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1、Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST第六节 速度势函数和流函数 速度势函数 速度流函数 二维流动的表示Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST一、速度势函数 定义（速度势函数的引入及存在条件）流体运动无旋流动涡旋流动否则，则称之为涡旋流动：如果在流体域内涡度为零，即: 无旋流动；Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST 据矢量分析知识，任意一函数的梯度，取旋度恒等于零：对于无旋流动，必定存在一个函数 满足如： 或无旋流动，其速度矢总可以用函数 的梯度来表示，把
2、函数 叫做速度的（位）势函数，可以用这个函数来表示无旋流动的流场。 通常将无旋流动称为有势流动或势流。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST而引进了势函数后：引入势函数的优点 流速矢描述流体运动 含有三个变量； 需要给定三个变量 刻画流体的运动情况。只要一个变量（势函数）就可以来描述流体运动，大大地减少了描写流体运动所需的变量，简化了问题。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST由流速场与势函数的关系可知：流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处
3、，位势梯度小，相应的流速小。用势函数来描述流体运动对于某一固定时刻 =常数为一空间曲面，称为等势函数面或者等位势面。上式取不同常数 不同的等位势面 等位势面族。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST例1-6-1 已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如 图所示（其中， ）的，请判断并在图 中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B 两处流速的大小。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST 势函数的求解 假如流体的散度为： 根据势函数的定义有： 其中， 为三维拉普拉斯算子。可以看出，如果给定D，通过求解
4、泊松（Poisson）方程，即可求得势函数。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST求解势函数的具体方法（仅考虑二维的情况）：（2）如已知速度场，可以先求出D，然后再求解泊松方程，最终得到势函数。 （1）如已知D，直接求解泊松（Poisson）方程，可得势函数。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST定义及存在条件 二、速度流函数考虑二维无辐散流动，即满足：其流线方程为：无辐散流辐散流流体运动引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM
5、NUIST 根据格林积分公式（平面曲线积分与路径无关的条件）可知，满足无辐散条件下:流速与该函数满足：矢量形式：Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST积分以上的全微分形式，可以得到： =常数上式所描述的曲线就是流线，当然，它也是函数 的等值线。将以上引进的函数 称之为流函数，而流线也就是等流函数线。对某一固定的时刻：一空间曲线流线方程积分曲线。流速与该函数的关系曲线的切线方向与流速矢的方向是相吻合的。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST （2）表征流体通量在流体中任取一条有向曲线A B，顺着该有向曲线
6、流体自右侧向左侧的通量Q：曲线法向方向的单位矢量定义为：而：引入流函数的优点流速在曲线法向方向上的分量（1）减少表征流动的变量ABChen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST引用流函数，并考虑：或表明:经过两点为端点的任何曲线的流体通量，决定于该两点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。 用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST同样，求解流函数的方法为： （1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程； （2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程。（3）表征流
7、体涡度由涡度的定义 ，可得到用流函数来表示的涡度表达式：可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST三、二维流动 一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均不为零，即满足： 无辐散涡旋流 无旋辐散流 Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST上式为大气动力学中广泛采用的形式。 Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST习题1-6-1 已知二维流速场为： 分别求势函数和流函数存
8、在的条件。 习题1-6-2 请问是否存在既满足无辐散条件又满足无旋条件的流动？如存在，请举例说明。 课 后 习 题Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST习题1-6-3 请证明无辐散的平面无旋流动：（1）流函数和势函数都是调和函数（满足二维拉普拉斯方程)（2）等势函数线和等流函数线正交。习题1-6-4 平面流动的流线方程为： ； 由流函数全微分 ； 当取 常值时，也可以得到 试问两式是否等价？请说明理由？Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST6速度势函数和流函数 （概念、理解）速度势函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；流函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；速度势函数、流函数表示二维流动。本节总结
