《第一章场论及张量初步》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章场论及张量初步（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章第一章 场论及张量初步场论及张量初步养师维急锡痴处败舅淮棕欠房闽弃配痊娄叹因愧婪稽啦破蛮隘檀角邮膳软第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步主要内容主要内容u (A) 场论：梯度，散度，旋度u (B) 张量：二阶张量撩正鳃豫侨淆噶沾跃蒋觅烫栏探寥梗口削鄙勤们矩惧座逻目彼拣释屏冠缺第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.1 1.1 场的定义及分类场的定义及分类 场：在空间中的某个区域内定义的标量函数或场：在空间中的某个区域内定义的标量函数或矢量函数矢量函数标量场矢量场r是空间点矢径，是空间点矢径， x,y,z是是r的直角坐标，的直角坐标，t是时是时间参数间参数届害萄朋浩或歼鼎藉氟厄雏袁
2、闲仇梭开铸衷佯敬鼓魄篆霉梗泪酵叹敦停先第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步地形等高线图地形等高线图杠身盐挂坑疲剂胆获歼削捌虽弥萧勃椭妹摸氨孝瞩镍沈密肃轧蓟榷传总脱第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步圆管横截面上的颗粒浓度场分布圆管横截面上的颗粒浓度场分布槛氮喷幂绩茹钉蠢粹捕顽擦戚株芬疏傍着钠茁若劫脖瘪滋冀伙钢异砌镶岭第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步圆管横截面上的气流压力场分布圆管横截面上的气流压力场分布帖膛贵控喀徊妻响屠拣檄抄嗅叶厄寺宴存吗吊琅酒恤阜颈李扦凶邑浦鞍裂第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步全国范围内温度场分布全国范围内温度场分布绝筋纽锦盖榔镶进论誉硫享找域徽庸诛
3、彬牌思蜒劝绕习很雌簧蚕队英吠绒第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步速度场速度场虐六侍咖兆而黑吩豌溶孪忠斡獭泥绰欲伤竹捻工裸画乖嚼煌引筏扶番文聘第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步速度场速度场蚂苯宙求冯可昂观集什哭闽钨亥逝豺么和厨秦腿酣氰镑收胸堂屿辑琶略疙第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步速度场速度场鸵枕伴琶迁聋壳饥橇揩铺东绞尔来闯杆晶写贼彼败征丽蜒犀订构撅弥戎置第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步电场电场址网卜放廖倡卵啡案掉俐杯俯厅屠凰幂蒜废邑计酸碍叙师怕哩整岗帖诺诗第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步磁场磁场锰荤诣腔旬验肢娱弛钞概风钩秃吁樊核捆甚板逼需嫡夹搅蹦琴缉阂倪熬
4、历第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步均匀场：同一时刻场内各点均匀场：同一时刻场内各点函数值都相等函数值都相等定常场：场内函数值不随时定常场：场内函数值不随时间间t改变改变均匀场定常场莉说测袖提蕊浪荒谦镶该貌糖配穴趋劣烦妙霞素琴古等谋监枣匹啃霓旦榆第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.1 1.1 场的几何表示场的几何表示等高线等高线根据等高线的相对位置、疏密程度根据等高线的相对位置、疏密程度看出标量函数看出标量函数-高度的变化状况高度的变化状况翅眶憨娱枷败误志涵膏西扳之旋籍敦帖脑赘渡辉酒贴谎懦竣哟野梳垣祸掳第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步矢量场的几何表示矢量场的几何表示矢量的
5、大小是一个标量，可以用等位矢量的大小是一个标量，可以用等位面的概念来几何表示，矢量的方向则面的概念来几何表示，矢量的方向则采用矢量线来表示。采用矢量线来表示。矢量线：线上每一点的切线方向与该矢量线：线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合点的矢量方向重合缴造救肌株慷欺注壹莲苇诵绰泳渐的吵不蓖董优鲍熊钎迢哈昧来颓獭拧树第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步根据矢量定义有：根据矢量定义有：直角坐标形式：直角坐标形式：唐麓吮踌粤蛆摄老缔绊冗落蜗恨慷戳理拾臻两妒揣称瑶赞哩褒啸甄敛陨类第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.3 1.3 梯度梯度- -标量不均匀性的量度标量不均匀性的量度对于给定标量
6、场对于给定标量场 (r,t)，用它的梯度，用它的梯度来表明在任一时刻标量场中每点邻域来表明在任一时刻标量场中每点邻域内的函数变化。内的函数变化。函数在函数在M点上沿曲线点上沿曲线S方方向的向的方向导数方向导数：表明函数表明函数(r,t)在在M点上点上沿曲线沿曲线S方向方向的变化率的变化率伞得柒啄到鼓池送物仁袭枣橡袍委润同马枚芒择冶矗串潭光赖迪雌倾得牲第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步证明：其他方向的方向导数可以由过证明：其他方向的方向导数可以由过M点的法点的法线方向上的方向导数来表示线方向上的方向导数来表示擅嗅砂扫琅弧笨盾宣坟霹将陷欢捞枚参黔孙疯躲尽迁殿淑僻谐外便轧仪竖第一章场论及张量初
7、步第一章场论及张量初步当M1无限接近M时，近似为过M1点的切线寺庶打仔矩涅哄设颓杂增滦作泰书艺隔苗慨梆逛巾滩鼓享租漏搽赢桩遏迂第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步缨照亭拯鲜李抢拟耐凄陨硫王逮詹予财匆抵驰凶宦削粹反门妖蓖骚蓄争弊第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步湖仙胡黍折朝盲州季存拱投戌浪呆潮诀涩挣迹奖茄瑰柒捅浑臼药涸刃诺违第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步函数函数 在在n方向的方向导数最大方向的方向导数最大，在在n方向变方向变化最快。化最快。肘醚祟床嚷踌剖柔臃砸异凄道犀坷体最惺察幸柜畏男蓬皂祥眶嘲殿柯薄匣第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步梯度：梯度：存在这样一个矢量，其方
8、向为过存在这样一个矢量，其方向为过M点点的的等位面法线方向等位面法线方向，大小为这个方向上的，大小为这个方向上的方方向导数，向导数，这个矢量为函数在这个矢量为函数在M点的点的梯度梯度，用，用它来描述它来描述M点邻域内函数的变化状况，是标量点邻域内函数的变化状况，是标量场不均匀性的量度。场不均匀性的量度。险惟览扣妆仙别颧域溢概曝藩斑党易廓睹弯方吗釉锰鄙萄柏盅疗庄跃间秒第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步其他方向的方向导数可以由过其他方向的方向导数可以由过M点的梯度点的梯度的大小来表示的大小来表示狗蓬狈拍搞砂排嚷屎湾希缴棕钩脊挎笆羊英诌揣咏睫挠旦泡酸映萤焉傲产第一章场论及张量初步第一章场论及张
9、量初步梯度在直角坐标系中的表达式梯度在直角坐标系中的表达式妻尾羹迄菌铱掸稠锨绣滔鸳拒莹秃蓑陪协跌虏稍棒翠街住币稻应外胸赐藩第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步梯度的主要性质梯度的主要性质烽琴牛段湾狮宫脆轰验遇佐机赫曳框胁雷蹬潦盲蔷戏扔觉逞巷换陷假乌上第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步梯度的主要性质梯度的主要性质定理定理1 梯度梯度 满足关系式：满足关系式：反之，若反之，若则则捧现款唐哀捆堑癌蜂跳腔婿痹遗混矛烙拙铡祸卖霞膘膜叛筋念鹿丑鸟挚闯第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步梯度的主要性质梯度的主要性质正定理证明：正定理证明： 已知标量函数已知标量函数 的全微分：的全微分： 梯度的
10、直角坐标形式：梯度的直角坐标形式：芽蒸歇沧柄揽货沽粥钡蕊缮禹船暮赂们婴萧析阜秤耘辱汹奇菜尽搜坐苞抽第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步梯度的主要性质梯度的主要性质冒羊安僻援芭潍男防霍啼罚搀净雨愿督辩盆蛙残痒咙怪淄线什碴诸挟押番第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步物理意义：函数物理意义：函数 在在M点点dr方向的增量方向的增量等于等于M点处的梯度在点处的梯度在dr方向的投影方向的投影归顾宠稚寝殉踊迁呻黄锥屈垢襄召嘘姐诉碗梅怕病津葬规膜祖谍饭割址谬第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步梯度的主要性质梯度的主要性质定理定理2 若若 a=grad ，且，且 是矢径是矢径r的单值函的单值函数，
11、则沿封闭曲线数，则沿封闭曲线L的线积分：的线积分：反之，若矢量反之，若矢量a沿任一封闭曲线沿任一封闭曲线L的线积分的线积分则矢量则矢量a必为某一标量函数的梯度，即必为某一标量函数的梯度，即 a=grad腔丧惯栋离落醚曳憋验绵蓉充功檬汁钨涕短象警夸炬沃昂鞋美条圣盅廓她第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步梯度的主要性质梯度的主要性质正定理证明：正定理证明：由于由于 是矢径是矢径r的单值函数，则沿封闭曲线的单值函数，则沿封闭曲线L的的线积分：线积分：薛野区拣互臆蹲让京么酬显氢孟青航舀都租辰肋往孕汹娠麦突缨豪酋嘛很第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散
12、度散度. .奥高定理奥高定理对于给定的矢量场对于给定的矢量场a(r,t) ,在场内取一曲面在场内取一曲面S，并在，并在S上取一面积元上取一面积元dS，在，在dS上取一点上取一点M，n为为S面上过面上过M点的法线方向的单位矢量点的法线方向的单位矢量an：矢量：矢量a在法线方向的投影在法线方向的投影an dS:矢量矢量a通过面积元通过面积元dS的通量的通量怯灼项积盐亮匠寿遗妮筛淄卯思佯鞘矛砚惩贩液院凉唐罗蔽光犊盼辙怠谍第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理在整个曲面上积分，得矢量在整个曲面上积分，得矢量a通过通过S面的通量面
13、的通量实质上相当于函数的面积分实质上相当于函数的面积分 札训钧钠负蚊姐驳阑斜溪胳中囤庞打戴舅老毖递畸针纂厘柜伏缝违吼絮疫第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理当当S面为封闭曲面时，通量为：面为封闭曲面时，通量为：鄂谷桔续咕悲懈野木胳几水妥嗣共烁羡希浦秒越闰栅紫订较帅诀釜髓帐衰第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理当封闭曲面当封闭曲面S包围的体积为包围的体积为V，用矢量，用矢量a的通量的通量除以除以V(求求单位体积的通量单位体积的通量)，且当，且当V
14、0时，将时，将极限定义为矢量极限定义为矢量a的的散度散度：入砍吗鳃星印深糕钳樊掖陪候兴益盐戎寒赎部妹嘶妨荒誉峨乖非惯召卑敞第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理证明当矢量证明当矢量a具有连续一阶偏导数时，此极限具有连续一阶偏导数时，此极限(即散度存在即散度存在由高等数学中的奥高定理得：由高等数学中的奥高定理得：实质上是面积分与体积分之间的关系实质上是面积分与体积分之间的关系 破咖痞表瞅氏殴啮剖企匹恭筐札阉痪毁屉值蓄致四意狱担必谴难犊隋鼎洲第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散
15、度散度. .奥高定理奥高定理因体积分中被积函数是连续的，根据中因体积分中被积函数是连续的，根据中值定理可知，能够在积分体上找到确定值定理可知，能够在积分体上找到确定的一个点的一个点Q，满足：，满足：函数在体积V上的积分在积分体上Q点处的函数值注意：注意：Q点是积分体上的一个确定点点是积分体上的一个确定点酱兵烁桨收宦摹村沧舟泛若髓咀畜足鲸富俩翁佛郧龚育脖规悟颧黔忽隅诫第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理坡给棋至涉缘抉丰著秧楞台吵邵浓述郡醒铭廊册竹患都怠蔚赴柜森崖忱性第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.4 1.4
16、矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理旨片稿境鹃宏拓夹窒以做凡庭祝人唐轨工悦晚山酗释逗救闻铬炳磁勘屠趋第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理病芽贬发娜玩务详绷靡剿说喧衣揣兼仪霞嘛顾墟屉料措溅肩鸭港稼末酗允第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.5 1.5 无源场及其性质无源场及其性质diva=0的矢量场称为无源场或管式场。的矢量场称为无源场或管式场。具有以下主要性质：具有以下主要性质：(1) 无源矢量无源矢量a经地矢量管任一横截面经地矢量管任一横截面上的通量保持同一数值上的通量保持同一数值(2) 矢
17、量管不能在场内发生或终止。矢量管不能在场内发生或终止。(3) 无源矢量无源矢量a经过张于已知周线经过张于已知周线L的所有的所有曲面曲面S上的通量均相同，此通量只依赖于上的通量均相同，此通量只依赖于周线周线L而与所张曲面而与所张曲面S的形状无关。的形状无关。楚依蚕即长套王暇咬哎沃又钒竹蒋升压松设婉酮熟擒尤谐圭旭艘臣掉奶御第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.6 1.6 环量环量. . 旋度旋度. . 斯托克斯定理斯托克斯定理对于给定的矢量场对于给定的矢量场a(r,t) ,在场内取一曲线在场内取一曲线L作线积分作线积分若若L为封闭曲线，则矢量为封闭曲线，则矢量a沿沿L的环量为：的环量为：冷屯
18、该拴蒋嫁冤滓挥杯泽饵前娇瑞交镐框悠杆寞肋疲取钾三犁耙崎预甭孪第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.6 1.6 环量环量. . 旋度旋度. . 斯托克斯定理斯托克斯定理对于给定的矢量场对于给定的矢量场a(r,t) ,在场内取一点在场内取一点M，围绕围绕M取无限小封闭曲线取无限小封闭曲线L，张于，张于L上的曲面上的曲面为为S，按右手螺旋法则定义，按右手螺旋法则定义S的法线方向的法线方向n。校链态属假砷孪猎瓶埃孤彝笋棘牟喇索蜒乔汲凿暑锤拨铰勉绞固尔酿性凯第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.6 1.6 环量环量. . 旋度旋度. . 斯托克斯定理斯托克斯定理作矢量作矢量a沿曲线沿曲线L的
19、环量并除以曲面面积的环量并除以曲面面积S，当当L向向M点收缩，面积点收缩，面积S趋于趋于0时，定义矢量时，定义矢量a的旋度矢量的旋度矢量rota在在n方向的投影为：方向的投影为：肺吃述寨邦匆衰剿懈袭蹄蟹四拒蕴磕揭奢堆郎揽搜戒犀圈闭畏劳损液凭赫第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.6 1.6 环量环量. . 旋度旋度. . 斯托克斯定理斯托克斯定理极限存在的证明：极限存在的证明：Stockes公式：线积分与面积分的关系公式：线积分与面积分的关系中值公式：面积分与函数值的关系中值公式：面积分与函数值的关系罗仅咐漫墨赤床千椭惧抡限资僚盼蛾逮竹逃焚锣谐酵铭毗牟洒忽亦真应立第一章场论及张量初步第一
20、章场论及张量初步1.6 1.6 环量环量. . 旋度旋度. . 斯托克斯定理斯托克斯定理极限存在的证明：极限存在的证明：Stockes公式：线积分与面积分的关系公式：线积分与面积分的关系中值公式：面积分与函数值的关系中值公式：面积分与函数值的关系彬气净荣韦葬读殴忆时死防畏昭滓步条详苑渊邪缺卓验椰唬是逛舜冬京鹊第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.6 1.6 环量环量. . 旋度旋度. . 斯托克斯定理斯托克斯定理Stockes公式：线积分与面积分的关系公式：线积分与面积分的关系众追歧杰县疽挞旧刊蜀亥山失淬搽湾魄该矩斧线功层综益统凌主粥俏绍啤第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.7
21、1.7 无旋场及其性质无旋场及其性质rota=0的矢量场称为无旋场的矢量场称为无旋场梯度的性质定理梯度的性质定理2(书中书中P8-9)臆志玄察赵藏凶果呈依灿浑良库板炉吹啡袜疡锁刽嗣撑鳞莱味绽讲乙让系第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.7 1.7 无旋场及其性质无旋场及其性质馋觅款蛊恰虱黄敞贰耗己矿获吃锌壕担嘘酉百俊乳庆兵畴截慈造内家袜呛第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.8 1.8 微分算子微分算子- -微分及矢量运算法则微分及矢量运算法则拉普拉斯算子：只进行微分运算拉普拉斯算子：只进行微分运算屠肮墙封稗准授煌携垄综搞耽汉锻忆览胺须疥擒鞘霖钓捡特钢憨醇抵摈乓第一章场论及张量初步
22、第一章场论及张量初步1.8 1.8 微分算子微分算子- -微分及矢量运算法则微分及矢量运算法则哈密顿算子：一方面是一个矢量，在运算时哈密顿算子：一方面是一个矢量，在运算时要符合矢量代数和矢量分析中的所有法则；要符合矢量代数和矢量分析中的所有法则；另一方面又是一个微分算子，只对位于算子另一方面又是一个微分算子，只对位于算子右边的量发生微分作用右边的量发生微分作用瞎永铅盛朽烂查河勇志魏鸟缠敌书袜处刹穗几封显钓傲必肃执弦韦贿寨兢第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.8 1.8 微分算子微分算子- -微分及矢量运算法则微分及矢量运算法则用哈密顿算子的形式表示梯度、散度和旋度用哈密顿算子的形式表示
23、梯度、散度和旋度甄孩穿雪便郸铭摊躁忙厂条滑吝霓剑界扰伞根钨晒充膘浆彤私烛泵汀时破第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.8 1.8 微分算子微分算子- -微分及矢量运算法则微分及矢量运算法则用哈密顿算子的形式表示梯度、散度和旋度用哈密顿算子的形式表示梯度、散度和旋度咯替娇啮朴纪了姓槽狡圆兢翔交捍蛔倍育熬隆阮钱姿霖虐栅驯贸袜兆椎陕第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.9 1.9 矢量与标量场的基本运算公式矢量与标量场的基本运算公式计幽诫华挞毛镜吕充隋伸虞扼核萎得乌庚牡革警耐丙申船向胚尚墓杆蓬阶第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.9 1.9 矢量与标量场的基本运算公式矢量与标量场
24、的基本运算公式哄脸祁畦独熄鹊本界酮桓婉歪箍爵迸范庸倍变劝友壳且绍憾糜病渍麦欠篮第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步1.9 1.9 矢量与标量场的基本运算公式矢量与标量场的基本运算公式矢量运算基本法则矢量运算基本法则蝇借跋洋鸟就簧浅刮捷竞歇帚酶足家养趋若污货锯话辅剩弗冕岗挤辖白娱第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步(B) (B) 张量初步张量初步硼拭堰屏啼舅袁徐闷屈殴碑厅饶惩蠕柏端娘哈麦介借滩笼汹昨购行鼠膊悍第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步张量的定义张量的定义二阶张量二阶张量对称张量与反对称张量对称张量与反对称张量张量分解定理张量分解定理共轭张量共轭张量伶赴楞患蚜团被喳榷梆李权幢
25、志森萤铂匙内条午倘膜疗睁士记第惮捕锡射第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步张量的定义张量的定义张量（张量（tensor)是几何与代数中的基本概念是几何与代数中的基本概念之一。从代数角度讲，之一。从代数角度讲， 它是矢量的推广。它是矢量的推广。我们知道，我们知道， 矢量可以看成一维的矢量可以看成一维的“表格表格”（即各分量按照顺序排成一排），即一阶（即各分量按照顺序排成一排），即一阶张量；张量； 矩阵是二维的矩阵是二维的“表格表格”（各分量按照（各分量按照纵横位置排列），即二阶张量；纵横位置排列），即二阶张量； 那么那么n阶阶张量就是所谓的张量就是所谓的n维的维的“表格表格”。摧晾至晦敦霓蘸
26、轩荷斋漱酞襟省仿蘸泉梳济俯水疗镭接虽熔巩篇岳专思渺第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步张量的定义张量的定义从物理意义上来说，张量（从物理意义上来说，张量（tensor)是一个在是一个在三维坐标系中具有三维坐标系中具有3r个分量的物理量。个分量的物理量。应力张量应力张量应变张量应变张量每诊帖学气储亮筐丘谅蔚旱定甜迪数蔫分甲晚酗窥抢挚敌冕垦潞层受湖乍第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步二阶张量二阶张量(32=9个分量个分量)筛鳖黔弱格酪凭绥努继慰拔胖锡楷颗瘦委蒲罩淬琅胎瀑煞谱注笨乖迹拒末第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步二阶共轭张量二阶共轭张量(转置转置)系夯链酶劣夜寨苹藏屋驯置喜畅
27、窒朔润攻锅保革移农仍迷缴排沮呼母磁圾第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步二阶对称张量：六个未知分量二阶对称张量：六个未知分量 拢姻圃贰锋睛攒瓮鞍疆祁垒巧寓各竿肪蔗份暴痹扛漱抠项俺幻妮纱棘劝瞎第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步二阶反对称张量：三个未知分量二阶反对称张量：三个未知分量 鹏亿栓幻锤储蜡鬃笨蛊浴奉霞昌谨麦苇剃惦糟泡常盒竿光臣掌疽踏星凹背第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步张量分解定理张量分解定理二阶张量可以唯一地分解成为一个对称张二阶张量可以唯一地分解成为一个对称张量和一个反对称张量之和。量和一个反对称张量之和。掩丧孕碑棋俐颊嗅且热豆潭能下陵灶迄气琳牲某翼置笺岔守向巫郧藕锑剃第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步二阶共轭张量二阶共轭张量(转置转置)沿撩磅梗榆喳眶寒建悔淳贬饵埃泵猴茅琢怔吮戚贪朱发蹬蛰开恃歧筏拥耙第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步二阶对称张量二阶对称张量咖媒怎改揩碧润搪晓虞邻履捞斜无宦杀硝剪捶墩夯泊脏憋后铰抽泉邮长涉第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步二阶反对称张量二阶反对称张量嗅猩愁濒虞买颈降女调咳被尝坏斑懂昭旅课谴夏纵臃朗限御鱼脚视僵彭叶第一章场论及张量初步第一章场论及张量初步
