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1、微分中值定理微分中值定理8004380043 6.1 微分中值定理微分中值定理因为导数是函数随自变量变化的瞬时变因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 所以可借助导数来研究函数所以可借助导数来研究函数. 但每一点但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态要用导数来研究函数的全部性态, 还需架起新还需架起新的的“桥梁桥梁”.化率化率,2 6.1 微分中值定理微分中值定理 6.1 微分中值定理微分中值定理 6.1 微分中值定理微分中值定理 6.1 微分中值定理微分中值定理 6.1 微分中值定理微分中值定理 6.1 微分中值定理微分
2、中值定理 6.1 微分中值定理微分中值定理 定理条件不全具备定理条件不全具备, 注注结论不一定成立结论不一定成立. . 罗尔定理罗尔定理 若函数若函数 f (x)满足满足:(3)使得使得条件条件(1)不满足不满足. . 条件条件(2)不满足不满足. . 条件条件(3)不满足不满足. . 定理条件只是充分的定理条件只是充分的. .(1) 在闭区间在闭区间a, b上连续上连续; (2) 在开区间在开区间(a, b)内可导内可导;9 6.1 微分中值定理微分中值定理定理条件只是充分的定理条件只是充分的. .本定理可推广为本定理可推广为: :设设y = f (x)在在(a, b)内可导内可导, 且且则
3、在则在( a , b )内至少存在一点内至少存在一点使使提示提示证证 F(x)在在a, b上上满足罗尔定理满足罗尔定理 . 罗尔定理罗尔定理 若函数若函数 f (x)满足满足:(1)(2)(3)使得使得注注10 6.1 微分中值定理微分中值定理例例证证 (1)(2)定理的假设条件满足定理的假设条件满足结论正确结论正确验证罗尔定理的正确性验证罗尔定理的正确性.罗尔定理肯定了罗尔定理肯定了 的存在性的存在性, 一般没必要知道一般没必要知道究竟等于什么数究竟等于什么数, 只要知道只要知道 存在即可存在即可.11 6.1 微分中值定理微分中值定理例例证证 零点定理零点定理即为方程的小于即为方程的小于1
4、的正实根的正实根.(1) 存在性存在性的正实根的正实根.12 6.1 微分中值定理微分中值定理(2) 唯一性唯一性因为因为f (x) 在在x0, x1之间之间满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件.矛盾矛盾, 故假设不真故假设不真! !所以为唯一实根所以为唯一实根.使得使得13 6.1 微分中值定理微分中值定理例例试证方程试证方程分析分析注意到注意到:14 6.1 微分中值定理微分中值定理证证 设设且且 罗尔定理罗尔定理即即试证方程试证方程15 6.1 微分中值定理微分中值定理注注拉格朗日拉格朗日 Lagrange (法法) 1736-1813 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理使得使得二、拉格朗
5、日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理若函数若函数 f (x)满足满足:(1) 在闭区间在闭区间a, b上连续上连续;(2) 在开区间在开区间(a, b)内可导内可导,16 6.1 微分中值定理微分中值定理几何解释几何解释:分析分析定理的结论就转化为函数定理的结论就转化为函数化为罗尔定理化为罗尔定理.在该点处的切线在该点处的切线平行于弦平行于弦AB.利用利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件找出一个满足罗尔定理条件的函数的函数. .在曲线弧在曲线弧AB上至少上至少有一点有一点C,17 6.1 微分中值定理微分中值定理证证 作作辅助函数辅助函数由此得由此得拉格朗日中值公式拉格朗
6、日中值公式且且易知易知 g(x)在闭区间在闭区间a, b上连续上连续,微分中值定理微分中值定理开区间开区间(a, b)内可导内可导,18 6.1 微分中值定理微分中值定理它表明了函数在两点处的函数值它表明了函数在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的证明的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有在微分学中占有极重要的地位极重要的地位.与导数间的关系与导数间的关系.今后要多次用到它今后要多次用到它. 尤其可利用它研究函数尤其可利用它研究函数19 6.1 微分中值定理微分中值定理证证如果如果f (x)在某区间上可导在某区间上可导, 常就想到微分中值定理常就想到微分中值定理.记记利用微分中
7、值定理利用微分中值定理, 得得在该区间上任意两点的函数值有何关系在该区间上任意两点的函数值有何关系, 通通要分析函数要分析函数例例 证明不等式证明不等式20 6.1 微分中值定理微分中值定理Lagrange公式公式可以写成下面的各种形式可以写成下面的各种形式: 它表达了函数增量和某点的它表达了函数增量和某点的注注注注但是增量、导但是增量、导这是十分方便的这是十分方便的.由由(3)式看出式看出,导数之间的直接关系导数之间的直接关系.数是个等式关系数是个等式关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.有限增量定理有限增量定理.21
8、 6.1 微分中值定理微分中值定理定理定理6.1证证由条件由条件,即在区间即在区间I中任意两点的中任意两点的函数值都相等函数值都相等, 所以所以,拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理使得使得如果函数如果函数f (x)在区间在区间 I 上的导数恒为零上的导数恒为零,那么那么 f (x)在区间在区间 I 上是一个常数上是一个常数.在区间在区间 I 上任取两点上任取两点x1, x2若函数若函数 f (x)满足满足:(1) 在闭区间在闭区间a, b上连续上连续; (2) 在开区间在开区间(a, b)内可导内可导,由由拉氏定理拉氏定理, 有有22 6.1 微分中值定理微分中值定理例例证证由由定理定理6.1自
9、证自证说明说明欲证欲证只需证在只需证在 I上上且且使使因为因为所以所以又因为又因为所以所以23 6.1 微分中值定理微分中值定理例例证证由上式得由上式得设设由由 关键关键 f (x)在在0, x上上满足拉氏定理的条件满足拉氏定理的条件, 所以所以 因为因为 所以所以24 6.1 微分中值定理微分中值定理柯西柯西 Cauchy (法法)1789-1859柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得使得三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理广义微分中值定理广义微分中值定理 若函数若函数 f (x)及及F(x)满足满足:在闭区间在闭区间a, b上连续上连续;在开区间在开区间(a, b)内可导内
10、可导,25 6.1 微分中值定理微分中值定理这两个这两个错错! !柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗?不一定相同不一定相同柯西中值定理柯西中值定理使得使得(1) 在闭区间在闭区间a, b上连续上连续;(2) 在开区间在开区间(a, b)内可导内可导,若函数若函数f (x)及及F(x)满足满足:因为因为所以所以26 6.1 微分中值定理微分中值定理 前面对拉格朗日中值定理的证明前面对拉格朗日中值定理的证明, 构造了构造了 现在对现在对两个两个给定的函数给定的函数 f (x)、F(x), 构构造造即可证明柯西定理即可证明柯西定理.辅助函数辅助函数辅助函数辅助函数 分析分析 上式写成上式写
11、成 用用类类比比法法27 6.1 微分中值定理微分中值定理柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义注意弦的斜率弦的斜率柯西中值定理柯西中值定理使得使得切线斜率切线斜率(1) 在闭区间在闭区间a, b上连续上连续;(2) 在开区间在开区间(a, b)内可导内可导,若函数若函数f (x)及及F(x)满足满足:28 6.1 微分中值定理微分中值定理例例证证分析分析结论可变形为结论可变形为即即f (x), F(x)在在0,1上上满足柯西中值定理条件满足柯西中值定理条件, 设函数设函数f (x)在在0,1上连续上连续, 在在(0,1)内可导内可导,证明证明: 29 6.1 微分中值定理微分中值定理罗尔罗尔定
12、理定理拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理柯西柯西中值定理中值定理 罗尔罗尔(Rolle)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中值中值定理、柯西定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系中值定理之间的关系:推广推广推广推广 这三个定理的条件这三个定理的条件都是充分条件都是充分条件,换句话说换句话说, 满足条件满足条件,不满足条件不满足条件, 定理可能成立定理可能成立, 不是必要条件不是必要条件.而而成立成立;不成立不成立.定理定理也可能也可能30 6.1 微分中值定理微分中值定理应用三个中值定理常解决下列问题应用三个中值定理常解决下列问题(1) 验证定理的正确性验证定理的正确性;(2
13、) 证明方程根的存在性证明方程根的存在性;(3) 引入辅助函数证明等式引入辅助函数证明等式;(4) 证明不等式证明不等式;(5) 综合运用中值定理综合运用中值定理(几次运用几次运用). 关键关键 逆向思维逆向思维,找辅找辅助函数助函数31 6.1 微分中值定理微分中值定理例例分析分析 将结论交叉相乘得将结论交叉相乘得辅助函数辅助函数F(x)试证明试证明:32 6.1 微分中值定理微分中值定理证证 设辅助函数设辅助函数因此因此F(x)满足满足Rolle定理的条件定理的条件.33 6.1 微分中值定理微分中值定理即即得得证毕证毕.34 6.1 微分中值定理微分中值定理 分析分析即证即证要证要证证明
14、证明:对任意的实数对任意的实数k,设设f (x)在在a, b上连续上连续, 在在(a, b)内可导内可导, 且且35 6.1 微分中值定理微分中值定理证证即即证明证明:对任意的实数对任意的实数k,设设f (x)在在a, b上连续上连续, 在在(a, b)内可导内可导, 且且由由Rolle定理定理36 6.1 微分中值定理微分中值定理考研数学考研数学(三三), 8分分试证必存在试证必存在设函数设函数 f (x)在在0, 3上连续上连续,在在(0, 3)内可导内可导,证证因为因为 f (x)在在0, 3上连续上连续,且在且在0, 2上必有最大值上必有最大值M和最小值和最小值m,于是于是故故由介值定
15、理知由介值定理知,至少存在一点至少存在一点使使所以所以f (x)在在0, 2上连续上连续,因为因为且且 f (x)在在c, 3上连续上连续,在在(c, 3)内可导内可导, 所以由所以由Rolle定理知定理知, 必存在必存在37 6.1 微分中值定理微分中值定理考研数学考研数学(一一,二二)11分分试证试证: 存在存在设函数设函数 f (x), g(x)在在a, b上连续上连续, 在在(a, b)内内证证设设f (x), g(x)在在(a, b)内最大值内最大值M分别在分别在取得取得.由零点定理由零点定理, 至少介于至少介于使得使得具有二阶导数且存在相等的最大值具有二阶导数且存在相等的最大值,令
16、令则则2分分3分分6分分因此由罗尔定理因此由罗尔定理, 存在存在使得使得9分分再由罗尔定理再由罗尔定理, 存在存在使得使得11分分即即38 6.1 微分中值定理微分中值定理(1) 证明拉格朗日中值定理证明拉格朗日中值定理: 若函数若函数 f (x)在在考研数学考研数学(一、二、三一、二、三)11分分a, b上连续上连续, 在在(a, b)内可导内可导, 则存在则存在(2) 证明证明: 证证 (1) 取取由题意知由题意知F(x)在在a, b上连续上连续,在在(a, b)内可导内可导, 且且39 6.1 微分中值定理微分中值定理由由Rolle定理定理,即即40 6.1 微分中值定理微分中值定理考研
17、数学考研数学(一、二、三一、二、三)11分分(2) 证明证明: 证证 (2) 对于任意的对于任意的函数函数 f (x)在在0, t上上由右导数定义及拉格朗日中由右导数定义及拉格朗日中上连续上连续, 在在(0, t)内可导内可导, 值定理值定理所以所以41 6.1 微分中值定理微分中值定理四、小结四、小结 常利用逆向思维常利用逆向思维, 构造辅助函数运构造辅助函数运注意利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤注意利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤.三个微分中值定理成立的条件三个微分中值定理成立的条件;各微分中值定理的关系各微分中值定理的关系; 证明存在某点证明存在某点, 使得函数在该点的导数满使得函数在该点的导数满用罗尔定理用罗尔定理. 拉格朗日中值定理的各种形式拉格朗日中值定理的各种形式, 其关系其关系;足一个方程足一个方程.42 6.1 微分中值定理微分中值定理思考题思考题考研数学一考研数学一, 3分分43 6.1 微分中值定理微分中值定理作业作业习题习题6.1(2026.1(202页页) )44
