CG曲线和曲面实用教案

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1、2024/7/2618.1曲线曲面曲线曲面(qmin)基础基础8.1.1曲线曲面曲线曲面(qmin)数学描述的发展数学描述的发展弗格森双三次曲面弗格森双三次曲面(qmin)片片孔斯双三次曲面孔斯双三次曲面(qmin)片片样条方法样条方法Bezier方法方法B样条方法样条方法有理有理Bezier非均匀有理非均匀有理B样条方法样条方法第第2页页/共共100页页第1页/共100页第一页，共101页。2024/7/2628.1.2曲线曲线(qxin)曲面的表示要求曲面的表示要求1.唯一性2.几何不变性3.易于定界4.统一性5.易于实现(shxin)光滑连接6.几何直观第第3页页/共共100页页第2页/

2、共100页第二页，共101页。2024/7/2638.1.3曲线曲线(qxin)曲面的表示曲面的表示参数表示方法的优点：1点动成线2选取(xunq)具有几何不变性的参数曲线曲面表示形式。3斜率第第4页页/共共100页页第3页/共100页第三页，共101页。2024/7/2644t0,1，使其相应的几何(jh)分量是有界的5可对参数方程直接进行仿射和投影变换6参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来第第5页页/共共100页页第4页/共100页第四页，共101页。2024/7/2658.1.4插值和逼近插值和逼近(bjn)样条样条采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状称为样条。样条曲线是指由

3、多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续(linx)条件。样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述。第第6页页/共共100页页第5页/共100页第五页，共101页。2024/7/266曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过(tnggu)给定的型值点列。第第7页页/共共100页页第6页/共100页第六页，共101页。2024/7/267曲线曲面(qmin)的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面(qmin)的形状时，求出的形状不必通过控制点列第第8页页/共共100页页第7页/共100页第七页，共101页。2024/7/268求给定型值点之间曲线上的点称为曲线

4、的插值。将连接有一定次序控制(kngzh)点的直线序列称为控制(kngzh)多边形或特征多边形第第9页页/共共100页页第8页/共100页第八页，共101页。2024/7/2698.1.5连续性条件连续性条件(tiojin)假定(jidng)参数曲线段pi以参数形式进行描述：参数(cnsh)连续性几何连续性第第10页页/共共100页页第9页/共100页第九页，共101页。2024/7/26101.参数(cnsh)连续性0阶参数(cnsh)连续性，记作C0连续性，是指曲线的几何位置连接，即第第11页页/共共100页页第10页/共100页第十页，共101页。2024/7/26111阶参数连续性记作

5、C1连续性，指代表两个相邻(xinln)曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数：第第12页页/共共100页页第11页/共100页第十一页，共101页。2024/7/26122阶参数连续性，记作C2连续性，指两个相邻(xinln)曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。第第13页页/共共100页页第12页/共100页第十二页，共101页。2024/7/26132.几何(jh)连续性0阶几何(jh)连续性，记作G0连续性，与0阶参数连续性的定义相同，满足：1阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在相邻段的交点处成比例(bl)2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶

6、导数均成比例(bl)。第第14页页/共共100页页第13页/共100页第十三页，共101页。2024/7/26148.1.6样条描述样条描述(miosh)n次样条参数(cnsh)多项式曲线的矩阵：第第15页页/共共100页页第14页/共100页第十四页，共101页。2024/7/2615基矩阵基矩阵(j zhn)几何几何(j h)约束条件约束条件基基函函数数(hnsh)(blenging function)，或或称称混混合合函函数数(hnsh)。第第16页页/共共100页页第15页/共100页第十五页，共101页。2024/7/26168.2三次三次(snc)样条样条给定n+1个点，可得到通过

7、(tnggu)每个点的分段三次多项式曲线：第第17页页/共共100页页第16页/共100页第十六页，共101页。2024/7/26178.2.1自然自然(zrn)三次样条三次样条定义：给定(idn)n+1个型值点，现通过这些点列构造一条自然三次参数样条曲线，要求在所有曲线段的公共连接处均具有位置、一阶和二阶导数的连续性，即自然三次样条具有C2连续性。还需要两个附加条件才能解出方程组第第18页页/共共100页页第17页/共100页第十七页，共101页。2024/7/2618特点：1.只适用于型值点分布比较均匀(jnyn)的场合2.不能“局部控制”第第19页页/共共100页页第18页/共100页第

8、十八页，共101页。2024/7/26198.2.2三次三次(snc)Hermite样条样条定义(dngy)：假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为p(t),t0,1，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条曲线：第第20页页/共共100页页第19页/共100页第十九页，共101页。2024/7/2620推导(tudo)：第第21页页/共共100页页第20页/共100页第二十页，共101页。2024/7/2621Mh是Hermite矩阵(jzhn)。Gh是Hermite几何矢量。第第22页页/共共100页页第21页/共100页第二十一页，共1

9、01页。2024/7/2622三次Hermite样条曲线(qxin)的方程为：第第23页页/共共100页页第22页/共100页第二十二页，共101页。2024/7/2623通常(tngchng)将TMk称为Hermite基函数（或称混合函数，调和函数）：第第24页页/共共100页页第23页/共100页第二十三页，共101页。2024/7/2624第第25页页/共共100页页第24页/共100页第二十四页，共101页。2024/7/2625特点(tdin)分析：1.可以局部调整，因为(ynwi)每个曲线段仅依赖于端点约束。2.基于Hermite样条的变化形式：Cardinal样条和Kochane

10、k-Bartels样条3.Hermite曲线具有几何不变性第第26页页/共共100页页第25页/共100页第二十五页，共101页。2024/7/26268.3Bezier曲线曲线(qxin)曲面曲面8.3.1Bezier曲线曲线(qxin)的定义的定义第第27页页/共共100页页第26页/共100页第二十六页，共101页。2024/7/2627定义(dngy)：Bernstein基函数具有如下(rxi)形式：注意(zhy)：当k=0，t=0时，tk=1，k!=1。第第28页页/共共100页页第27页/共100页第二十七页，共101页。2024/7/26281一次Bezier曲线(qxin)(n

11、=1)第第29页页/共共100页页第28页/共100页第二十八页，共101页。2024/7/26292二次Bezier曲线(qxin)(n=2)第第30页页/共共100页页第29页/共100页第二十九页，共101页。2024/7/26303三次(snc)Bezier曲线(n=3)第第31页页/共共100页页第30页/共100页第三十页，共101页。2024/7/2631第第32页页/共共100页页第31页/共100页第三十一页，共101页。2024/7/2632第第33页页/共共100页页第32页/共100页第三十二页，共101页。2024/7/26338.3.2Bezier曲线曲线(qxin

12、)的性质的性质1端点(dundin)第第34页页/共共100页页第33页/共100页第三十三页，共101页。2024/7/26342一阶导数(dosh)第第35页页/共共100页页第34页/共100页第三十四页，共101页。2024/7/2635第第36页页/共共100页页第35页/共100页第三十五页，共101页。2024/7/2636三次Bezier曲线段在起始点和终止(zhngzh)点处的一阶导数为：第第37页页/共共100页页第36页/共100页第三十六页，共101页。2024/7/26373二阶导数(dosh)三次Bezier曲线段在起始(qsh)点和终止点处的二阶导数为：第第38页

13、页/共共100页页第37页/共100页第三十七页，共101页。2024/7/26384对称性5凸包性6几何不变性7变差减少性8控制顶点变化对曲线形状(xngzhun)的影响第第39页页/共共100页页第38页/共100页第三十八页，共101页。2024/7/26398.3.3Bezier曲线曲线(qxin)的生成的生成1绘图绘图(hut)一段一段Bezier曲线曲线第第40页页/共共100页页第39页/共100页第三十九页，共101页。2024/7/26402Bezier曲线曲线(qxin)的拼接的拼接问题的提出：如何保证连接处具有(jyu)G1和G2连续性。在两段三次Bezier曲线间得到G

14、1连续性为实现(shxin)G1连续，则有：亦即：第第41页页/共共100页页第40页/共100页第四十页，共101页。2024/7/2641在两段三次(snc)Bezier曲线间得到G2连续性：第第42页页/共共100页页第41页/共100页第四十一页，共101页。2024/7/26428.3.4Bezier曲面曲面(qmin)1Bezier曲面曲面(qmin)定义：定义：BENi,m(u)与BENj,n(v)是Bernstein基函数(hnsh)：第第43页页/共共100页页第42页/共100页第四十二页，共101页。2024/7/2643第第44页页/共共100页页第43页/共100页第

15、四十三页，共101页。2024/7/26441双线性Bezier曲面(qmin)(m=n=1)第第45页页/共共100页页第44页/共100页第四十四页，共101页。2024/7/26452双二次Bezier曲面(qmin)(m=n=2)第第46页页/共共100页页第45页/共100页第四十五页，共101页。2024/7/26463双三次(snc)Bezier曲面(m=n=3)第第47页页/共共100页页第46页/共100页第四十六页，共101页。2024/7/2647第第48页页/共共100页页第47页/共100页第四十七页，共101页。2024/7/2648其 中(qzhng)第第49页页

16、/共共100页页第48页/共100页第四十八页，共101页。2024/7/2649性质：1控制(kngzh)网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点，2控制网格最外一圈顶点(dngdin)定义Bezier曲面的四条边界，这四条边界均为Bezier曲线。第第50页页/共共100页页第49页/共100页第四十九页，共101页。2024/7/26503几何不变性4移动一个顶点Pi,j，将对曲面(qmin)上参数为u=i/m,v=j/n的那点p(i/m,j/n)处发生最大的影响5对称性6凸包性第第51页页/共共100页页第50页/共100页第五十页，共101页。2024/7/26512Bezie

17、r曲面曲面(qmin)的拼接的拼接0阶连续性只要求相连接的曲面片具有公共的边界曲线。1阶连续性则要求在边界曲线上的任何一点，两个曲面片跨越边界的切线矢量应该共线，而且两切线矢量的长度(chngd)之比为常数。第第52页页/共共100页页第51页/共100页第五十一页，共101页。2024/7/2652第第53页页/共共100页页第52页/共100页第五十二页，共101页。2024/7/2653实现(shxin)G1连续性的条件为：(1)p1(1,v)=p2(0,v)， 即 有 P3,i=Q0,i，i=0,1,2,3(2)P3,i-P2,i=(Q1,i-Q0,i)，i=0,1,2,3已知两张双三

18、次(snc)Bezier曲面片：第第54页页/共共100页页第53页/共100页第五十三页，共101页。2024/7/26548.4B样条曲线样条曲线(qxin)曲面曲面Bezier曲线的不足：一是控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的阶次二是不能作局部(jb)修改第第55页页/共共100页页第54页/共100页第五十四页，共101页。2024/7/26558.4.1B样条曲线样条曲线(qxin)的定义的定义定义(dngy)：deBoor点、B样条控制(kngzh)多边形、B样条基函数第第56页页/共共100页页第55页/共100页第五十五页，共101页。2024/7/2656参数说明m

19、是曲线的阶数，(m-1)为B样条曲线的次数，曲线在连接点处具有(jyu)(m-2)阶连续。第第57页页/共共100页页第56页/共100页第五十六页，共101页。2024/7/2657节点矢量：节点矢量分为三种类型：均匀的，开放(kifng)均匀的和非均匀的。当节点沿参数轴均匀等距分布，即tk+1-tk=常数时，表示均匀B样条函数。当节点沿参数轴的分布不等距，即(tk+1-tk)常数时，表示非均匀B样条函数。第第58页页/共共100页页第57页/共100页第五十七页，共101页。2024/7/26581均匀(jnyn)周期性B样条曲线T=(-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5

20、,2)T=(0,1,2,3,4,5,6,7)均匀(jnyn)B样条的基函数呈周期性：第第59页页/共共100页页第58页/共100页第五十八页，共101页。2024/7/2659均匀二次（三阶(snji)）B样条曲线取n=3，m=3，则n+m=6，不妨(bfng)设节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6)：第第60页页/共共100页页第59页/共100页第五十九页，共101页。2024/7/2660第第61页页/共共100页页第60页/共100页第六十页，共101页。2024/7/2661第第62页页/共共100页页第61页/共100页第六十一页，共101页。2024/7/2662第第6

21、3页页/共共100页页第62页/共100页第六十二页，共101页。2024/7/2663第第64页页/共共100页页第63页/共100页第六十三页，共101页。2024/7/2664曲线(qxin)的起点和终点值：均匀二次B样条曲线起点(qdin)和终点处的导数：第第65页页/共共100页页第64页/共100页第六十四页，共101页。2024/7/2665结论(jiln)：对于由任意数目的控制点构造的二次周期性B样条曲线来说，曲线的起始点位于头两个控制点之间，终止(zhngzh)点位于最后两个控制点之间。对于高次多项式，起点和终点是m-1个控制点的加权平均值点。若某一控制点出现多次，样条曲线会

22、更加接近该点。第第66页页/共共100页页第65页/共100页第六十五页，共101页。2024/7/2666三次(snc)（四阶）周期性B样条取 m=4， n=3， 节 点 (jidin)矢 量 为 ：T=(0,1,2,3,4,5,6,7)：第第67页页/共共100页页第66页/共100页第六十六页，共101页。2024/7/2667第第68页页/共共100页页第67页/共100页第六十七页，共101页。第第69页页/共共100页页第68页/共100页第六十八页，共101页。2024/7/2669三次(snc)周期性B样条的边界条件为：第第70页页/共共100页页第69页/共100页第六十九页

23、，共101页。2024/7/26702开放(kifng)均匀B样条曲线节点(jidin)矢量可以这样定义：令L=n-m，从0开始，按titi+1排列。第第71页页/共共100页页第70页/共100页第七十页，共101页。2024/7/2671开放均匀的二次（三阶(snji)）B样条曲线假设m=3，n=4，节点矢量为：T=(t0,t1,tn+m)=(t0 ,t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7) =(0,0,0,1,2,3,3,3)。第第72页页/共共100页页第71页/共100页第七十一页，共101页。2024/7/2672第第73页页/共共100页页第72页/共100页第七十

24、二页，共101页。2024/7/2673第第74页页/共共100页页第73页/共100页第七十三页，共101页。2024/7/26743非均匀(jnyn)B样条曲线第第75页页/共共100页页第74页/共100页第七十四页，共101页。2024/7/26754反求B样条曲线控制点及其端点(dundin)性质问题：所谓反求B样条曲线(qxin)控制点是指已知一组空间型值点Qi(i=1,2,n)，要找一条m次B样条曲线(qxin)过Qi点，也即找一组与点列Qi对应的B样条控制顶点Pj(j=0,1,n+1)。第第76页页/共共100页页第75页/共100页第七十五页，共101页。2024/7/267

25、6用分段三次B样条曲线(qxin)pi来拟合，其上型值点和控制点的位置矢量之间有关系：假定需求(xqi)首末两点过Q1和Qn的非周期三次B样条 曲 线 ， 则 有 P1=Q1,Pn=Qn， 于 是 求 解 控 制 点 Pj(i=2,3,.,n-1)的线性方程组为：第第77页页/共共100页页第76页/共100页第七十六页，共101页。2024/7/2677补充(bchng)两个边界条件为：P0=P-1=Q1Pn+1=Pn+2=Qn第第78页页/共共100页页第77页/共100页第七十七页，共101页。2024/7/26788.4.2B样条曲线样条曲线(qxin)的性质的性质1局部支柱性B样条的

26、基函数是一个分段函数，其重要特征是在参数变化(binhu)范围内，每个基函数在tk到tk+m的子区间内函数值不为零，在其余区间内均为零，通常也将该特征称为局部支柱性。第第79页页/共共100页页第78页/共100页第七十八页，共101页。2024/7/2679第第80页页/共共100页页第79页/共100页第七十九页，共101页。2024/7/26802B样条的凸组合(zh)性质B样条的凸组合性和B样条基函数的数值均大于或等于0保证(bozhng)了B样条曲线的凸包性，即B样条曲线必处在控制多边形所形成的凸包之内。第第81页页/共共100页页第80页/共100页第八十页，共101页。第第82页

27、页/共共100页页第81页/共100页第八十一页，共101页。2024/7/26823连续性若一节点矢量中节点均不相同，则m阶（m-1次）B样条曲线在节点处为m-2阶连续。B样条曲线基函数的次数与控制顶点个数无关(wgun)。重节点问题第第83页页/共共100页页第82页/共100页第八十二页，共101页。2024/7/26834导数(dosh)5几何(jh)不变性6变差减少性第第84页页/共共100页页第83页/共100页第八十三页，共101页。2024/7/26848.4.3B样条曲面样条曲面(qmin)定义(dngy)：控制顶点、控制网格（特征网格）、B样条基函数。B样条曲面具有与B样条

28、曲线相同(xintn)的局部支柱性、凸包性、连续性、几何变换不变性等性质。第第85页页/共共100页页第84页/共100页第八十四页，共101页。2024/7/2685双三次(snc)B样条曲面第第86页页/共共100页页第85页/共100页第八十五页，共101页。2024/7/26868.5有理样条曲线有理样条曲线(qxin)曲面曲面NURBS方 法 ： 非 均 匀 有 理 B样 条 （ NonuniformRationalB-Spline）方法8.5.1NURBS曲线(qxin)曲面的定义定义：第第87页页/共共100页页第86页/共100页第八十六页，共101页。2024/7/2687例

29、：假定用定义在三个控制顶点和开放均匀的节点矢量(shling)上的二次（三阶）B样条函数来拟合，于是，T=(0,0,0,1,1,1)，取权函数为：第第88页页/共共100页页第87页/共100页第八十七页，共101页。2024/7/2688则有理(yul)B样条的表达式为：第第89页页/共共100页页第88页/共100页第八十八页，共101页。2024/7/2689然后取不同(btn)的r值得到各种二次曲线：第第90页页/共共100页页第89页/共100页第八十九页，共101页。2024/7/2690第第91页页/共共100页页第90页/共100页第九十页，共101页。2024/7/2691N

30、URBS曲面可由下面的有理(yul)参数多项式函数表示：第第92页页/共共100页页第91页/共100页第九十一页，共101页。2024/7/26928.5.2有理有理(yul)基函数的性质基函数的性质NURBS曲线(qxin)也可用有理基函数的形式表示：第第93页页/共共100页页第92页/共100页第九十二页，共101页。2024/7/26931普遍性2局部性3凸包性4可微性5权因子8.5.3NURBS曲线曲面(qmin)的特点第第94页页/共共100页页第93页/共100页第九十三页，共101页。2024/7/26948.6曲线曲线(qxin)曲面的转换和计算曲面的转换和计算8.6.1样

31、条曲线曲面样条曲线曲面(qmin)的转换的转换第第95页页/共共100页页第94页/共100页第九十四页，共101页。2024/7/2695例：第第96页页/共共100页页第95页/共100页第九十五页，共101页。2024/7/2696三次(snc)Hermite样条矩阵：三次(snc)Bezier样条矩阵：三次均匀(jnyn)B样条矩阵：第第97页页/共共100页页第96页/共100页第九十六页，共101页。2024/7/26978.6.2样条曲线曲面样条曲线曲面(qmin)的离散生成的离散生成1Horner规则2向前差分(chfn)计算3细分第第98页页/共共100页页第97页/共100

32、页第九十七页，共101页。2024/7/2698习题习题(xt)第第99页页/共共100页页第98页/共100页第九十八页，共101页。2024/7/2699第第100页页/共共100页页第99页/共100页第九十九页，共101页。2024/7/26华中理工大学计算机学院(xuyun)陆枫99-7100感谢您的观赏(gunshng)！第100页/共100页第一百页，共101页。内容(nirng)总结2021/11/9。第2页/共100页。第3页/共100页。第4页/共100页。第4页/共100页。第6页/共100页。将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制多边形或特征(tzhng)多边形。假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：。基函数(blenging function)，或称混合函数。通常将TMk称为Hermite基函数（或称混合函数，调和函数）：。2二次Bezier曲线(n=2)。3三次Bezier曲线(n=3)第一百零一页，共101页。