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1、第九讲空间几何体的三视图、表面积与体积第九讲空间几何体的三视图、表面积与体积总纲目录考点一 空间几何体的三视图考点二 空间几何体的表面积与体积考点三 与球有关的切、接问题考点一空间几何体的三视图1.一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.2.由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面,再利用正视图与侧视图确定几何体.1.(2018课标全国,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中
2、木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案答案A两木构件咬合成长方体时,榫头完全进入卯眼,易知咬合时带卯眼的木构件的俯视图为A.故选A.2.图是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图,其中DD1=1,AB=BC=AA1=2.若此几何体的俯视图如图所示,则可以作为其正视图的是()答案答案C由题意及该几何体的直观图和俯视图可知,其正视图的长应为底面正方形的对角线长,宽应为正方体的棱长,故排除B,D;在三视图中看不见的棱用虚线表示,故排除A,选C.3.(2018北京,6,5分)某四棱锥的三视图如图所示
3、,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案答案C由三视图得几何体的直观图如图.其中SD底面ABCD,ABAD,ABCD,SD=AD=CD=2,AB=1,故SDC,SDA为直角三角形.ABAD,ABSD,ADSD=D,AB平面SDA,ABSA,故SAB是直角三角形,从而SB=3,易知BC=,SC=2,则SB2BC2+SC2,故SBC不是直角三角形,故选C.方法归纳方法归纳三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,看不到的部分用虚线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图.先根据已
4、知的一部分视图还原、推测直观图的可能形式,然后找其剩下部分视图的可能形式.当然作为选择题,也可看看选项给出的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状解决此类问题的三个步骤:考点二空间几何体的表面积与体积1.柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S柱侧=ch(c为底面周长,h为高);(2)S锥侧=ch(c为底面周长,h为斜高);(3)S台侧=(c+c)h(c,c分别为上、下底面的周长,h为斜高).2.柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);(2)V锥体=Sh(S为底面面积,h为高);(3)V台=(S+S)h(不要求记忆).命题角度一:空间几何体的体积1
5、.(2018天津,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.答案答案解析解析本题主要考查正方体的性质和四棱锥的体积.四棱锥的底面BB1D1D为矩形,其面积为1=,又点A1到底面BB1D1D的距离,即四棱锥A1-BB1D1D的高为A1C1=,所以四棱锥A1-BB1D1D的体积为=.2.(2018河北石家庄模拟)如图所示,网格上小正方形的边长为1,粗线画的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为.答案答案解析解析由三视图还原该几何体如图所示,即长方体ABCD-EFGH截去三棱锥F-EGI剩余的几何体,其中I为BF的中点,AB=2,BC=1
6、,AE=2,所以该几何体的体积为212-121=.方法归纳方法归纳求空间几何体体积的常用方法(1)公式法:直接根据常见柱体、锥体、台体等规则几何体的体积公式计算.(2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高,使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.(3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可直接计算体积的几何体.命题角度二:空间几何体的表面积(2018湖北武汉调研)一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为()A.28B.24+2C.20+4D.20+2答案答案B如图所示,三视图所对应的几何体是长,宽,高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的
7、棱柱ABIE-DCMH,其中AE=DH=2,BI=MC=3,BC=AD=AB=CD=2,则该几何体的表面积S=(22)5+2+21+2=24+2.故选B.方法归纳方法归纳求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题,即空间图形平面化,这是解决立体几何问题的主要出发点.(2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成柱、锥、台体,先求出这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得所给几何体的表面积.1.(2018安徽合肥模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.1B.C.D.答案答案C通解:该几何体的直观图为四棱锥S-ABCD,如图,S
8、D平面ABCD,且SD=1,四边形ABCD是平行四边形,且AB=DC=1,连接BD,由题意知BDDC,BDAB,且BD=1,所以S四边形ABCD=1,所以VS-ABCD=S四边形ABCDSD=,故选C.优解:由三视图易知该几何体为锥体,所以V=Sh,其中S指的是锥体的底面积,即俯视图中四边形的面积,易知S=1,h指的是锥体的高,从正视图和侧视图易知h=1,所以V=Sh=,故选C.2.(2018湖北黄冈模拟)已知一几何体的三视图如图所示,它的侧视图与正视图相同,则该几何体的表面积为()A.16+12B.32+12C.24+12D.32+20答案答案A由三视图知,该几何体是一个正四棱柱与半球的组合
9、体,且正四棱柱的高为,底面正方形的对角线长为4,球的半径为2,所以正四棱柱的底面正方形的边长为2,该几何体的表面积S=422+22+24=12+16,故选A.考点三与球有关的切、接问题两类几何体与球(1)正四面体与球:设正四面体S-ABC的棱长为a,其内切球的半径为r,外接球的半径为R,如图,取AB的中点D,连接SD,CD,SE为正四面体的高,在截面三角形SDC内作一个与SD和DC相切,且圆心在高SE上的圆.由正四面体的对称性可知其内切球和外接球的球心同为O.此时,OC=OS=R,OE=r,SE=a,CE=a,则有R+r=SE=a,R2-r2=CE2=,解得R=a,r=a.(2)正方体与球:如
10、图,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,其中心为O,且正方形EFHG所在平面经过点O.由正方体的对称性可知正方体的内切球、与各棱相切的球及外接球的球心同为O.此时,正方形EFGH的内切圆为正方体的内切球的大圆,则内切球半径r=OJ=.正方形EFHG的外接圆为与正方体各棱相切的球的大圆,则与正方体各棱相切的球的半径R=GO=a.长方形ACC1A1的外接圆为正方体的外接球的大圆,则外接球半径R=A1O=a.命题角度一:几何体的外接球(2018重庆调研)已知三棱锥A-BCD中,平面ABC平面BCD,BCCD,ABAC,CD=2,BC=2,则该三棱锥外接球的表面积为()A.4B.4C.12D
11、.9答案答案C解析解析如图,取BC的中点E,BD的中点O,连接OA,OE,OC,AE,则OECD.由平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,CD平面BCD,CDBC,得CD平面ABC,则OE平面ABC,所以OEBC,OEAE.在RtABC中,AE=BC=BE=CE,则RtOCERtOAERtOBE,所以OC=OA=OB,又OB=OD,所以O为三棱锥A-BCD的外接球的球心,外接球的半径R=BD=,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4R2=12,故选C.方法归纳方法归纳解决多面体的外接球问题,关键是确定球心位置,方法是先选择多面体中的一面,确定此面外接圆的圆心,再过圆心作垂直此面的
12、垂线,则球心一定在此垂线上,最后根据其他顶点确定球心的准确位置.对于特殊的多面体,还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置.命题角度二:几何体的内切球四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形,且PA=PB=PC=PD,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是()A.6B.5C.D.答案答案D解析解析过点P作PH平面ABCD于点H.由题意知,四棱锥P-ABCD是正四棱锥,内切球的球心O应在四棱锥的高PH上.过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图,其中PE,PF是斜高,M为球面与侧面的一个切点.设PH=h,易知RtPMORtPHF,所以=,即=,解得h=(h=0舍去),
13、故选D.方法归纳方法归纳求解多面体的内切球半径问题,一般是将多面体分割成以球心为顶点,多面体的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求出内切球的半径.命题角度三:与球有关的最值问题(2018课标全国,12,5分)设A,B,C,D是一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.54答案答案B解析解析设等边ABC的边长为a,则有SABC=aasin60=9,解得a=6.设ABC外接圆的半径为r,则2r=,解得r=2,则球心到平面ABC的距离为=2,所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为96=18,故选B.方法归纳方法归纳多面体与球有关的最值问题主要有三种:一是多面体确定的情况下球的最值问题;二是球的半径确定的情况下与多面体有关的最值问题;三是多面体与球均确定的情况下,截面的最值问题.1.(2018福建福州模拟)已知圆柱的高为2,底面半径为,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于()A.4B.C.D.16答案D如图,由题意知圆柱的中心O为这个球的球心,于是,球的半径r=OB=2.故这个球的表面积S=4r2=16.故选D.
