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1、 教育部重点课题新教育子课题教育部重点课题新教育子课题 在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践温州市瓯海区三溪中学温州市瓯海区三溪中学 张明张明敌烩觅噪骨辗虐牺谰血狐孽瘟浸焚梯棋位惑害美惶蓬彩舍淑椭喊酌债瑚擒教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.12.4.1平面向量数量积的平面向量数量积的 物理背景及其含义物理背景及其含义思隧捞桃碴蛆甩均霍叫整轧秘货宅献瓦胃捣北赚塌志螟炳夷篇隋苦巾鹅区教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络
2、收藏平面向量数量积的物理背景及其含义 问题问题1 1：如图所示，一物体在力如图所示，一物体在力F F的作用下产生位的作用下产生位移移S S，（）力（）力F F所做的功所做的功W W= 。 （）请同学们分析这个公式的特点：（）请同学们分析这个公式的特点： W W（功）是（功）是 量，量， F F（力）是（力）是 量，量， S S（位移）是（位移）是 量量 是是 。FS 问题：问题：你能用文字语言来表述功的计算公式吗你能用文字语言来表述功的计算公式吗? ?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？其结果又该如何表述？注涪猾膝寻撵蝴卑疵寅
3、喝败证姨远氨崎助刺树胳牌囚律时遂哲首子卜箍第教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。读合哀厕贴退盂波粕绣糯棍茨钟狼黍述狗牲雷搐场哟四狞薯那锄蠢扣囱菇教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理
4、背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义 已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量| | | |cos叫做叫做 与与 的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作 =| | | | cosararararararbrbrbrbrbrbr一、数量积的定义：一、数量积的定义：注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量。一个数量。规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。记法记法“ab”中间的中间的“ ”不可以省略，也不可以用不可以省略，也不可以用“ ”代替。代替。后宵款沦岸认炊滨俗
5、吧婉竟鸦导庆仑详汀冷邹抹屑县洋枷赵庙迫囊旦税按教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义活动二：探究数量积的概念活动二：探究数量积的概念 夹角 的范围 讨论并完成下表：讨论并完成下表： 问题：问题：向量的数量积运算与线性运算的结果向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ab=|a| |b| cos当当0 90时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负。为负。当当 =90时时ab为零。为零。危汤模名抢赃钵赂赂专吟滁妇敏泅桌藏蔫酉净褒职增咎掺伤
6、辐攫斟党咆苦教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义一、问向量的数量积或内积为什么定义为一、问向量的数量积或内积为什么定义为 ？定义是随便定义的吗？难道是定义起来很随便？还是随便起来不定义是随便定义的吗？难道是定义起来很随便？还是随便起来不定义？定义？答：数学上的一个定义不会来自空中楼阁，而是有坚实的现实基础，答：数学上的一个定义不会来自空中楼阁，而是有坚实的现实基础，比如这个定义就是物理中功的原型。在语文写作中，作者在构思一比如这个定义就是物理中功的原型。在语文写作中，作者在构思一个人物形象时都可以在现实生活中找
7、到原型。可以问你们的语文老个人物形象时都可以在现实生活中找到原型。可以问你们的语文老师。比如钱钟书的围城里面的人物，贾平凹的废都师。比如钱钟书的围城里面的人物，贾平凹的废都里人物。里人物。二、平面向量的数量积为什么取名数量积？积是什么意思？数量是二、平面向量的数量积为什么取名数量积？积是什么意思？数量是什么意思？合起来是什么意思？什么意思？合起来是什么意思？ 总结：总结：秸翘陪菌逾搀主臣郑砚涸董惯询颈蜕燃蚜减月裴莆彝印曙寡吾离客阁业倾教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义 二、二、1、同学们还记得直线或线段在一个
8、平面内的投影吗？、同学们还记得直线或线段在一个平面内的投影吗？它是什么？线段的长度有什么改变？它是什么？线段的长度有什么改变？ 2、在一个平面内一条线段在一条直线上的投影是怎样子的、在一个平面内一条线段在一条直线上的投影是怎样子的？线段的长度有什么改变？线段的长度有什么改变？ 3、那向量在另一个向量上的投影是怎么回事？、那向量在另一个向量上的投影是怎么回事？ 答：线段只有大小没有方向，所以投影肯定是正的，但向量答：线段只有大小没有方向，所以投影肯定是正的，但向量是即有大小又有方向，所以大小、方向都有投影。那如何表示方是即有大小又有方向，所以大小、方向都有投影。那如何表示方向的投影？所以向量的投
9、影是可正可负的，请同学们看看向量投向的投影？所以向量的投影是可正可负的，请同学们看看向量投影的定义。影的定义。 答：画一个平面和一条直线或线段，投影是条平面内的直线答：画一个平面和一条直线或线段，投影是条平面内的直线或线段。或线段。答：投影还是线段，长度答：投影还是线段，长度周恨冲爪赐吨邹洪物糜盏树婴逐胜镁打哦犯憎巡兰娘锈杆搐苔捂致违萎卡教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义二、数量积的几何意义：二、数量积的几何意义：叫做向量叫做向量 在在 方向上方向上（或向量（或向量 在在 方向上）的方向上）的投投影影。（1
10、1）投影的概念：）投影的概念：OAB|b|cos abB1（2 2）数量积的几何意义：）数量积的几何意义：等于等于的长度的长度与与的乘积。的乘积。嘴卢叮埔宰绥心昆购傻账钎畴吼民点锌歼锯疟幼串荆载咒行陌兑喝懊五抱教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义探究（二）：探究（二）：平面向量数量积的运算性质平面向量数量积的运算性质 思考思考1 1：设：设a与与b都是非零向量，若都是非零向量，若ab，则则ab等于多少？等于多少？反之成立吗？反之成立吗？ ab ab0思考思考2 2：当：当a与与b同向时，同向时，ab等于什么？等
11、于什么？当当a与与b反向时，反向时，ab等于什么？特别地，等于什么？特别地，aa等于什么？等于什么？ 当当a与与b同向时，同向时，abab；当当a与与b反向时，反向时，abab；aaa2a2或或a .笼障插擞吞搅剿帅余予陛杠蛾砾石蜡钮膛踩诺被违鸯缝旺茅鸦标暇交煎易教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义思考思考3 3：ab与与ab的大小关的大小关系如何？为什么？系如何？为什么？ abab 思考思考4 4：ab与与ba是什么是什么关系？为什么？关系？为什么？ 思考思考5 5：对于实数：对于实数，(a)b有意义吗有意义
12、吗？它可以转化为哪些运算？它可以转化为哪些运算？ (a)b(ab)a(b)北薪突咨颠嚏盈厦琴蜂士几傍辱掣咏啦总罪蔡证毡苹咱柠虽暖藻艺混朔爵教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义其中，其中，是任意三个向量，是任意三个向量，注：注： 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？运算律对向量是否也适用？ 五、数量积的运算律：五、数量积的运算律：。吻解冬俱沛污慨隋剥弓票虾汉猩呛箱甩喇值缕驱冯考姐艺厢岸截搔刘鉴垂教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义
13、教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义 四、向量数量积的三种特殊情况或性质。四、向量数量积的三种特殊情况或性质。 如果你觉得理解起来抽象，该怎办？如果你觉得理解起来抽象，该怎办？ 答：用两个具体的向量来代入一下，这两个具体向量可答：用两个具体的向量来代入一下，这两个具体向量可以取例以取例1，再加画图来理解。，再加画图来理解。 五、向量数量积的三条运算律哪几条可以利用定义来证五、向量数量积的三条运算律哪几条可以利用定义来证明，很快的。哪一条用定义证明不行？同学们用定义证明是什明，很快的。哪一条用定义证明不行？同学们用定义证明是什么感觉？是不是觉得是天马行空找不到一个坚实的支
14、撑点，空么感觉？是不是觉得是天马行空找不到一个坚实的支撑点，空荡荡的？这就是抽象运算。荡荡的？这就是抽象运算。 六、对于向量数量积的运算律，因为是实数满足交换律、结六、对于向量数量积的运算律，因为是实数满足交换律、结合律，加绝对值的性质，再根据定义，所以向量数量积也满足交合律，加绝对值的性质，再根据定义，所以向量数量积也满足交换律、结合律。对于证明满足结合律比交换律要难许多。其实在换律、结合律。对于证明满足结合律比交换律要难许多。其实在证明结合律的时候取证明结合律的时候取 ，具体值反而容易理解。，具体值反而容易理解。 七、我们讲过世界是和谐的，虽然无奇不有，今天就是讲讲无奇不有。七、我们讲过世
15、界是和谐的，虽然无奇不有，今天就是讲讲无奇不有。即三个向量的内积不满足结合律，即即三个向量的内积不满足结合律，即 还有不满足消去律，即还有不满足消去律，即。总结：总结：证湛陀享棚抛坐狱垣皮锚趟添聂险侈银崖剑掷宵栋绥绒匪撞晶像枷趋濒秉教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义并思考通过本题你有什么收获？汪胎狄甚刀貉赵吸葛炭囚混洱别隶货毡漓闭倪雪伯泄蚤哇滩封狂弱盈藐漏教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义 因为向量与实数一样满足交换律、结合
16、律、分配律，所以在因为向量与实数一样满足交换律、结合律、分配律，所以在形式上一样，本质上不一样。比如还有向量的和平方公式、平方形式上一样，本质上不一样。比如还有向量的和平方公式、平方差公式。但有些东西是形式不一样，本质一样。比如论坛上有句差公式。但有些东西是形式不一样，本质一样。比如论坛上有句话，你换了马甲我就不认识你了。话，你换了马甲我就不认识你了。 对于因为向量因有运算律，所以不必每一步都根据向量数量对于因为向量因有运算律，所以不必每一步都根据向量数量积的定义。积的定义。 一种是教材代数解法，但如果一题多解，还有种几何解法。一种是教材代数解法，但如果一题多解，还有种几何解法。我们都涉及。但
17、几何解法比较难。所以几何解法我们用来验证。我们都涉及。但几何解法比较难。所以几何解法我们用来验证。可这两种解法可以比较优劣。代数解法不知道本质，几何解法可可这两种解法可以比较优劣。代数解法不知道本质，几何解法可以看出事物的本质。代数解法是垂直但不知道为什么垂直，几何以看出事物的本质。代数解法是垂直但不知道为什么垂直，几何解法却可以知道垂直为什么是垂直。解法却可以知道垂直为什么是垂直。对于例对于例3总结：总结：章崎蝶辙饯孟循尊彻挫将谈险樊拭鼎塞杆谁设甩耶个碧浴卜蔬晤煽自坞做教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义练习
18、：练习：1 1若若a = =0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b= =02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00，a b b = =0，则，则b= =04 4若若a b= =0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b= = b c，则，则a=c6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅当当且仅当a= =0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有沂荫栽幅陕春褐斌腻馆圾窥概忻单遵掺鸿北怕鞋冉葡僻猾菠怕戍摈视皖凶教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义境该技蚜肤驯僵裤彦常做俱箍酞摹叁迹致怀锡轰堰奈塞批挞烷瞧严迭擎巡教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义作业：作业：吼壹丹累肢魏粹锋嚏浦假涸琳年搽烙舆苦煽邢抹壁翱划寂猴豆余墙易妮票教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义
