因为频率分量分别为或者因为频率分量分别为500、600、700HZ；得得F0=100HZ最大公约数最大公约数N=fs/F0=1

36、400/100=14所以最少记录点数所以最少记录点数N=14。T0=NT=512*(1/3000)=0.17利用利用DFTDFT可将时域难以辨识的小信号在频域轻易辨别出来可将时域难以辨识的小信号在频域轻易辨别出来Kf对一个连续时间信号对一个连续时间信号xa(t)采样采样1秒得到一个秒得到一个4096个采样点的序列：个采样点的序列：（1）若采样后没有发生频谱混叠，）若采样后没有发生频谱混叠，xa(t)的的最高截止频率是多少？最高截止频率是多少？（2）若计算采样信号的）若计算采样信号的4096点点DFT，频率，频率采样值采样值X(k)两点之间的模拟频率间隔是多两点之间的模拟频率间隔是多少少Hz？思

37、考题思考题 单位圆与非单位圆采样单位圆与非单位圆采样 线线性性卷卷积积具具有有重重要要的的物物理理意意义义（求求解解LTILTI系系统统输输出出），循环卷积不具有此物理意义；循环卷积不具有此物理意义；时时域域循循环环卷卷积积在在频频域域上上相相当当于于两两序序列列的的DFTDFT的的乘乘积积，而而计计算算DFTDFT可可以以采采用用它它的的快快速速算算法法快快速速傅傅里里叶叶变变换换（FFTFFT）， 因因此此循循环环卷卷积积与与线线性性卷卷积积相相比比，计计算算速速度度可以大大加快；可以大大加快；如如果果信信号号以以及及系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应都都是是有有限限长长序序列列， 那那

38、么么是是否否能能用用求求解解循循环环卷卷积积来来代代替替线线性性卷卷积积运运算算而而不不失真呢？失真呢？时间反转且线性移位时间反转且线性移位循环的作时间反转且相对循环的作时间反转且相对第一个序列循环移位第一个序列循环移位3 3、有限长序列的线性卷积与循环卷积关系、有限长序列的线性卷积与循环卷积关系设设x1(n)是是N1点点的的有有限限长长序序列列（0nN1-1），x2(n)是是N2点的有限长序列点的有限长序列（0nN2-1）。）。 （1）线性卷积线性卷积 x1(m)的非零区间为的非零区间为 0mN1-1 x2(n-m)的非零区间为的非零区间为 0n-mN2-1 y1(n)是是N1+N2-1 点

39、有限长序列，即线性卷积的长度等于参与卷积点有限长序列，即线性卷积的长度等于参与卷积的两序列的长度之和减的两序列的长度之和减1 1。 （2）x1(n)与与x2(n)的循环卷积。的循环卷积。进进行行N点点的的循循环环卷卷积积，讨讨论论N取取何何值值时时，循循环环卷卷积积才才能能代表线性卷积？代表线性卷积？ NmaxNmaxN N1 1, N, N2 2NN循环卷积正是周期卷积取主值序列循环卷积正是周期卷积取主值序列循环卷积等于线性卷积以循环卷积点数循环卷积等于线性卷积以循环卷积点数N N为周期的周期为周期的周期延拓序列的主值序列延拓序列的主值序列NN1+N2-1，循环卷积等于线性卷积循环卷积等于线

40、性卷积；NN1+N2-1，线性卷积延拓发生混叠线性卷积延拓发生混叠，两者部分相等两者部分相等（N1+N2-1-NnN-1），），部分不等部分不等；NNN1+N2-1NN1+N2-1，不混叠，不混叠yc(n)=yl(n)NN1+N2-1，混叠，混叠yc(n) yl(n)NN1+N2-1NN1+N2-1-NnN-1LN1+N2-1L+混叠混叠+ +与线卷相等部分与线卷相等部分= =发生混叠后循环卷积结果发生混叠后循环卷积结果N1=5N2=4N1 +N2 -1 =8L=64 4、快速卷积、快速卷积用用DFTDFT计算线性卷积计算线性卷积DFTDFTIDFTyc(n)x1(n)x2(n)用用DFTDF

41、T计算循环卷积计算循环卷积X1(k)X2(k)x1(n)*x2(n)用用DFTDFT计算线性卷积计算线性卷积补补N-N1个零个零补补N-N2个零个零N点点DFTN点点DFTN点点IDFTx1(n)x2(n)x1(n) 0,1,2,N1-1,.,N-1x2(n) 0,1,2,N2-1,.,N-1NN1+N2-1用用DFTDFT计算线性卷积的运算量是多少？计算线性卷积的运算量是多少？当计算线性卷积的两序列的长度相差很大的当计算线性卷积的两序列的长度相差很大的时候，用上述框图所示的方法直接计算线性时候，用上述框图所示的方法直接计算线性卷积会产生什么问题？卷积会产生什么问题？短序列补很多零，长序列需全

42、部输入后才能计算短序列补很多零，长序列需全部输入后才能计算存储容量大存储容量大运算时间长，处理延时很大，难于实时处理运算时间长，处理延时很大，难于实时处理怎么解决？怎么解决？块卷积块卷积思考问题：思考问题：例例 ：一个有限长序列为：一个有限长序列为 （1 1） 计算序列计算序列x(n)的的1010点离散傅里叶变换。点离散傅里叶变换。 （2 2） 若序列若序列y(n)的的DFT为为 式中，式中，X(k)是是x(n)的的1010点离散傅里叶变换，求序列点离散傅里叶变换，求序列y(n)。 解解 ：（1）y(n)=x(n+2)10R10(n)=2(n-3)+(n-8) （2 2）X(k)乘乘以以一一个

43、个WNkm形形式式的的复复指指数数相相当当于于是是x(n)循循环环移移位位m点。点。 本本题中题中m=-2, , x(n)向左循环移位了向左循环移位了2 2点，点， 就有就有 （3 3）若）若1010点序列点序列y(n)的的1010点离散傅里叶变换是点离散傅里叶变换是 式中式中, , X(k)是序列是序列x(n)的的1010点点DFT，W(k)是序列是序列w(n)的的1010点点DFT 0n6 其他其他 求序列求序列y(n)。 解解：（3 3）X(k)乘乘以以W(k)相相当当于于x(n)与与w(n)的的循循环环卷卷积积。为为了了进进行行循循环环卷卷积积，可可以以先先计计算算线线性性卷卷积积再再

44、将将结结果果周周期期延延拓拓并并取取主主值序列。值序列。 x(n)与与w(n)的线性卷积为的线性卷积为z(n)=x(n)*w(n)=1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2循环卷积为循环卷积为 在在 00n n9 9 求求和和中中，仅仅有有序序列列z(n)和和z(n+10)有有非非零零值值，用用表列出表列出z(n)和和z(n+10)的的值，对值，对n n=0, 1, 2, , 9=0, 1, 2, , 9求和，得到：求和，得到： n0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11Z(n)z(n+10) 1 1 1 1 1 3 3 2 2 22 2 0 0 0 0 0 0 0 02 20 0y(n)3 3 1 1 1 3 3 2 2 2_ _1010点循环卷积为点循环卷积为 y(n)=3, 3, 1, 1，1, 3, 3, 2, 2, 2