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1、2.12.1曲线的参数方程曲线的参数方程引入1.曲线上点曲线上点M（x,y)直接满足方程直接满足方程f (x , y) =0时；方程时；方程f (x , y) =0就就是曲线的方程。是曲线的方程。2.2.当方程中当方程中x x与与y y之间的关系不易之间的关系不易发现时，可通过另一个变量寻找发现时，可通过另一个变量寻找他们的关系他们的关系; ;即要找一个即要找一个参数。参数。 一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻落于灾区指定的地面（不
2、计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机力），飞行员应如何确定投放时机呢？呢？探究活动：建立平面直角坐标系：建立平面直角坐标系：如图，设飞机在点如图，设飞机在点A将物资投出机舱在将物资投出机舱在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立平面直角坐标系，的平面上建立平面直角坐标系，其中其中x轴为地平面与这个平面的交线，轴为地平面与这个平面的交线，y轴经轴经过点过点A垂直于交线的直线垂直于交线的直线研究物资的位置：物资位置如物资位置如何刻画？何刻画？Ayx500V=100m/sO由物理知识：物资的运动是下由物理知识：物资的运动是下列两种运动的合成列两种运动的合成
3、1.沿沿Ox方向以方向以100m/s的速度作的速度作匀速匀速直线运动直线运动知识联系:x=100t2.沿沿Oy的反方向作的反方向作自由落体运动自由落体运动由上面分析可知：由上面分析可知：在此，在此，g是常数，当是常数，当 t 取某一个取某一个允许值时，由上面方程可确定物资允许值时，由上面方程可确定物资 的位置。的位置。什么叫允许值？什么叫允许值？由实际所决定的由实际所决定的 t的的取值范围取值范围一般地，在平面直角坐标系中，如一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标果曲线上任意一点的坐标x,y都是某都是某个变数个变数t的函数的函数参数方程的定义：并且对于并且对于t的每个允许值，由方
4、程组的每个允许值，由方程组(2)所所确定的点确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么都在这条曲线上，那么方程（方程（2）就叫）就叫这条曲线的参数方程这条曲线的参数方程x= f(t)y=g(t)（2）其中：其中： t 参变数（简称参变数（简称参数参数）关于参数几点说明：关于参数几点说明： 参数是联系变数参数是联系变数x,y桥梁桥梁,1.参数方程中参数可以是有物理意义参数方程中参数可以是有物理意义, 几何几何意义意义, 也可以没有明显意义。也可以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形曲线参数方程形式也不一样式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问
5、题中要确定参数的取值范围参数方程的定义：普通普通方程：方程：相相对对于于参参数数方方程程来来说说，前前面面学学过过的的直直接接给给出出曲曲线线上上点点的的坐坐标标关关系系的的方方程，叫曲线的程，叫曲线的普通方程普通方程.由上面参数方程回答：由上面参数方程回答：1、当、当 g 取取10m/s2,参数方程应为什么参数方程应为什么2、 此时，此时，t的允许取值范围是什么？的允许取值范围是什么？3、当投出物资离投出点、当投出物资离投出点A 700米时，米时，物资离地面的高度是多少？物资离地面的高度是多少？利用参数方程解决问题0，10255米米xy500o 一架救援飞机以一架救援飞机以100m/s的速度
6、作水的速度作水平直线飞行平直线飞行.在离灾区指定目标在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力时投放救援物资（不计空气阻力,重力重力加速加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到度约是多少？（精确到1m）变式变式:1、判断点、判断点M1(0，1)， M2(5，4)与与曲线曲线C的位置关系；的位置关系；例题讲解：2、已知点、已知点M3（6，a）在曲线）在曲线C上，上，求求a的值的值解解（1）把点）把点M1的坐标（的坐标（0，1）代代 入方程组，解得入方程组，解得t0，所以，所以M1在曲线在曲线C上。上。 把把点点M2的坐标（的坐标（1，3）代入）代
7、入方方 程组，方程组无解，所以程组，方程组无解，所以M2不不 在曲线在曲线C上。上。2、方程、方程 所表示的曲线上一点所表示的曲线上一点的坐标是（的坐标是（ ） 练习1A、（、（2，7）；）；B、 C、 D、（、（1，0） 1、曲线、曲线 与与x轴的交点坐轴的交点坐标是标是( )A、（、（1，4）；）；B、 C、 D、B 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 点点M(5,4)在该在该 曲线上曲线上. （1）求常数）求常数a;（2）求曲线）求曲线C的普通方程的普通方程.解解: (1)由题意可知由题意可知: 1+2t=5at2=4解得解得:a=1t=2 a=1(2)由已知及由已知及(1)可得
8、可得,曲线曲线C的方程为的方程为: x=1+2t y=t2由第一个方程得由第一个方程得: 代入第二个方程得代入第二个方程得: 练习练习2：思考题：思考题：动点动点M作等速直线运动作等速直线运动, 它在它在x轴和轴和y轴轴方向的速度分别为方向的速度分别为5和和12 , 运动开始时位于点运动开始时位于点P(1,2), 求点求点M的轨迹参数方程。的轨迹参数方程。解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得所以，点M的轨迹参数方程为参数方程求法参数方程求法: （1）建立直角坐标系）建立直角坐标系, 设曲线上任一点设曲线上任一点P坐标为坐标为 (x,y)（2）选取适当的参数）选取适当的参数（3）根
9、据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质, 物物理意义理意义, 建立点建立点P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程线的方程小结：小结： 一般地，在平面直角坐标系中，一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数 （2）并且对于并且对于t的每一个允许值，由方程组（的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，都在这条曲线上， 那么方程（那么方程（2）就叫做这条曲线的）就叫做这条曲线的参数方程参数方程
10、， 系变数系变数x,y的变数的变数t叫做参变数，简称参数。叫做参变数，简称参数。作业：教材作业：教材P26. 1 ,2 3 3、参数方程和普通方程、参数方程和普通方程 的互化的互化参数方程和普通方程的互化：参数方程和普通方程的互化：（1 1）普通方程化为参数方程需要引入参数）普通方程化为参数方程需要引入参数（t为为参数）参数）如：如：直直线线L 的普通方程是的普通方程是2x-y+2=0，设设x=t,(t为为参数参数, )，可以化为参数方程 （为参数）令x = tan, 可以化为参数方程 在普通方程在普通方程 中，中，（2 2）参数方程通过）参数方程通过代入消元代入消元或或加加减消元减消元消去参
11、数消去参数化为普通方程化为普通方程如：如：参数方程参数方程消去参数 可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.注意：注意： 在参数方程与普通方程的互化中，在参数方程与普通方程的互化中，必须使必须使x，y的取值范围保持一致的取值范围保持一致。否则，。否则，互化就是不等价的互化就是不等价的. . 参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4通过代入消元法消去参数t ,（x0）例例1 1、把下列参数方程化为普通方程，把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？并说明它们各表示什么曲线？例例2 2 思考：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？x,yx,y范范围围与
12、与y=xy=x2 2中中x,yx,y的范的范围围相同，相同，代入代入y=xy=x2 2后后满满足足该该方程，从而方程，从而D D是曲是曲线线y=xy=x2 2的一种参数方程的一种参数方程. .1 1、曲、曲线线y=xy=x2 2的一种参数方程是（的一种参数方程是（ ）. . 注意：注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的. 在在y=xy=x2 2中，中，xR, y0xR, y0，分析分析: :发生了变化，因而与发生了变化，因而与 y=xy=x2 2不等价；不等价；在在A A、B B、C C中，中，x,yx,y的范围都的范围都而在中，且以且以练
13、习练习: :D D2、求参数方程求参数方程表示表示 （ ）（A）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1， ）：）：（B）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（ 1， ）；）；（C）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1， ）；）；（D）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（1， ）B分析一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解解x2=1+sin=2y， 普通方程是x2=2y，为抛物线。 ，又02，0x，故应选（B）说明说明: 这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。练习、练习、将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（x2或或x- 2）步骤：步骤：（1）消参；）消参； （2）求定义域。）求定义域。普通方程普通方程参数方程参数方程引入参数引入参数消去参数消去参数小结小结
