第三章恒定磁场

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1、 第三章第三章 恒恒 定定 磁磁 场场3.1 安培力定律安培力定律 磁感应强度磁感应强度 一、安培力定律v安培力定律指出:在真空中 载有恒定电流的回路对另 一载有恒定电流的回路的 作用力为 （3-1）odl2Rdl1I1I2C11C2r1r2图3-1 两电流回路之间的 作用力 二、磁感应强度二、磁感应强度v用场的观点解释安培力定律可认为电流回路之间的相互作用力是通过磁场来传递的。将式（3-1）改写为 （3-2） 式中，括号内的量值都与电流回路 有关，而与电流回路 无关，可定义 （3-3）v称为毕奥毕奥-沙伐定理沙伐定理。vB是描述磁场的物理量，称为磁感应强度，或磁通密度，单位为特斯拉（T）或韦

2、伯每平方米。 线电流的情况推广到体电流和面电流v体电流 （3-4）v面电流 （3-5） 【例例3-1】 计算长为2 、通有电流 的细直导线外任一点处的磁感应强度。 【解解】选用圆柱坐标系，场源电流与坐标 无关，场量B也不会是 的函数。取场点为 ；源点为 。则 2P(r,0,z)zRrroI1+l-l图3-2 长直导线B的计算 v根据线电流的毕奥-沙伐公式得v引入积分变量 ，令 无限长细直导线外任一点处的磁感应强度为3.2 矢量磁位矢量磁位 一、磁感应强度的散度一、磁感应强度的散度v磁场的散度由毕奥-沙伐定理导出 由矢量恒等式 得v 是源点坐标的函数， 上式变为 （3-6）v两边同时取散度v旋度

3、的散度恒为零，所以 （3-7） 二、磁通连续性原理二、磁通连续性原理v磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量（或磁通），用 表示： （3-8） 若S是闭合曲面，则 （3-9）v根据高斯散度定理，有v磁场是无散场， 即： （3-10） 上式表明：v磁感应强度穿过任意闭合面的磁通量恒为零，v即磁通是连续的，磁场线总是闭合曲线。称为磁通连续性原理。v磁通连续性原理是磁场的一个基本特征 三、矢量磁位三、矢量磁位v1. 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 简化磁场问题的途径：用一个矢量 的旋度来代替磁感应强度。可令 （3-11） 称为矢量磁位，矢量磁位是一个没有物理意义的辅助函数。v式（3-11）仅仅规定了

4、矢量磁位A的旋度，其散度是不确定的，可以任意假定。指定一个矢量磁位的散度，称为一种规范。在恒定磁场中，我们规定 （3-12） 库仑规范，矢量磁位A被唯一地确定。 v2. 矢量磁位的积分表达式矢量磁位的积分表达式 体电流的磁感应强度 体电流矢量磁位积分表达式 （3-13）v面电流和线电流矢量磁位的积分表达式v面电流 （3-14）v线电流 （3-15） 【例例3-2】 计算半径为a的小圆环电流产生的磁感应强度。 【解解】选择球坐标系，小圆环如图放置。 在 的平面两边取两个电流元，它们在场点的矢量磁位都与各自的方向一致，叠加后的合成矢量只有 方向的分量，有v其中v将上式展开为泰勒级数，取前两项，得v

5、所以3.3真空中的安培环路定律真空中的安培环路定律 一、恒定磁场的旋度一、恒定磁场的旋度v根据毕奥-沙伐定理可导出恒定磁场的旋度。对式（3-4）两边同时取旋度，有v根据矢量恒等式 得v对方程右边第一项用高斯散度定理进行变换，第二项中： 方程右边可变换为v在导体表面上，电流密度总是与面的法线垂直，故它们的点乘积恒为零，即： 因此方程右边第一项恒为零。所以v v场点 时，电流密度： v两种情况合写为 （3-17）v磁场是有旋场，而非保守场，它存在旋涡源，它是由电流产生的。 二、真空中的安培环路定律二、真空中的安培环路定律v在磁场中任取一闭合回路C，其所包围的曲面为S，则有 即 （3-18）v 的正

6、方向与路径C的绕向符合右手定律，称为真空中的安培环路定律。v表明在真空中，磁感应强度沿任一闭合回路C的环量等于与回路C相交链的总电流的 倍。 【例例3-3】 半径为a的无限长直导体通有轴向电流： 试计算导体内、外的磁感应强度。 【解解】场源电流与 无关，所以磁感应强度关于z轴圆对称，只要选择同心圆积分回路，则在积分回路上只存在B的切向分量，且数值相等。v（1）导体外 v（2）导体内 3.4 介质中恒定磁场的基本方程介质中恒定磁场的基本方程 一、介质的磁化一、介质的磁化v1. 介质的磁化介质的磁化v磁介质在磁场中要被磁化，形成磁偶极子。磁偶极子产生的磁场会使原磁场发生改变。v电子的自旋和轨道运动

7、都会形成微观的圆电流，相当于一个磁偶极子，具有一定的磁矩。 a.没有外磁场情况下，分子的热运动使磁矩的方向是随机的。总的磁矩之和为零，对外不呈磁性。 b.外界存在磁场时，分子磁矩会在磁力的作用下取向排列，总磁矩不再为零，这种现象就称为物质的磁化。v2. 磁化强度磁化强度 磁化强度矢量：磁化介质中单位体积内的总的分子磁矩，即 （3-19） 磁化强度单位：安培每米（ ）。v若 是体积 中的平均磁矩，N是分子密度，则磁化强度也可表示为v v3. 磁化电流磁化电流 分子的磁矩来源于分子中的电荷运动，对应的电流称为分子电流。 介质中的电子运动不能脱离原子核的束缚，故分子电流为束缚电流。 磁介质（磁偶极子

8、）的作用可以用等效的磁化电流来代替，即磁化电流产生的磁场等效于所有的磁偶极子产生的磁场的总和。v等效的体磁化电流和面磁化电流分别为： （3-21） （3-22） 其中，n是介质表面的外法向。 二、介质中的安培环路定律二、介质中的安培环路定律v在有介质的情况下，由于介质内部存在磁化电流，将真空中的安培环路定律修正为 （3-23） 因为 v式（3-23）改为 （3-24）令 （3-25）vH称为磁场强度，单位：安培每米（ ）。有 （3-26） 为介质中安培环路定律的积分形式 利用斯托克斯定律有v由于积分路径是任意的，所以有 （3-27） 为介质中安培环路定律的微分形式v对于各向同性的、线性的均匀介

9、质，其磁化强度M与磁场强度H成正比，即 （3-28）v 是介质的磁化率，是一个无量纲常数。所以 （3-29） 三、介质中恒定磁场的基本方程三、介质中恒定磁场的基本方程v积分形式 （3-30a） （3-30b）v微分形式 （3-31a） （3-31b）v本构关系 （3-32） v矢量磁位的微分方程 在均匀介质中，将 代入 中，得 根据矢量恒等式,有v若采用库仑规范，则 ，所以有 （3-33） 为矢量泊松方程v无源区域（ ），有 （3-34） 为矢量拉普拉斯方程 四、标量磁位四、标量磁位v1. 标量磁位的定义标量磁位的定义 恒定磁场是一个有旋场。一般情况下不能用标量函数的梯度来描述。 在自由电流等

10、于零的区域内，磁场强度的旋度等于零，即： 。此时磁场强度可以用一个标量函数的梯度来表示。 在 的区域，令 （3-36）v 为标量磁位。v在均匀介质中，将 代入式 中，可得到标量磁位的拉普拉斯方程 （3-37）v求解标量磁位的拉普拉斯方程比求解矢量拉普拉斯方程要简单的多，但它只适用于无源空间。v2. 标量磁位的多值性标量磁位的多值性 象静电场一样，定义磁场中任意两点A、B之间的磁压 （3-38）v若令B点为零磁位，则A点的磁位会因积分路径的不同而数值不同，它们之间相差一个常数，即标量磁位 具有多值性。v主要原因：积分路径与电流回路相交链的结果，故要消除的有多值性，应规定所选的积分路径不能与电流回

11、路相交链。当然，标量磁位的有多值性并不影响磁场强度 H的计算。 图3-6 标量磁位的多 值性3.5恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件v磁介质表面一般存在束缚电流，它的存在使B和H在通过界面时将发生突变。变化规律称为恒定磁场的边界条件。 一、法向边界条件一、法向边界条件v在分界面上任取一点，包含该点做一闭合小圆柱，其上下底面与分界面平行，底面积非常小；侧面与分界面垂直，且侧高趋于零，如图3-7。v对此闭合面应用积分形式的磁通连续性原理，得 （3-39） 或写成矢量形式 （3-40）v表明：磁感应强度的法向分量在介质分界面是连续的。v法向边界条件亦可用矢量磁位来表示 （3-41） 二、切向边界条

12、件二、切向边界条件v在分界面上任取一点，包含该点做一小矩形闭合回路。长边分居界面两侧，并与界面平行，短边趋于零，且与界面垂直。v由安培环路定律的积分形式 v写成矢量形式H1H2lhet图3-8 切向边界条件v当分界面上没有自由电流时，有 (3-44) 或 (3-45)v磁场强度的切向分量在分界面上是连续的。用矢量磁位表示 (3-46)v在介质分界面不存在自由电流时，设分界面两侧的磁场线与法线n的夹角为 和 ，可得 (3-47)3.6电感电感 一、电感一、电感v磁链与产生磁链的电流之比值称之为电感。v磁链是指与某电流回路相交链的总磁通。若回路有N匝线圈，每匝线圈的磁通近似相等，则 （3-48）v

13、电感分为自感和互感v1. 自感自感 当磁场是由回路本身的电流所产生时，穿过回路的磁链与回路电流之比值，称为自感系数或自感v2. 互感互感 如果回路1的电流产生的磁场穿过回路2的磁链为 ，则比值（3-50）v称为互感系数，或互感。v反之亦然。即（3-51）v自感和互感量仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和周围介质的磁导率，互感还与两个回路的相对位置有关，而与回路的电流、场强和磁链无关。 二、电感的计算二、电感的计算v设有两个单匝细导线回路，如图3-9，回路 中通有电流 ，则它在回路 产生的磁通为 ，即 所以，互感 为 （3-52）v称为诺依曼公式。v回路 对回路 的互感 为 （3-53）v若所设回路

14、分别由 、 匝细导线够成，相应的互感为 （3-55）Odl2Rdl1C1C2r1r2图3-9 诺伊曼公式的推导v当使用诺依曼公式求自感时，为保证积分收敛，必须考虑导线的线径。如图（3-10）。 （3-56） 自感分为内自感和外自感。v导线外部的磁链与电流的 比值称为外自感；v导线内部的磁链与电流的 比值称为内自感。图3-10 自感的计算 【例例3-4】 求单位长度同轴线的自感。同轴线的内、外导体半径分别为a和b，其中外导体的厚度可忽略。 【解解】设同轴线内、外导体的电流分别为 。v当 时， 外磁链为： 外自感为： v当 时， v内磁链为： 为分数匝数。 内自感为：v总自感为：3.7磁场能量与磁

15、场力磁场能量与磁场力 一、磁场能量一、磁场能量v电流回路系统的磁场能量由外电源提供的，是势能v当电流从零增加时，回路中的感应电动势将阻止电流增加，必须外加电压以克服回路中的感应电动势，外电源所作的功将转化为系统的磁能。v回路上的外加电压和回路中的感应电动势是等值异号的。v回路中的感应电动势等于回路磁链的时间变化率。v回路j中的感应电动势为 而外加电压为v在 时间内，与回路j相连的电源所作的功为v如果系统包括N个回路，增加的磁能为 （3-57）v回路j的磁链为 （3-58） 当 时， 是互感系数； 当 时， 是自感系数。 将式（3-58）代入式（3-57）得 （3-59）v设各回路中电流从零开始

16、以相同比例 增加至终值，所以v充电过程外电源提供的总能量是系统的总磁能 （3-60） 或 （3-61） 当 时， 为自感能； 当 时， 为互感能。v磁场能量可用磁场矢量表示，由式（3-61）得 （3-62）v式中是N个回路在 上的合成矢量磁位，结果适用于线电流回路。对于体电流而言，可将线电流元用体电流元代替，即 （3-63）v把积分区域扩大到整个空间并不影响积分结果，所以有v当 时，上式右边第二项积分为零，所以 （3-64） 其中：被积函数 称为磁能密度。v对于各向同性的、线性的均匀介质 （3-65） （3-66）v可见：磁场能量也是分布于整个磁场空间，而非仅存于电流所限的导电空间。 【例例3

17、-5】根据磁能求例题3-4中同轴线的自感。 【解解】由于 则 要求出同轴线的总磁能v总自感为： 二、磁场力二、磁场力v在电流回路系统中，假设某个电流回路在磁场力的作用下发生了一个小的虚位移，这时磁场力要做功，磁场能量也会产生变化。v根据能量守恒原理应有：磁场力所做的功+磁场储能的增量=外电源所提供的能量，即 （3-67）v1电流回路与电源断开的情况电流回路与电源断开的情况 电源不做功，各回路的感应电动势为零，磁链不变化。磁场力做功所消耗的能量必来源于磁场的储能，即 （3-68） 所以 （3-69）v2电流回路与电源相连的情况电流回路与电源相连的情况 电源除了提供磁场力做功所消耗的能量，还使得磁场储能增加。电源做的功v外电源所提供的能量一半使得磁场储能增加，另一半提供给磁场力做功，即 （3-70） 所以 （3-71）