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1、2第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形如的一阶微分方程叫做已分离变量方程已分离变量方程 .设 是方程的解 , 两边积分, 则有即(称为通积分通积分)形如的方程都叫做可分离变量方程可分离变量方程 . 可化为已分离变量形式求解.则有恒等式 或 3例例1. 求微分方程的通解.解解: 分离变量得两边积分得即令( C 为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.如此例, y = 0 也是原方程的解 , 但在变量分离时丢失了此解.4例例2. 解下述初值问题解解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1 ( C 为任意常数 )故所求特解为
2、5求方程 的通解 . 解法解法 1：分离变量或( C 0 )解法解法 2: 令 则故有积分( C 为任意常数 )即6例例4. 求下述微分方程的通解解解: 令 则故有即解得( C 为任意常数 )即7求解微分方程求解微分方程为所求解为所求解.8例例6. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子的含量 M 成正比 ,求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意 , 有(初始条件)对方程分离变量, 得即利用初始条件, 得故所求铀的变化规律为然后积分:已知 t = 0 时铀的含量为9例例7. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度所受空气阻力与速度成正比成正比 ,求降落
3、伞下落速度与时间的函数关系. 解解: 根据牛顿第二定律列方程初始条件为:对方程分离变量, 然后积分, 得得利用初始条件,得代入上式后化简, 得特解说明说明: 跳伞后阶段接近于等速运动.并设降落伞离开跳伞塔时 ( t = 0 ) 速度为 0 , 10(1) 找出事物的共性及可以贯穿于全过程的规律列方程常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程2) 根据物理规律列方程3) 根据微量分析平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件(3) 求微分方程的通解 , 并根据定解条件确定特解 . 2、 解微分方程应用题的方法和步骤解微分方程应用题的方法和步骤内容小结内容小结1、可分离变量方程的求解方法、可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分 ; 根据定解条件定常数 .11习题7-2 P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 612思考与练习思考与练习求下列方程的通解 :提示提示: (1) 分离变量(2) 方程变形为13练练 习习 题题1415练习题答案练习题答案
