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1、八年级上册数学总结 第十一章 三角形 1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 要求会的题型：数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余 2、三角形中的主要线段（1）角平分线 （2）中线（3）三角形的高 （1）三角形的三条高的交于一点三角形的垂心 （直角锐角钝角三角形的高的交点分别在哪里，会画钝角三角形的高） （2）三角形三条中线的交于一点三角形的重心 性质： 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 （3）三角形三条角平分线的交于一点三角形的内心 区分三角形的“角平分线”与“角的平分线” ，区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。
2、3、三角形的稳定性，四边形的不稳定性 4、三角形的表示：用符号“”表示，顶点是 A、B、C 的三角形记作“ABC ” ，读作“三角形 ABC” 。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 三边不相等三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 底和腰相等的等腰三角形（等边三角形） 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形三边的关系 （1）三角形三边关系定理：
3、三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是 a，b，c，则 abc 或 cba （2）三角形三边关系定理及推论的作用： 给出三条线段的长度或者三条线段的比值，判断这三条线段能否组成三角形：最小边较小边最大边 求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：abcab 给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形（不重不漏） 7、三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180。 推论： 三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 8、直角三角形
4、性质：直角三角形的两个锐角互余。 判定：有两个锐角互余的三角形是直角三角形 9、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形 10、凸多边形：多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则称为凸多边形， 11、正多边形 ：各个角都相等、各个边都相等的多边形，如正三角形、正方形、正五边形等。 注： 四条边都相等的四边形不一定是正方形， 四个角都相等的四边形也不一定是正方形 （两个条件缺一不可） 12、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. (1)从 n 边形一个顶点可以引(n3)条对角线，将多边形分成(n2)个三角形。 (2)n 边形共
5、有条对角线。 13、多边形的内角和定理 ：n 边形的内角和等于 180 （n-2） 。 内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求其边数。 14、多边形的外角和等于 360. (1)外角和公式的应用： 已知外角度数，求正多边形边数；已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系： 注：多边形内角和与边数 n 有关，每增加 1 条边，内角和增加 180。 多边形的外角和等于 360，与边数的多少无关。 类型一：多边形内角和及外角和定理应用 1一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍，它是几边形？ 【变式 1】若一个多边形的内角和与外角和的总度
6、数为 1800，求这个多边形的边数. 【变式 2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为 2750，求这个多边形的内角和是多少？ 【变式 3】 一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为 1350， 求这个多边形的边数。 类型二：多边形对角线公式的运用 【变式 1】一个多边形共有 20 条对角线，则多边形的边数是（ ）. 类型三实际应用题 如图，一辆小汽车从 P 市出发，先到 B 市，再到 C 市，再到 A 市，最后返回 P 市，这辆小汽车共转了多少度角？思路点拨：根据多边形的外角和定理解决. 【变式 1】如图所示，小亮从 A 点出发前进 10m，向右转 15，再前进 10m，又向右转 15
7、，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了_m. 【变式 2】小华从点 A 出发向前走 10 米，向右转 36，然后继续向前走 10 米，再向右转 36，他以同样的方法继续走下去，他能回到点 A 吗？若能，当他走回点 A 时共走了多少米？若不能，写出理由。 第十二章 全等三角形 1、全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。一个图形经过平移、翻折、旋转，图形前后全等 2、全等三角形的表示：用符号“”表示，读作“全等于” 。如ABCDEF 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、确定对应边对应角的方法： （1）最大边（角）是对应边（角） ，最小边（角）是对
8、应边（角） （2）公共边（角）一般是对应边（角） ，对顶角一般是对应角 （3）字母顺序法：ABCDEF （4）对应边所对的角是对应角，对应边所夹得角是对应角 （5）对应角所对的边是对应边，对应角所夹得边是对应边 4、全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。 要求会的题型数三角形的个数方法分类不要重复或者多余三角形中的主要线段角平分线中线三角形的高三角形的三条高的交于一点三角形的垂心直角锐角钝角三角形的高的交点分别在哪里会画钝角三角形的高三角形三条中线的交于三角形的内心区分三角形的角平分线与角的平分线区别是三角形的角平分线是条线段角的平分线是条射线三角形的稳定性四边形的不稳定性
9、三角形的表示用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分形按角的关系分类如下直角三角形有一个角为直角的三角形三角形锐角三角形三个角都是锐角的三角形斜三角形钝角三角形有一个角为钝角的三角形把边和角联系在一起我们又有一种殊的三角形等腰直角三角形它是两条直角边相等（2）全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 5、三角形全等的判定 （1） “边边边 SSS” ：有三边对应相等的两个三角形全等 （2） “边角边 SAS” ：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 （3） “角边角 ASA” ：有两角和它们的夹边对应相等
10、的两个三角形全等。 （4） “角角边 AAS” ：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （5） “斜边、直角边 HL” ：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（只适用于直角三角形，书写时要写 RTABCRTDEF） 注：SSA、AAA 不能证明两个三角形全等 已知两边 6、三角形全等的判定 已知一边一角 已知两角 注：书写时注意顺序，角边的位置不要写错，找对对应边和对应角 7、角的平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.（利用 SSS 证明此结论） 判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 8、证明两线段相等的方法：全等三角形对应边相等 角的平分线性质
11、9、证明两角相等的方法：全等三角形对应角相等 角的平分线判定 平行线的性质 对顶角相等 第十三章 轴对称 一、 轴对称图形与轴对称 轴对称图形 成轴对称 概念 图形 区别 1、 轴对称图形是一个具有特殊形状的图形 2、 轴对称图形的对称点一定在一个图形上 3、 对称轴不一定只有一条 1、 两个具有对称关系的图形 2、 成对称轴的两个图形对称点分别在两个图形上 3、 只有一条对称轴 二、.轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形。 （对应线段相等，对应角相等） 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直
12、平分线。 注：成对称轴的两个图形全等，但全等的两个图形不一定对称 三、线段的垂直平分线（中垂线） 1 垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 2.性质：垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上 四、画轴对称图形（直角坐标系中类似） 1、找特殊点（对应点） 要求会的题型数三角形的个数方法分类不要重复或者多余三角形中的主要线段角平分线中线三角形的高三角形的三条高的交于一点三角形的垂心直角锐角钝角三角形的高的交点分别在哪里会画钝角三角形的高三角形三条中线的交于三角形的内心区分三角形的角平分线与角的平分线区别是三角形的角平
13、分线是条线段角的平分线是条射线三角形的稳定性四边形的不稳定性三角形的表示用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分形按角的关系分类如下直角三角形有一个角为直角的三角形三角形锐角三角形三个角都是锐角的三角形斜三角形钝角三角形有一个角为钝角的三角形把边和角联系在一起我们又有一种殊的三角形等腰直角三角形它是两条直角边相等2、作作特殊点关于直线的对称点（根据性质：垂直平分线） 3、连连接各对应点 五、直角坐标系中，点（x, y）关于 x 轴对称的点的坐标为(x,-y). 点（x, y）关于 y 轴对称的点的坐标为(-x,y) 注：做题时画出直角坐标系，描点后找出对应关系 六、
14、等腰三角形知识点回顾 1.等腰三角形的性质 .等腰三角形的两个底角相等。 （等边对等角） .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一） 等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴 2、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 （等角对等边） 注：解题时注意分类讨论，底边和腰，底角和顶角 五、等边三角形知识点回顾 1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 60。 等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴 2、等边三角形的判定：定义法：三边相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是 60
15、的等腰三角形是等边三角形。 注：等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质 3、直角三角形性质：30所对的直角边等于斜边的一半 斜边上的中线等于斜边的一半 第十四章 整式乘除与因式分解 一、 幂的运算 1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。mnm naaa （m、n 为正整数） 2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。nmmnaa （m、n 为正整数） 3、积的乘方：各因式乘方的积nnnaba b（n 为正整数） 4、同底数幂相除：底数不变，指数相减。mnm naaa、a0，m、n 都是正整数，且 mn） 5、零指数幂：a01 （a0） 注：a 可以是有理数，单项式，多项式 1aa 公式
16、的正用，逆用，运用公式变形解题 二、整式的乘法 1、单项式乘以单项式：系数相乘 同底数幂相乘 单独项 2、单项式乘以多项式：p（a+b+c）=pa+pb+pc 3、多项式乘以多项式： （a+b） （p+q）=ap+aq+bp+bq 注：计算时注意符号，(-)加括号，运算顺序，不重不漏 要求会的题型数三角形的个数方法分类不要重复或者多余三角形中的主要线段角平分线中线三角形的高三角形的三条高的交于一点三角形的垂心直角锐角钝角三角形的高的交点分别在哪里会画钝角三角形的高三角形三条中线的交于三角形的内心区分三角形的角平分线与角的平分线区别是三角形的角平分线是条线段角的平分线是条射线三角形的稳定性四边形
17、的不稳定性三角形的表示用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分形按角的关系分类如下直角三角形有一个角为直角的三角形三角形锐角三角形三个角都是锐角的三角形斜三角形钝角三角形有一个角为钝角的三角形把边和角联系在一起我们又有一种殊的三角形等腰直角三角形它是两条直角边相等最后有同类项，要合并同类项 三、整式的除法 1、单项式除以单项式：系数相除 同底数幂相除 单独项 2、多项式除以单项式：abcpapbpcp （） 注：计算时注意符号，(-)加括号，运算顺序，不重不漏 最后有同类项，要合并同类项 四、乘法公式： 平方差公式： （ab） （ab）a2b2 文字语言：两个数的和
18、与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差 完全平方公式： （ab）2a22abb2 （ab）2a22abb2 文字语言：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍 注：运用公式前看是否符合公式的结构特征 找准那个数或式子代表公式里的 a 和 b 五、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式 六、因式分解的常用方法 1、提公因式法：公因式乘以另一个因式 （1）提公因式法的关键是找出公因式 系数一各项系数的最大公约数 字母各项含有的相同字母 指数相同字母的最低次数
19、 （2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式 （3）注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项 注意：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底” ； 如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的 2、公式法 平方差公式： a2b2 （ab） （ab） 完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2 3、因式分解方法总结：提有公因式先提取公因式 套再用公式法 查必须分解到每个因式都不能分解为止 七、去括号加括号 1、括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号
20、2、括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c) 第十五章 分式 要求会的题型数三角形的个数方法分类不要重复或者多余三角形中的主要线段角平分线中线三角形的高三角形的三条高的交于一点三角形的垂心直角锐角钝角三角形的高的交点分别在哪里会画钝角三角形的高三角形三条中线的交于三角形的内心区分三角形的角平分线与角的平分线区别是三角形的角平分线是条线段角的平分线是条射线三角形的稳定性四边形的不稳定性三角形的表示用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分形按角的关系分类如下直角三角形有一个角为直角的三角形三角形锐角三角形三个角都
21、是锐角的三角形斜三角形钝角三角形有一个角为钝角的三角形把边和角联系在一起我们又有一种殊的三角形等腰直角三角形它是两条直角边相等一、分式的定义BA A，B 是两个整数 B 中含有字母 注：y+1是数，不是字母，所以不是分式 二、与分式有关的条件 分式有意义：分母不为 0（0B ） 分式无意义：分母为 0（0B ） 分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（00BA ） 分式值为正或大于 0：分子分母同号（00BA或00BA） 分式值为负或小于 0：分子分母异号（00BA或00BA） 分式值为 1：分子分母值相等（A=B） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 三、分式的基本性质 分式
22、的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 字母表示：CBCABA，CBCABA，其中 A、B、C 是整式，0C 。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 BBABBAAA 注：在应用分式的基本性质时，要注意 C0 这个限制条件和隐含条件 B0。 四、分式的约分 1、定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。 2、步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 3、分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 分子
23、分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 4、最简分式：分子与分母没有公因式的分式 注：约分的结果必须是最简分式或整式 分子分母都是乘积的形式才可以约分 五、分式的通分 1、定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫分式的通分。 2、最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 3、确定最简公分母的一般步骤：系数取各分母系数的最小公倍数 字母各项出现全部字母 指数出现字母的最高次数 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 六、分式的四则运算与分式的乘方 要求会的题型数三角形的个数方法分类
24、不要重复或者多余三角形中的主要线段角平分线中线三角形的高三角形的三条高的交于一点三角形的垂心直角锐角钝角三角形的高的交点分别在哪里会画钝角三角形的高三角形三条中线的交于三角形的内心区分三角形的角平分线与角的平分线区别是三角形的角平分线是条线段角的平分线是条射线三角形的稳定性四边形的不稳定性三角形的表示用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分形按角的关系分类如下直角三角形有一个角为直角的三角形三角形锐角三角形三个角都是锐角的三角形斜三角形钝角三角形有一个角为钝角的三角形把边和角联系在一起我们又有一种殊的三角形等腰直角三角形它是两条直角边相等1、分式的乘除法法则 乘法：
25、用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：dbcadcba 除法：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为ccbdadbadcba 一般步骤：确定符号化除为乘因式分解约分 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子nnnbaba 3、分式的加减法则： 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为cbacbca 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为bdbcaddcba 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为 1 的分式，再通分。 4、 分式的混合运算的运算顺序 先乘方、再乘除、后加减，同
26、级运算中，从左到右，有括号的先算括号里面的（小大） 注意： 得出的结果一定要化成最简分式（或整式） 。 七、整数指数幂 1、mnm naaa 2、nmmnaa 3、nnnaba b 4、mnm naaa、a0 5、01a （a0） 6、nnnaabb 7、n1naa （0a） 其中 m，n 均为整数。 八、科学记数法 1、定义：小于a的数可以表示为-n10a（10a1n 为整数） 2、确定的方法：小数点的移动位数 -40.000 787.8 10 九、解分式方程的步骤 去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。 （产生增根的过程） 解整式方程，得到整式方程的解。 检验，把所得的整式方程的解代
27、入最简公分母中 如果最简公分母为 0，则原方程无解，这个是原方程的增根；如果最简公分母不为 0，则是原方程的解。 产生增根的条件是：得到的是整式方程的解；代入最简公分母后值为 0。 十、列分式方程 1、审仔细审题，找出等量关系。 2、设合理设未知数。 3、列根据等量关系列出方程（组） 。 4、解解出方程（组） 。注意检验 5、答答题。 要求会的题型数三角形的个数方法分类不要重复或者多余三角形中的主要线段角平分线中线三角形的高三角形的三条高的交于一点三角形的垂心直角锐角钝角三角形的高的交点分别在哪里会画钝角三角形的高三角形三条中线的交于三角形的内心区分三角形的角平分线与角的平分线区别是三角形的角
28、平分线是条线段角的平分线是条射线三角形的稳定性四边形的不稳定性三角形的表示用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分形按角的关系分类如下直角三角形有一个角为直角的三角形三角形锐角三角形三个角都是锐角的三角形斜三角形钝角三角形有一个角为钝角的三角形把边和角联系在一起我们又有一种殊的三角形等腰直角三角形它是两条直角边相等 要求会的题型数三角形的个数方法分类不要重复或者多余三角形中的主要线段角平分线中线三角形的高三角形的三条高的交于一点三角形的垂心直角锐角钝角三角形的高的交点分别在哪里会画钝角三角形的高三角形三条中线的交于三角形的内心区分三角形的角平分线与角的平分线区别是三角形的角平分线是条线段角的平分线是条射线三角形的稳定性四边形的不稳定性三角形的表示用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分形按角的关系分类如下直角三角形有一个角为直角的三角形三角形锐角三角形三个角都是锐角的三角形斜三角形钝角三角形有一个角为钝角的三角形把边和角联系在一起我们又有一种殊的三角形等腰直角三角形它是两条直角边相等
