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1、第四节第四节 1 对随机向量来随机向量来说，除了研究每个分量的数学期望，除了研究每个分量的数学期望和方差以外，和方差以外，还希望知道分量之希望知道分量之间的相关程度，因此的相关程度，因此引引进协方差协方差和和相关系数相关系数这两个概念。两个概念。定义定义计算公式：计算公式： 一、协方差的概念及其性质一、协方差的概念及其性质其中其中2协方差的性质：协方差的性质：1. 1. 对称性：称性： 2. 2. 线性线性性：性： 3. 3. 若若X和和Y相互独立，相互独立，则 因为因为X和和Y相互独立相互独立注意注意：反之未必成立。：反之未必成立。34. 4. 类似地有类似地有推广：推广：因此，若因此，若X
2、1,X2, ,Xn两两独立两两独立,，则有，则有4 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间的相互间的关系，但它还受关系，但它还受X与与Y本身度量单位的影响本身度量单位的影响. 例如：例如：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为了消除量纲的影响，下面提出随机变量标准为了消除量纲的影响，下面提出随机变量标准化的概念化的概念 .可以可以验证， 标准化随机准化随机变量消除了量量消除了量纲的影响的影响。 二、相关系数的概念及其性质二、相关系数的概念及其性质5定义定义设设 D(X)0, D(Y)0, 计算公式：计算公式：6 设设( (X, ,Y ) )的联合分
3、布律为的联合分布律为 例例1 1解解先求出边缘分布，先求出边缘分布，78 设设( (X, ,Y ) )的联合密度函数为的联合密度函数为 例例2 2解解先求出边缘密度，先求出边缘密度，9类似地，类似地，1011注：实际上注：实际上, ,本题不必求边缘密度本题不必求边缘密度, ,可以直接用以下公式计算可以直接用以下公式计算E( (X) )、E( (Y ) )等等. .实际上实际上, ,第一种方法限定了求积分的次序第一种方法限定了求积分的次序, ,有时不方便有时不方便. .12性质性质1 1证证性质性质2证证相关系数的性质：相关系数的性质：13性质性质2证证14例例3 3解解15例例3 3解解161
4、7 相关系数是随机变量之间相关系数是随机变量之间线性关系线性关系强弱的一个强弱的一个度量度量(参见如下的示意图参见如下的示意图).| |的值越接近于的值越接近于1, Y与与X的线性相关程度越高的线性相关程度越高;| |的值越接近于的值越接近于0, Y与与X的线性相关程度越弱的线性相关程度越弱.三、随机变量的线性相关性三、随机变量的线性相关性18定义定义下列事下列事实彼此等价：彼此等价： 若若X与与Y 相互独立，相互独立，则X与与Y 不相关。不相关。 定理定理注意：注意：(2) (2) 在在正态分布正态分布的的场合合, ,独立性与不相关性是一致的。独立性与不相关性是一致的。 (1) (1) 逆命
5、逆命题不成立不成立, ,即即X与与Y 不相关不相关时, ,不一定独立不一定独立. . 19二维正态分布二维正态分布前面已证前面已证: : X, ,Y 相互独立相互独立可以计算得可以计算得 于是，对二维正态随机变量于是，对二维正态随机变量( (X, ,Y ) )来说来说, , X和和Y 不相关与不相关与X和和Y 相互独立是等价的相互独立是等价的. .20例例4 4 设设( X,Y )的分布律为的分布律为所以所以这表示这表示X, ,Y 不存在线性关系不存在线性关系. .但但, ,知知X, ,Y 不独立不独立. .事实上事实上, , X, ,Y 具有非线性关系具有非线性关系: :21证证即即A与与B
6、相互独立相互独立, , 例例5 522即即A与与B相互独立相互独立, , 故故X和和Y相互独立相互独立 23即即( (X, ,Y) )服从单位圆服从单位圆上的均匀上的均匀分布分布. .设二二维随机随机变量量( (X, ,Y) )的概率密度的概率密度为 试验证X和和Y是不相关的是不相关的, ,但但X和和Y不是相互独立的不是相互独立的. . 解解边缘密度密度为 例例6 624边缘密度密度为 同理同理, ,即即X和和Y不独立不独立. . ( (奇函数奇函数) ) 同理同理, ,25( (或利用或利用对称性称性) ) 所以所以即即X和和Y不相关不相关. .26练习：练习：P131 习题四习题四27补充
7、题：补充题：1.1.2.2.设设( (X, ,Y ) )的联合密度函数为的联合密度函数为 3.3.设设A,B是二随机事件是二随机事件,试证明试证明X和和Y 不相关的充分必要条件是不相关的充分必要条件是A与与B独立独立.并定并定义随机随机变量量X, ,Y如下：如下： 28证证补补1 129设设A,B是二随机事件是二随机事件,试证明试证明X和和Y 不相关的充分必要条件是不相关的充分必要条件是A与与B独立独立.记记则则XY的可能取值为的可能取值为- -1,1,并且并且并定并定义随机随机变量量X, ,Y如下：如下： 证证补补2 230所以所以因此因此即即X和和Y 不相关的充分必要条件是不相关的充分必要条件是A与与B独立独立.31设设( (X, ,Y ) )的联合密度函数为的联合密度函数为 解解先求出边缘密度，先求出边缘密度，补补3 332类似地，类似地，3334或解或解不求出边缘密度，不求出边缘密度，其余同解法一。其余同解法一。35
