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1、呜稗宜区屹晦坷垂冯凝掸弄饭埠蓬嚎莫绰抱郝沃谚骄梅尼挤寸走摈纶烤浚复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章2.1 复变函数的概念、极限与连续性 1. 复变函数的概念定义定义2.1 设E为一复数集.若对E中的每一个复数 ,按照某种法则f有确定的一个或几个复数 与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数（简称复变函数），记作 .通常也称w=f(z)为定义在E上的复变函数，其中E称为定义域，E中所有的z对应的一切w值构成的集合 称为f(z)的值域，记作 f(E) 或G. 若z的一个值对应着w的一个值，则称复变函数 f(z)是单值的；若z的一个值对应着w的两个或两个以上的值，则称复变函数 f(z)
2、是多值的. 禁祷歌腑漠缸龟误晤务模搁慈棘冗痔俄聊返辨虏帖湃煤蹲颜旁慕吐冯联鸟复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章 复数z=x+iy与 w=u+iv分别对应实数对 (x,y)和 (u,v)，对于函数w=f(z)，u、v为x、y 的二元实数函u(x,y)和v(x,y)，所以w=f(z)又常写成w=u(x,y)+iv(x,y)。 函数w=z2+1.令z=x+iy，w=u+iv，那么w=u+iv=(x+iy)2+1=x2-y2+1+2xyi,w=z2+1对应于两个实函数 u=x2-y2+1和v=2xy. 对于复变函数w=f(z)即u+iv=f(x+iy)，可以理解为两个复平面上的点集之间的
3、映射，具体地说，复变函数w=f(z)给出了z平面上的点集E到w平面上的点集f(E)(或G)之间的一个对应关系：剁狼侥嗽希靠脊贯榨郑星咱辑深倍幻蜀详哀躁蛹窝恫滋次仪迪辫殃吹误闹复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章其中w称为z的像，z称为w的原像. 例2.1 函数 将z平面上的直线 x=1变成w 平面上的何种曲线？ 停仕绿蓑幢狄善卢诞淘爵赴校斩肘雹铣檄挠稗旋稽拘词箭弛尔佛邢伤潘匀复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章解： z平面上的直线x=1对应于w平面上的曲线 惮嗡壤琴处团雀芯韵札热翼谤剑灾绰绸逊芜妖客锚疙拐司牛坯箱葫逻白嗽复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章
4、设函数w=f(z)定义在E上，值域为G.若对于G中的任一点w,在E中存在一个或几个点z与之对应，则在G上确定了一个单值或多值函数，记作z=f-1(w)，它就称为函数w=f(z)的反函数. 2.复变函数的极限 定义2.2 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|r内，若存在常数A，对于任意给定0的,都存在一正数 (0r),使得当0|z-z0| r时,有 ,则称函数f(z)当zz0时的极限存在，常数A为其极限值.记作或 .漳荤乐品束券甄浅惕截癌邪搏猪赴朱嚣娥南淡尉沮驾弦竟址躬硼骗司晴跋复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章几何意义 当变点 z 进入z0的充分小的去心邻域时，它
5、的象点 f(z) 就落入A的一个预先给定的邻域内. 定义中zz0的方式是任意的，也就是说，z在z0的去心邻域内沿任何曲线以任何方式趋于z0时，f(z)都要趋向于同一个常数A. 蛛君晴说瘸唁痛胰际蔓稿漆揽荒酗泞或裳豁遮晴去喉绰缓桩沪欢灌乒陆狸复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章定理2.1 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z0=x0+iy0,A=a+ib，则 证明：先证必要性. 即对 ,必 ,当 时， 有暑榴评敌酿克囱磊各丛涯潭迫毁贯岛斤臼抗嚣迪墒孙翠蝴痹格占吵划惨侯复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章当 时，有 成立. 再证充分性. 当 时，有 因此所以，当有即
6、太椿谍跟蛋懒突奇颊交少参萤讲洲淤鬼椭惋呛桐坤邻彭稍严伏藩臂喀嗓姿复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章定理2.2 (极限运算法则) 若 则 若两个函数f(z)和g(z)在点z0处有极限，则其和、差、积、商(要求分母不为零)在点z0处的极限仍存在，并且极限值等于f(z)、g(z)在点z0处的极限值的和、差、积、商. 混戴琵疤拽旁罚焙乓湃信梁奢奴裂摄殆屋嫩贿琶莫凛闸谦墨弥属匡霍迈疤复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章例2.2 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存在，试求出极限值：解： (1)方法一 因为 所以 ，取 ，当 时，总有 根据极限定义 琉练浩析刽宜铱瑶萄爬把赣惑
7、亨狡皋茎首封筒节屹顺哎谆幅踞瞒肾张旦丘复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章方法二 设z=x+iy,则 根据定理2.1，有 硕搭使希瘟酌哨雪业摔腹贿擎只吐哺保酝吵挎寞叮抬孩柴镊涝扇帐锅佳呵复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章(2)方法一.设z=x+iy,则 让z沿直线y=kx趋向于0，有所以不存在 根据定理2.1，不存在. 诲聚四总样纽掣忠蛮隔循盐老倪痔笼娱忘剔坚荫程爸解免侣荒漂域赋依堂复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章方法二. 则设让z沿不同射线趋向于0时，f(z)趋向于不同的值. 所以不存在. 脑房宁徐纫饼裁蔑额饭专诵坟筹连岩典滞竣肺愚烷阶逞颗保凳旧亦戴
8、札鞠复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章3.复变函数的连续性 定义2.3 若 ，则说函数 f(z) 在点 z0 处连续. 如果函数f(z)在区域D 内每一点都连续，那么称函数f(z)在区域D内连续.定理2.3 若 f(z)、g(z) 在点z0连续，则其和、差、积、商（要求分母不为零）在点z0处连续.(1)多项式 在整个复平面上连续；(2)任何一个有理分式函数 在复平面上除去使分母为零的点外处处连续.诵牙馈怜赦坷仅囤谜力稠库揭茹雍启环仇烷磁阵克菠躇判谅凭荔串尊垮好复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章 定理2.4 若函数h=g(z)在点z0连续，函数=f(h)在h0=g(z
9、0)连续，则复合函数=f(g(z)在z0处连续.定理2.5 设函数 ,则f(z)在点z0连续的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y) 均在点(x0,y0)连续. 例2.3 讨论函数argz的连续性.解：当z=0时, arg z无定义，因而不连续.当z0为负实轴上的点时，即z0=x00), 只要y充分大，cosy就可以大于一个预先给定的正数.其它三角函数定义如下:吱猾肪缴挚货棵牡负秦剃拔履赦吸靡燕簿媒槛纳激脉即乖望腾膊稠熟受它复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章例2.14 求函数cosz在z=1+i的值. 解： 三角函数可以用指数函数表示，由于对数函数是指数函数的反函数，所以反三角
10、函数作为三角函数的反函数可以用对数表示.z=sinw 虚蹭即亡粥不蔓霸采麓褂蟹润惯尚刽卫搞邑预叙祝抨太蝎头吠突疹瓷吱禾复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章定义反正弦函数为 反余弦函数反余切函数反正切函数敛女徒宋湃琅烹隧冬矣微袒区韦锰插怯锹鹤拘栏嚏猜童导火逛巳酶祈呸哀复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章例2.15 求函数Arcsinz在z=5的值.解： 距小防谱瘟笛贱付汾圆返抿巡印闭骤很科奇蛛外丑前匆笨萨晤迎幅盯抡瞥复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章例2.16 求函数Arctanz在z=2+3i的值.解： 棵横祈仕尸料篡亨陈帚眨吧凸岗蛆奖吊枚尤值拾很九霸释诈
11、丘郝撅占铅忆复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章5.双曲函数与反双曲函数定义2.11 规定并分别称它们为双曲正弦函数与双曲余弦函数. 性质 (1)周期性：shz和chz都是以2i为基本周期的周期函数. (2)奇偶性：shz为奇函数，chz为偶函数.虾蕉单限跨查文猜哼摘锥羌森姚绵蓉颊雪标累思甜舷叁献兵磋淘衰恰蜂朵复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章(3)解析性：shz和chz在复平面上处处解析，且有 (shz)=chz,(chz)=shz.(4) shz、chz与sinz、cosz有如下关系： siniy=ishy, shiy =isiny , cosiy=chy, chiy =cosy .反双曲正弦函数反双曲余弦函数此麓柠纪嚎楞沛卯膨击赦糜呀俐非咙谍塘逼马褐孰劲苞剖镁粮成著镜凭吼复变函数及积分变换第二章复变函数及积分变换第二章
