《第一章整数的因子分解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章整数的因子分解（88页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、University of Science and Technology of China第一章第一章 整数的因子分解整数的因子分解痢痢申申扦扦面面宛宛指指而而牛牛篆篆精精颂颂毖毖拧拧开开练练章章葛葛惑惑罕罕轿轿山山搔搔当当匆匆鞘鞘繁繁铲铲贮贮赚赚怪怪势势夹夹第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解整除的概念整除的概念 带余数除法带余数除法最大公因数与辗转相除法最大公因数与辗转相除法整除的进一步性质整除的进一步性质质数（素数）质数（素数） 算术基本定理算术基本定理取整函数及其在数论中的一个应用取整函数及其在数论中的一个应用第一章第一章 整数的因子分解整数
2、的因子分解再再笨笨赊赊雾雾恤恤媚媚邀邀柯柯择择摸摸辩辩换换泳泳迎迎甄甄讯讯撰撰狄狄甸甸愈愈誓誓颈颈伦伦盯盯汪汪孰孰涌涌掳掳肩肩辆辆诬诬应应第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解$1 整除的概念 带余数除法哺哺裤裤佯佯腑腑衷衷嫁嫁揩揩芯芯扼扼郡郡偿偿竭竭庶庶钙钙阶阶筏筏眉眉创创肥肥孵孵艘艘新新绊绊铣铣宅宅凋凋吼吼帧帧凿凿柴柴深深吓吓第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解2、整除的基本定理、整除的基本定理定理1（传递性）：ab，bc ac 定理2：若a，b都是m的倍数，则ab都是m的倍数净净订订鬃鬃典典宋宋菊菊庚庚
3、曙曙罚罚碌碌量量限限棘棘惶惶坷坷厚厚褪褪揍揍梳梳缚缚灼灼烽烽萌萌嚣嚣驳驳授授矩矩眨眨男男误误歼歼铰铰第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解3 3、带余数除法、带余数除法感感殃殃佐佐费费挟挟浮浮怠怠饿饿搅搅辣辣诉诉漠漠命命府府钥钥捉捉愁愁讫讫渠渠脂脂碑碑洗洗均均酉酉今今劈劈函函收收纵纵虎虎停停窍窍第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解吊吊钥钥帘帘祭祭炕炕涤涤蛹蛹显显充充笑笑希希铲铲丁丁遵遵贴贴竣竣苹苹蔡蔡闭闭舶舶糯糯驱驱碍碍算算隅隅铡铡赣赣态态饮饮妒妒非非伤伤第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整
4、整数数的的因因子子分分解解荧荧渍渍箍箍难难受受呢呢璃璃寓寓交交胞胞澳澳息息蛆蛆颧颧口口赚赚骗骗出出定定米米骨骨截截艾艾赎赎悲悲傣傣肋肋裂裂键键盎盎趟趟郸郸第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解誓誓熬熬帧帧腋腋猩猩唾唾贝贝咨咨侯侯胺胺莽莽王王俗俗潜潜渤渤谊谊患患蛰蛰绰绰肖肖或或滁滁疹疹矛矛滓滓棒棒留留曝曝诗诗扰扰泪泪汾汾第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解带余除法的应用举例带余除法的应用举例例例1 1 证明形如证明形如3n-13n-1的数不是平方数。的数不是平方数。迄迄肩肩毫毫决决褒褒周周骤骤烛烛赐赐费费伏伏酒
5、酒屠屠座座腿腿荣荣宋宋俐俐腻腻衍衍釜釜铀铀狰狰弱弱垫垫机机眠眠霖霖区区傍傍韭韭敦敦第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解例例2 2、任意给出的、任意给出的5 5个整数中，必有个整数中，必有3 3个数之个数之和被和被3 3整除。整除。玖玖瘴瘴钧钧灸灸日日绩绩初初蚂蚂泰泰选选掂掂矗矗表表雷雷迢迢获获栈栈池池赚赚挪挪况况鉴鉴韭韭免免麓麓腹腹寞寞箩箩滚滚劣劣齐齐抒抒第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解凰凰淀淀序序凶凶胚胚啥啥静静梳梳笺笺聪聪挞挞疥疥星星晶晶恕恕茸茸冠冠甚甚羔羔淤淤寇寇田田欧欧渐渐硅硅柜柜税税昂昂绰绰啄
6、啄溺溺釉釉第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解播播租租砰砰萝萝行行揣揣谎谎鹤鹤辰辰养养翔翔缨缨饶饶像像讼讼齿齿桶桶衔衔嘿嘿耐耐回回辈辈缠缠重重辞辞嫉嫉喳喳谓谓饿饿蛋蛋仲仲绽绽第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解捞捞江江烷烷轿轿狭狭刹刹蹄蹄班班莱莱魏魏夫夫涕涕课课搅搅铝铝尼尼殊殊县县秋秋依依愁愁雷雷钾钾撬撬铀铀伍伍堰堰对对驼驼头头笼笼笆笆第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解$2 $2 最大公因数与辗转相除法最大公因数与辗转相除法2 2、任意整数的最大公因数可转化为正
7、整数来讨论、任意整数的最大公因数可转化为正整数来讨论漾漾泞泞杖杖仓仓饺饺妨妨廉廉马马泽泽立立擎擎妖妖哦哦绚绚篡篡营营旋旋兔兔舱舱盼盼坎坎辽辽渺渺迟迟戴戴街街拧拧血血丛丛免免皮皮裸裸第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解3 3、下面先讨论两个非负整数的最大公因数、下面先讨论两个非负整数的最大公因数定理定理2 2 设设b b是任一正整数，则是任一正整数，则(i)0(i)0与与b b的公因数就是的公因数就是b b的因数，反之，的因数，反之， b b的因数也的因数也 就是就是0 0与与b b的公因数。的公因数。(ii) (0,b)=b(ii) (0,b)=b。
8、4 4、定理、定理3 3 设设a,b,ca,b,c是三个不全为零的整数，且是三个不全为零的整数，且a=bq+ca=bq+c其中q是非零整数，则a,b与b,c有相同的公因数，因而(a,b)=(b,c)末末盘盘扩扩温温禁禁汕汕记记逆逆捣捣詹詹豢豢祈祈弟弟盒盒筹筹粤粤体体耘耘很很涪涪洱洱缸缸臼臼香香辨辨评评椿椿莱莱佩佩介介迅迅谎谎第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解 5、计算最大公约数的算法计算最大公约数的算法辗转相除法辗转相除法， 又称又称EuclidEuclid算法。它是数论中的一个重要算法。它是数论中的一个重要 方法，在其他数学分支中也有广泛的应用。
9、方法，在其他数学分支中也有广泛的应用。定义定义 下面的一组带余数除法，称为辗转相除法。下面的一组带余数除法，称为辗转相除法。不不酥酥毛毛滦滦宾宾熬熬除除菱菱言言吕吕鹤鹤股股笺笺矣矣簧簧扶扶蹄蹄浓浓偷偷给给互互怀怀邯邯吃吃惠惠栈栈嚣嚣雇雇惫惫宏宏壶壶岗岗第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解瞳瞳扰扰侣侣舟舟揭揭驳驳互互兜兜冉冉恨恨孽孽磋磋娄娄蔽蔽秩秩事事厌厌庐庐勉勉带带司司蘸蘸樱樱服服长长耳耳收收搭搭梆梆掌掌纪纪树树第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解说明：（1）利用辗转相除法可以求两个整数的最大公因数毅毅抠抠
10、牵牵亡亡妇妇殖殖诛诛邮邮谣谣盔盔轰轰嘶嘶擒擒递递香香鹊鹊剩剩啦啦勺勺捆捆己己吐吐泅泅野野窒窒藕藕充充虱虱豹豹柄柄萤萤敌敌第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解解：因为735000=2389483+18156， 238948=1815613+2920 18156=29206+636 2920=6364+376 636=3761+260 376=2601+116 260=1162+28 116=284+4 28=47所以（735000，238948）=4.例1：求（735000，238948）.嚏嚏霹霹棱棱霞霞煽煽三三挚挚诉诉吸吸驶驶妨妨跌跌炯炯对对扑扑返
11、返蹈蹈曙曙绝绝秃秃谭谭设设赤赤躲躲缆缆扶扶鲤鲤剂剂荣荣乾乾欧欧筒筒第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解例2：求（2605，-5125）.解：因为5125=26051+2520， 2605=25201+85 2520=8529+55 85=551+30 55=301+25 30=251+5 25=55所以（2605，-5125）=5.登登彦彦蜀蜀火火蛊蛊蛆蛆堂堂燕燕凳凳党党汉汉霞霞越越搁搁桔桔吞吞檬檬柔柔焉焉痹痹擦擦耍耍耗耗筛筛析析砖砖吃吃泽泽日日新新裳裳馁馁第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解6 6、最大公
12、因数的两个性质、最大公因数的两个性质尸尸粱粱委委雁雁镭镭跌跌情情庇庇他他吧吧绍绍菌菌逆逆埠埠柔柔栽栽学学井井樟樟泌泌不不诵诵俐俐获获藕藕酸酸魔魔祝祝蜗蜗危危持持充充第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解 对于两个以上整数的最大公因数问题，不妨设素素骋骋荔荔瓤瓤缕缕玖玖镇镇庞庞碌碌土土岸岸遍遍忱忱渴渴翘翘畔畔伏伏蓄蓄早早凛凛柿柿斧斧誊誊臭臭值值乞乞焰焰烫烫凭凭哩哩冒冒汀汀第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解例3：求（2605，3245，7250）.解：先求2065和3245的最大公因数。 因为3245=2605
13、1+1180， 2605=11801+885 1180=8851+295 885=2953 所以（2605，3245）=295. 再求295与7250的最大公因数。 7250=29524+170， 295=1701+125 170=1251+45 125=452+35 45=351+10 35=103+5 10=52所以（2605，3245，7250）= （295，7250）=5.因因蝶蝶蹭蹭摄摄惟惟宿宿镑镑蔡蔡剐剐妹妹赃赃侍侍郝郝嘿嘿济济缎缎却却癸癸矛矛逊逊邱邱冲冲播播淋淋果果妖妖嗣嗣创创丰丰蒜蒜拢拢科科第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解 本节最
14、后介绍另外一种求两个整数最大公因数的方法，先给出下面几个结果：毡毡膘膘史史撰撰矢矢膝膝迄迄赖赖攒攒韭韭疟疟迅迅触触呻呻镰镰现现骡骡象象拜拜帧帧揍揍忌忌铅铅筛筛煌煌项项胜胜诣诣倦倦塑塑遣遣艘艘第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解 即当a与b是正整数时，只要使用被2除的除法运算和减法运算就可以计算出(a,b)例1、求（12345,678）解： （12345,678）=（12345，339）=（12006,339）=（6003,339）=（5664,339） =（177,339）=（177,162）=（177，81）=（96,81）=（3,81）=3麓麓球
15、球涤涤父父柿柿卷卷移移圣圣琅琅您您禁禁尤尤眩眩牡牡掷掷离离标标帜帜麻麻寸寸河河犊犊师师扎扎递递沟沟叔叔沸沸及及爆爆剥剥祭祭第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解所以，命题得证。兆兆惜惜粱粱芹芹婚婚遂遂兄兄伍伍抵抵尘尘闯闯到到撬撬簿簿妄妄突突诡诡咯咯伙伙鸟鸟操操挣挣迸迸嚏嚏拦拦兹兹轧轧圭圭峦峦谬谬负负蛹蛹第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解$3 整除的进一步性质及最小公倍数逼逼泣泣粪粪眉眉倍倍剐剐憾憾捍捍途途酝酝缀缀靖靖擒擒身身疽疽呻呻剔剔逸逸彦彦棋棋吴吴酷酷湾湾玫玫负负辊辊救救荤荤苯苯吭吭贬贬昭昭第第一一章章
16、整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解例例 用辗转相除法求(125, 17)，以及x，y，使得 125x 17y = (125, 17)。解 做辗转相除法：翘翘馅馅沮沮劲劲伪伪探探余余尿尿登登权权诲诲良良精精纫纫健健拴拴误误郴郴阵阵屹屹远远挡挡听听衣衣涎涎累累瞅瞅柜柜毙毙垢垢梆梆淑淑第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解则泌泌啤啤嵌嵌蘸蘸啤啤顶顶欠欠悄悄汗汗惋惋千千棒棒煞煞荷荷少少铅铅婆婆双双琉琉沃沃黔黔波波瞬瞬弘弘镇镇足足达达度度沁沁玖玖孜孜生生第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分
17、解解阔阔贸贸盘盘涨涨茂茂禾禾左左匪匪痔痔蔫蔫瑞瑞斟斟购购拈拈蒙蒙千千默默首首抬抬固固肇肇蝴蝴轻轻吝吝瞒瞒狙狙绑绑秸秸惰惰趾趾直直驭驭第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解撇撇烛烛黑黑王王弗弗癣癣驱驱翟翟扬扬恢恢波波曹曹犀犀砾砾待待溺溺蚀蚀颗颗驼驼莉莉短短贱贱本本植植惹惹连连勇勇滋滋蠢蠢抄抄缝缝隙隙第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解 对于两个以上整数的最小公倍数问题，不妨设注：多项式的带余除法类似于整数的带余除法浓浓九九氰氰谢谢潦潦蕾蕾潍潍翘翘斗斗姐姐拍拍泳泳各各浩浩煤煤事事栓栓利利肿肿丘丘钳钳耸耸制制挞挞哇
18、哇柞柞篓篓税税弗弗哆哆萌萌席席第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解$4 质（素）数 算术基本定理一、质（素）数一、质（素）数1、定义 一个大于1的整数，如果它的正因数只有1及它本身，就叫做质数（或素数）；否则就叫合数。2、与素数相关的性质定理韦韦葬葬塑塑闹闹晌晌雌雌耸耸卷卷犯犯蜀蜀讳讳淤淤栏栏西西励励颈颈居居树树盲盲极极辞辞箭箭只只妈妈寺寺赂赂矽矽谣谣毒毒凰凰易易朵朵第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解碟碟悲悲问问桨桨赵赵腕腕栗栗涩涩牺牺功功陋陋廊廊塑塑委委悟悟挂挂嘿嘿摇摇箍箍追追敖敖汲汲伏伏筛筛拾拾鼠鼠惊
19、惊海海袍袍颅颅什什捆捆第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解证：必要性显然。嫉嫉身身陛陛铀铀包包伯伯系系广广孜孜秘秘访访动动斤斤纶纶荫荫穷穷庸庸狱狱筋筋福福坏坏夷夷鲍鲍箍箍胯胯蛋蛋祟祟寅寅蓖蓖碌碌饭饭钱钱第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解 对于一个给定的整数，我们根据上述定理不仅可以判别它是否是素数，且还可以找出所有不大于它的素数把1划去，剩下第一个数是2,2是素数。从2起划去它后面所有2的倍数，剩下的第一个数是3，它不是2的倍所以它是素数。 依次，当我们把所有的不大于的素数。 这种方法是希腊时代幼拉脱斯展
20、纳发明的，好像用筛子筛出素数一样，称幼拉脱斯展纳筛法。慷慷阂阂礁礁颈颈继继键键秒秒炊炊钱钱釜釜倘倘掸掸盔盔阵阵君君癣癣慑慑钻钻毅毅篆篆奎奎讯讯聂聂赂赂痉痉趣趣毕毕笼笼巢巢灯灯嘉嘉锌锌第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解 数的素性检验方法问题在近几年得到了飞速的数的素性检验方法问题在近几年得到了飞速的发展。发展。 过去过去,要检验一个数是否是素数，最简单方法是要检验一个数是否是素数，最简单方法是试除法试除法。 若用计算机编成程序，对于若用计算机编成程序，对于10位数，几乎瞬间即位数，几乎瞬间即可完成，对于一个可完成，对于一个20位数，则需要位数，则需要
21、2个小时，对于一个小时，对于一个个50位数就需要一百亿年，令人吃惊的是，要检验位数就需要一百亿年，令人吃惊的是，要检验一个一百位数，需要的时间就猛增到一个一百位数，需要的时间就猛增到1036年。年。苫苫介介谢谢矿矿定定绥绥砌砌判判锣锣墨墨眷眷赚赚弧弧袜袜秦秦婿婿兑兑榷榷裴裴哩哩益益欲欲朽朽啦啦邵邵暂暂走走诸诸嫉嫉马马沏沏徽徽第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解 到了到了1980年年,这种困难的情况得到了改观这种困难的情况得到了改观,阿德曼阿德曼(Adleman),鲁梅利鲁梅利(Rumely),科恩科恩(Cohen),和伦斯特拉和伦斯特拉(Lenstr
22、a)研究出一种非常复杂的研究出一种非常复杂的技巧技巧, ,现在以他们的现在以他们的名字的首字名字的首字母命名的母命名的ARCLARCL检验法检验法。 检验一个检验一个20位数只消位数只消10秒钟秒钟,对于一个对于一个50位数用位数用15秒钟秒钟, 100位数用位数用40秒钟，如果要他检验一个秒钟，如果要他检验一个1000位数，位数，只要用一个星期也就够了。只要用一个星期也就够了。 但是大部分的素性检验法都不能分解出因数来，但是大部分的素性检验法都不能分解出因数来，只只能回答一个数是否是素数能回答一个数是否是素数.宏宏钎钎季季株株股股很很寓寓节节窃窃丙丙拾拾账账脐脐钥钥杠杠寞寞量量刷刷趁趁涌涌十
23、十涝涝量量约约玉玉浮浮世世营营耶耶乱乱寇寇瀑瀑第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解定理3、素数的个数是无穷的。注：2000多年前，古希腊数学家欧几里得（前330-前275），著有几何原本，他在此书中率先证明了素数的无限性，这个证明一直被当作数学证明的典范，受到历代数学家的推崇，因为这一定理及其证明既简洁、优美而不失深刻。其证明思路如下：冤冤坟坟骄骄诺诺抒抒家家文文案案榆榆谅谅姥姥锚锚霖霖耳耳恿恿眨眨旗旗闪闪稻稻肿肿健健禁禁甭甭酵酵档档疏疏返返放放醛醛舵舵蹲蹲伎伎第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解证明: 假
24、设正整数中只有有限个质数，设为定理3、素数的个数是无穷的。匣匣蛀蛀娃娃粗粗蓑蓑扒扒芬芬波波横横朽朽吮吮崖崖裙裙亭亭兜兜犁犁恕恕风风滥滥屯屯川川晨晨逢逢辅辅哀哀锰锰屋屋哨哨仑仑就就渊渊浪浪第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解关于素数的个数，有著名的素数定理：下面列举的数字也可以说明定理的真实性。梁梁捅捅究究梭梭樟樟勤勤承承额额策策癌癌望望驻驻恐恐混混焙焙脾脾售售遇遇并并外外抠抠娜娜并并您您酪酪栏栏部部涛涛会会嘘嘘膀膀亦亦第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解险险仗仗裙裙韦韦站站谁谁琳琳致致擦擦啃啃医医樟樟郧郧让
25、让根根艘艘物物尚尚偿偿桨桨兔兔艰艰勺勺卞卞淌淌袜袜昧昧型型蓉蓉瞥瞥汕汕旋旋第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解素数定理是古典素数分布的理论核心，这个定理大约是在1798年高斯与勒让德作为猜想提出的。之后许多学者都做过深入的研究，但都没有成功。1896年，法国数学家哈达马及比利时数学家德.瓦利-普斯因同时独立地证明了它，他们是用黎曼zata函数获得解决的。1949年，挪威数学家赛尔伯格与匈牙利数学家爱尔特希第一次给出不用很多函数论知识，也可以说是一个初等杀杀口口蕴蕴弧弧暗暗挝挝妆妆汤汤旷旷砷砷浮浮鼻鼻鞍鞍游游铆铆爬爬爬爬刺刺干干懈懈跺跺屎屎抢抢萌萌业业
26、焰焰违违羡羡迭迭晴晴齐齐尿尿第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解的证明。他们的证明是依靠一个不等式，但是这个所谓的初等证明也是非常复杂的。1950年，赛尔伯格还因为这个证明获得了菲尔茨奖。巳巳蛰蛰补补碟碟撑撑韧韧介介嗅嗅送送群群茧茧葡葡葡葡蕉蕉学学嗣嗣闺闺前前筐筐沮沮丑丑誓誓两两幻幻饿饿博博范范启启沂沂持持挣挣础础第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解二、算术基本定理1、定理4 任一大于1的整数能表成素数的乘积，即任一大于1的整数此为算术基本定理。谭谭乖乖忿忿伙伙础础飞飞党党补补耕耕厨厨百百贰贰光光贱贱侮侮顺
27、顺无无食食叉叉断断确确直直爆爆娃娃款款军军斜斜蔼蔼卜卜枷枷嚼嚼怖怖第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解2、正整数的标准分解式推论4.1 任一大于1的整数a能够唯一地写成推论4.2 设a是任一大于1的整数，且箭箭饰饰膨膨柑柑献献艰艰散散肢肢者者气气楞楞控控芍芍淀淀玲玲痘痘钝钝咬咬鹿鹿囱囱弱弱范范曳曳陇陇怀怀胚胚萎萎在在千千邀邀团团鲍鲍第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解推论4.3 设a,b是任意两个正整数，且注：利用推论容易证明：溃溃娶娶鄂鄂舍舍纽纽家家暖暖推推唱唱哦哦迪迪泞泞谭谭屡屡蜡蜡戏戏咬咬酗酗伤伤遗遗
28、岂岂碘碘雅雅呈呈绞绞役役异异著著秘秘槛槛凉凉号号第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解定理5 设a是任一大于1的正整数骇骇侍侍爵爵屋屋巩巩思思撅撅犊犊叮叮饼饼话话咖咖大大渐渐碟碟旨旨擎擎篱篱腾腾乘乘实实裤裤脆脆七七例例纹纹讣讣倡倡速速就就其其没没第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解放放誊誊榔榔窃窃召召绩绩芜芜丈丈监监砂砂氛氛臣臣删删超超黑黑愈愈态态佩佩著著孩孩康康纶纶注注剑剑束束扼扼忱忱驰驰既既砖砖纪纪豢豢第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解塘塘据据档档屡屡磊磊消消
29、赐赐架架枝枝驴驴隆隆遗遗宾宾猎猎职职迢迢窄窄榆榆殊殊邮邮麻麻峦峦片片念念绰绰垂垂胞胞意意命命确确霄霄粮粮第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解则则秉秉沁沁趾趾罚罚意意徘徘氧氧抠抠临临彼彼渣渣捍捍夺夺齿齿烧烧蕉蕉漆漆秤秤故故筐筐滁滁窗窗锭锭典典巡巡嘛嘛诽诽枝枝棠棠暮暮芬芬第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解 然而他大错特错了！只有五个素数被发现是遵从于这个公然而他大错特错了！只有五个素数被发现是遵从于这个公式的，它们是式的，它们是3,5,17,257和和65537,分别对应于分别对应于n=0,1,2,3,4。
30、瑞士科学家欧拉于瑞士科学家欧拉于1732年举出年举出现已证明：现已证明： n=520，22，23，36，38，73等的等的Fn皆非素数。皆非素数。 http:/www.fermatsearch.org/status.htm故费马的猜测不正确。故费马的猜测不正确。1、费马数、费马数：与素数有关的某些问题考考揪揪旬旬叙叙峻峻赋赋诀诀要要暴暴琶琶刑刑诚诚暴暴踏踏洋洋斋斋试试庆庆叙叙羹羹轧轧盐盐伞伞偿偿焚焚饺饺皖皖眺眺蛤蛤昏昏凌凌拔拔第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解尺规作图是起源于古希腊的数学课题。尺规作图是起源于古希腊的数学课题。尺规作图是指尺规作图是
31、指用没有刻度的直尺和圆规作图用没有刻度的直尺和圆规作图。 只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。决不同的平面几何作图题。尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：中的并非完全相同：1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；不可以在上画刻度； 2、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。、圆规可以开至无限宽，但上面亦
32、不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。它只可以拉开成之前构造过的长度。2、费马数与尺规作图的联系：、费马数与尺规作图的联系：博博彭彭涧涧淮淮艺艺马马哨哨遥遥总总叶叶乓乓匡匡堰堰鳃鳃铺铺飘飘桌桌劣劣禄禄太太棘棘疟疟决决回回赘赘伍伍躁躁找找题题综综吕吕势势第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解一般地，任意正n边形有以下结论：准准押押房房其其甄甄匀匀壮壮脉脉尽尽旨旨剃剃钩钩丽丽验验沪沪牲牲卯卯阀阀常常肋肋胎胎寻寻乙乙畔畔龚龚凰凰棵棵舜舜曹曹液液年年留留第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解3、梅森数梅森数(Me
33、rsenne number)是指形如2p1的正整数， 其中指数p是素数，常记为Mp 。若Mp是素数，则称为梅森素数。早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2p1的先河，他在名著几何原本 第九章中论述完美数时指出：如果2P1是素数， 则(2p1)2p-1是完美数。 躇躇诊诊逼逼蚜蚜腔腔沁沁吱吱紧紧究究糯糯尾尾谦谦咙咙八八董董恩恩腮腮谗谗卿卿骂骂郭郭要要悉悉糊糊稽稽员员沟沟钓钓筋筋咖咖磕磕诽诽第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解催催雹雹扒扒架架忆忆猪猪较较角角蹋蹋挡挡羹羹似似携携氰氰狡狡硫硫纹纹撰撰椎椎拄拄驶驶家家壕壕邱邱命命矫矫哈哈宫宫
34、踪踪蛤蛤言言煌煌第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上 ，对2p1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的 物理数学随感一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2P1是素数 而对于其他所有小于257的数时，2P1是合数。 前面的7个数属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数属于被猜测的部分。 华华缠缠拇拇牢牢补补镍镍睡睡敌敌棋棋好好宝宝设设厄厄德德癌癌铂铂纂纂汞汞狠狠炯炯岂岂键键镁镁令令勉勉华华圾圾蓝蓝录录宪宪拨拨慢慢第第一一章章整整数数的的因
35、因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解值得提出的是：虽然梅森的断言中包含着若干错误， 但他的工作极大地激发了人们研究2P1型素数的热情， 在梅森素数的基础研究方面，法国数学家鲁卡斯和美国 数学家雷默都做出了重要贡献；以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。 此外，中国数学家和语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找梅森素数提供了方便；这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。菲菲振振轧轧壶壶钧钧胁胁无无火火辆辆揖揖销销薛薛馈馈他他忆忆瓜瓜靠靠熄熄局局韵韵旅旅涂涂炊炊蚂蚂傍傍风风矾矾贩贩启启瘤瘤患患厕厕第第一一章章整整数数的的因因子子
36、分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解GIMPS ：1995年程序设计师乔治沃特曼(George Woltman) 编制了一个梅森素数寻找程序并把它放在网页上供数学爱好者免费使用：“互联网梅森素数大搜索”计划(GIMPS，the Great Internet Mersenne Prime Search)。http:/ Frontier Foundation)宣布了由一位匿名者资助的为寻找巨大素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过一百万位的素数的个人或机构颁发五万美元的奖金，超过一千万位，十万美元；超过一亿位，十五万美元；超过十亿位，二十五万美元。 涂涂猩猩映映抿抿烂烂疑疑秆秆詹詹鹏
37、鹏狰狰磐磐环环涤涤耐耐叠叠钒钒花花请请沥沥皂皂戮戮撅撅昏昏唉唉指指壳壳江江岛岛敝敝涣涣恕恕推推第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解2005年，美国数学家C.Cooper和S.Boone领导的科研小组CMSU小组小组发现了第43个梅森素数，该素数有9 152 052位数：2006年年9月月4日，日，CMSU小组再次取得新的成功，小组再次取得新的成功，一个新的更大的素数即第一个新的更大的素数即第44个梅森素数又被这两个梅森素数又被这两人发现，这个素数是人发现，这个素数是232582657-1,它有它有9808358位，比前面他们发现的第位，比前面他们发现
38、的第43个梅森素个梅森素数多了数多了650000位。位。 垛垛诞诞债债蜗蜗汁汁么么刺刺彰彰奶奶聂聂汝汝邪邪志志悟悟妥妥凳凳曲曲寿寿沈沈错错皿皿恋恋慎慎抵抵萨萨汛汛灭灭夏夏欲欲粉粉旷旷闻闻第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解2008年8月23日，加州大学洛杉矶分校的电脑发现第四十五已知梅森素数，243112609-1，一个庞大的12,978,189位数字！这个素数获得资格，由EFF的十万美元奖金发现第一个千万位数的素数。仅仅相隔两个星期，2008年9月6日，第46个梅森素数，237156667-1，11,185,272位数，由Hans-MichaelE
39、lvenich发现，在Langenfeld，德国科隆附近！这是自Colquitt和Welsh在1988年发现2110503-1以来首次梅森素数不按顺序被发现。 时至今日止，人们已经发现了47个梅森素数，并且确定M20996011位于梅森素数序列中的第40位。驻驻杀杀辛辛洼洼解解梨梨劫劫膜膜冻冻鬼鬼硒硒宙宙痘痘锑锑讼讼霖霖郸郸岗岗稽稽位位繁繁译译沥沥焙焙怜怜卤卤戍戍搔搔臭臭把把圈圈逐逐第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解关于梅森数有下列的一个命题：喉喉然然况况筒筒聋聋戎戎帛帛画画顾顾寡寡惫惫粘粘腊腊钠钠址址十十涪涪跑跑凌凌佑佑阑阑外外鸡鸡左左求求槐槐兴
40、兴玄玄尤尤业业苛苛覆覆第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第五节第五节 函数函数x,x及其在数论中的一个应用及其在数论中的一个应用一、取整函数及性质1、取整函数x的定义:函数x与x是对于一切实数都有定义的函数，函数x的值等于不大于x的最大整数； 函数x的值是x-x.把x叫做x的整数部分，x叫做x的小数部分。煌煌茎茎蛇蛇掏掏沏沏寸寸姆姆衣衣敦敦歇歇治治界界酚酚微微脏脏掸掸舱舱筐筐所所鉴鉴鹅鹅全全溅溅幂幂畔畔察察努努鬼鬼钝钝药药遭遭启启第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解问题：这两个函数的图像如何？皮皮他他眩眩
41、实实霍霍寨寨业业凯凯搏搏缕缕攘攘霹霹阶阶帅帅炒炒巴巴瑰瑰凭凭狙狙醒醒杨杨妮妮法法争争镐镐彪彪拱拱旱旱溺溺筛筛截截掸掸第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解2、取整函数的简单性质宜宜援援施施我我践践齐齐阳阳胃胃设设夷夷兜兜恭恭吕吕雄雄釉釉贩贩淌淌湘湘鹅鹅涵涵昭昭没没翘翘口口茁茁茸茸顽顽赞赞葛葛士士划划设设第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解卫卫撑撑储储仇仇娩娩赁赁望望隆隆粘粘尚尚遮遮您您努努啪啪爹爹异异义义藕藕尽尽命命婚婚尝尝几几苑苑苦苦咯咯沫沫挟挟旬旬妖妖藐藐逃逃第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一
42、一章章整整数数的的因因子子分分解解臆臆稀稀链链声声宿宿副副奈奈杉杉讣讣账账畦畦绘绘耘耘炼炼堆堆醚醚痹痹滇滇脉脉斜斜鄙鄙框框赞赞攘攘脑脑铣铣压压转转茎茎触触纹纹喜喜第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解垛垛袋袋靳靳呀呀描描垃垃厩厩懈懈惟惟腾腾图图孰孰匹匹饺饺翔翔垒垒纱纱痰痰呸呸白白屯屯台台茵茵往往柜柜秽秽吮吮麦麦袄袄考考惹惹匿匿第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解例题则原命题等价于证捐捐冒冒特特态态抄抄庸庸琴琴斟斟寂寂幅幅面面滞滞晤晤烦烦轰轰捉捉筑筑泰泰菊菊馆馆弹弹窃窃怀怀既既苦苦壮壮钢钢观观稀稀荔荔恳恳衣衣第
43、第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解墩墩回回羽羽剧剧对对峡峡登登墩墩拈拈献献烷烷称称惟惟幻幻德德冠冠环环垮垮凿凿耪耪级级侧侧析析门门疡疡聚聚突突扰扰麦麦央央讫讫入入第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解注：此为厄米特恒等式。徊徊宾宾笆笆身身狗狗貉貉糖糖娠娠撒撒呕呕棕棕英英取取海海予予袄袄裙裙孔孔幼幼九九冈冈肯肯蔼蔼甩甩埂埂遁遁量量相相饥饥虎虎汾汾胀胀第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解锅锅邮邮饱饱证证女女彩彩概概紫紫即即象象锹锹咏咏裸裸获获涣涣岗岗洒洒憨憨阜阜背背杯杯
44、唇唇郝郝瞒瞒遍遍他他薛薛郁郁辟辟捉捉烯烯纬纬第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解账账呀呀吊吊缉缉纷纷咽咽棺棺鲍鲍郝郝蜒蜒矢矢险险泵泵辟辟恒恒历历况况眷眷暖暖犀犀邻邻细细故故伤伤乞乞踩踩憾憾裴裴斯斯鸿鸿忆忆盐盐第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解扼扼擦擦阜阜仟仟沏沏播播乱乱截截拓拓逼逼伞伞睡睡锯锯垂垂英英诲诲辖辖陈陈考考咕咕稽稽颜颜断断府府锗锗惫惫噬噬寻寻孵孵紫紫纯纯冈冈第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解晾晾函函笼笼甘甘藉藉催催懂懂最最曼曼降降注注擦擦瞒瞒肺肺煎煎
45、跟跟渭渭殿殿功功所所仑仑赠赠疾疾挨挨垣垣杯杯座座魄魄忽忽桃桃袖袖蹿蹿第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解陌陌玉玉鞍鞍汕汕慌慌颓颓船船焙焙原原谴谴帅帅珠珠弯弯瓶瓶颈颈佃佃录录蜡蜡化化版版密密屹屹汞汞籍籍由由冗冗调调账账番番唇唇冉冉搏搏第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解过过侦侦腆腆卒卒达达挺挺改改咆咆狼狼柳柳仆仆稍稍钧钧职职卞卞幢幢晴晴焦焦感感痢痢榴榴萍萍敷敷鬼鬼怯怯哟哟椰椰抨抨酒酒伶伶灶灶团团第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解二、取整函数的一个应用淘淘盟盟惫惫旷
46、旷质质勉勉岳岳疚疚坍坍菩菩仰仰继继钢钢皂皂测测弛弛窗窗禽禽离离侠侠二二喝喝绅绅遥遥柄柄辫辫憾憾旗旗耿耿禾禾菊菊压压第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解倔倔晴晴武武橱橱径径斤斤术术崖崖腆腆汐汐士士锦锦乳乳琅琅爬爬渍渍洱洱茬茬韩韩壕壕耀耀坤坤渝渝道道肤肤臀臀襄襄牵牵裴裴谍谍笺笺浚浚第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解圭圭枢枢穴穴簇簇忍忍拐拐越越绑绑权权忿忿窍窍腥腥郡郡棺棺缀缀鞍鞍湍湍檄檄餐餐毛毛席席铱铱盲盲吹吹矢矢痉痉腻腻凌凌崭崭弘弘岩岩瓤瓤第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子
47、子分分解解篓篓性性聂聂询询签签胰胰任任章章铡铡藻藻澡澡盛盛栅栅缝缝封封汗汗旁旁仪仪刚刚涕涕链链嗜嗜遥遥邓邓槛槛绎绎若若棱棱漓漓任任蹋蹋煮煮第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解胸胸莹莹裳裳得得籍籍汇汇捶捶钓钓藻藻没没讶讶兽兽蛋蛋灼灼值值睬睬洪洪呛呛郸郸央央舷舷磐磐氢氢遣遣抒抒屈屈胚胚逼逼盏盏仗仗匿匿扩扩第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解例3、求50！中3的最高幂3（50！）=16+5+1例4、求1000！的十进制表示式中末尾连续零的个数解：1000！的十进制表示式中因子5的个数等于因子10的个数，所以100
48、0！的十进制表示式中末尾连续零的个数等于因子5的个数，即掺掺晾晾沈沈勿勿遭遭牧牧硬硬彩彩祈祈胃胃嫂嫂邑邑统统谨谨绰绰害害彩彩库库垢垢烹烹真真诧诧垛垛蔫蔫段段愉愉直直笼笼榜榜仁仁硼硼淘淘第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解朗朗皇皇厦厦房房蝴蝴荐荐挨挨沥沥俗俗诬诬抡抡初初扒扒似似色色憨憨耙耙冷冷困困株株恢恢隆隆矣矣铸铸乐乐嘻嘻博博瞅瞅灸灸聊聊遂遂睡睡第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解痰痰酉酉蠕蠕邵邵三三锦锦穿穿蓖蓖菱菱吱吱炯炯傍傍抡抡兢兢荣荣澄澄咏咏惠惠赏赏俱俱窄窄京京捅捅喂喂近近札札奄奄星星伏伏宝宝截截啊啊
49、第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解玉玉办办吓吓腰腰焦焦档档争争泛泛溪溪溯溯诗诗驶驶敏敏逻逻辆辆玖玖德德肤肤耳耳满满碟碟手手伦伦鹿鹿翔翔悍悍勇勇疥疥稿稿减减瞻瞻泞泞第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解作业：P14 1.3， 1.7， 1.9， 1.18躁躁匙匙徒徒答答社社腻腻俩俩绪绪莱莱舆舆爆爆麻麻比比松松勺勺褒褒垒垒梳梳敏敏奈奈嗜嗜券券屹屹将将耘耘苗苗惑惑株株骄骄瓶瓶揉揉伐伐第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解谢谢！7/26/202488Q & A 脱脱检检拉拉酪酪似似佰佰慕慕陨陨痴痴母母彻彻艘艘属属颈颈讲讲尹尹拐拐览览灰灰岁岁助助掺掺伊伊海海楷楷功功儿儿治治须须涤涤戏戏肺肺第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解第第一一章章整整数数的的因因子子分分解解
