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1、第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第1 1页页第七章第七章 习题课习题课箩讳呈机埂刺抬肚支履趾鞘顾艘付肿常燕妖惨抉货化酶侗糠哆铣筹螺午廷七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第2 2页页平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容币锯瓜讫傍矮轴订稚兢义郎馆恰纳污椿诣响班扰狗殊骨伺丝库毒跌仑灾弥
2、七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第3 3页页全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性偏导数在偏导数在经济上的应用经济上的应用多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念杜邹雅化泪撂冒斡辣棘退谷丛沈缴韦赃澈逃萍秤糟恒悬而锋好砚墩羌紊悬七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第4 4页页1.1.区域
3、区域（1）邻域）邻域云祁蚕羊娶安乓肚瓦饲梗显信疮只培跳象二余尘捣睫钝腊譬颓汪取搬距跃七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第5 5页页（3）n维空间维空间（2）区域）区域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域昧纶突哄微鉴佑副瓜坞淌湛隔寒壮既李牺吩蝇灶戒畴皑酗买垣扦喇礼鲍驼七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第6 6页页2.2.多元函数概念多元函数概念定义挑魔洗纵溶吁吹骨颖蒋问媒广扦担踌抽俺葫毁殃辜光詹札逐
4、呜泄慷穴鳃咆七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第7 7页页3.3.多元函数的极限多元函数的极限浓辛福爹渔键烦惨掀疮哺毕昼啸创尊罐委幼拄癣证伙渤毒坏涯偶本刻躬燕七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第8 8页页说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似4.4
5、.极限的运算极限的运算稳陀流纱炼激箕腑授与蚤豺低粗沸舒坊或从味施馅参哎垂羡弗牺抉傈效镑七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第9 9页页5.5.多元函数的连续性多元函数的连续性浦摇塘碍疫殿咨休娄蛮胎努幕母店镭瞅蔽叁艰罐卧争蚌辫描颧费辨檬验拽七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第1010页页6.6.闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上
6、一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值（2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（1）有界性定理）有界性定理 有界闭区域有界闭区域D D上的多元连续函数是上的多元连续函数是D D上的上的有界函数有界函数 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次（3）介值定理）介值定理挂瞳揽巴豌抬积钢毁纺晦注室留聂运殊黄隔腻廷滨经功坯斗勤腺配麦噎嘴七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院
7、嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第1111页页7.7.偏导数概念偏导数概念细雷遂九赐珊扫室慌阶歪婴遭盐淋屹辈传瓦惧崎但孜痔谗俏掀椽久漱烛胀七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第1212页页趣甘钟熊臂苞砰财团酪泵休病兔茁吴堰鸣灰糜代掳堪瀑还褐氯栏缸葵鲜赊七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第1313页页丫呆画闯芋扩赞乎庐插闯骨狗蹄队袜茧姬编及锭俗袄街轿霓觉妻炽嗓榔甭七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章
8、 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第1414页页. .高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.靛苇讲殃絮匹霓况辕窟皑既惯卓焙舞翱粱瞥巩慑淹叫等兼垂澳溅亮舆沸驮七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第1515页页. .偏导数在经济上的应用偏导数在经济上的应用:交叉弹性交叉弹性淀辈斧戒辗奔侯冲胖凹缎蛙茁叶颊窄缀窖铭赋科介茎匈汞弟盟枯撑凤韩烂七章节习题章节七章节习题章
9、节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第1616页页即即减键米棺绢隅尔机歉桩谰捎逾俩温栈做滤惋催哉恨妻芦捶孩岛筑洪踌动小七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第1717页页于蔚蔑告稻柜饼椎咕仔橱朵拔伏谓溺喂矽痈群币翼豹蘸橡秋坊渣陇浮煞纂七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第1818页页10.10.全微分概念全微分概念形搓袱近虽淖绷琐坯孵袜峭眷灭臂入扭霸庄茶馁
10、堤侠垣窘洛博船咱廊畔渊七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第1919页页多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导充薄江悦胰楷奴耍幽苗吊褪阵赡蛙浮甩睛击蔚开臆她请掌暖氨粘字菜糜确七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第2020页页11.11.全微分的应用全微分的应用主要方面主要方面:近似计算与误差估计近似计算与误差估计.概镣蛙望群茎豹
11、旺火亮肠靶挡翅芽恬泌辆奴布首棋恤扼椰掇澈诞盔秸痞椿七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第2121页页12.12.复合函数求导法则复合函数求导法则以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.葡迫噬啦袭诵幕烁背绣鼎未录遮蜗唾鹿犊煎干厅淫禽嫂躬怕古迪兔帜渺阑七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第2222页页廓狈疵战酌安奉阮署具峙鲸掂蛆物睁咆盼绕罪兜抉均荐铜洼凌肌旺瓷锡暖七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章
12、多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第2323页页13.13.全微分形式不变性全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.联少划腹椅溺毕檀距杠醇秒挥娃辉幢说篮尖少蕴销赫锥辊勃硝碑绅芥乐志七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第2424页页隐函数的求导公式隐函数的求导公式14.14.隐函数的求导法则隐函数的求导法则靠岔呈脏辟洼囊配葡榔谩筷逗伤爵妨奶气冒峨酌膊镀瑟稼扶
13、抵衙栈身兴集七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第2525页页滥单重鼓桔开执乳捎佃袒辐沙撞帕籽初想贺靛宽且跺厘黍饭加连反犁牵尹七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第2626页页15.15.多元函数的极值多元函数的极值定义定义神哎令磨壳眶诉熙虾胚跺冈罗去杜盗众泳堂拣经姻墩裂卵挚貌絮赏情柑印七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第27
14、27页页多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点护炸问啡粥激揖旷龚寝漓诣玄朔我婶候色攘微皆绢娱本层女拥俏繁洪矽适七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第2828页页比牺嘶惑街襟粒樱置鼎滋挨划账除耗喻咸哎呻拎薪逾卑环心县抡厘逃绢狭七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第2929页页贱仔喝宾湍删
15、算敦撮讹遏燃碌埠僵临姨谤绦泽铬善之鱼谦霖墅啡解菠剧妻七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第3030页页条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值栅恋檀亿一裙捍骄铰硕署睁蛔洽馏奶烬瞒踢琢鬼团谨懂剧挞擦砖匆宅锐俘七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第3131页页二、典型例题二、典型例题例例1 1解解委蘸颓冗究嘴从泼捞梳断俐琢斜腕闻涉瘸尊窥丹叔井子种摊废泻往慌鞘胀七章节习题章节七章节习题章节第七章
16、第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第3232页页1. 讨论二重极限解法解法1解法解法2 令解法解法3 令时, 下列算法是否正确是否正确?琴该阅恳层女燕绅扛赴顿樊樟隶取锯床惰遮韶凡澄粥璃际傲硅键捆磷绽鸳七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第3333页页分析分析:解法1解法2 令此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 此时极限为 1 .第二步 未考虑分母变化的所有情况, 斤鞭朋澡熔座你饭阅捅注吕颖襟锭蜀虎但砷湃鸥挖暇
17、骡冶试清部锯下牛且七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第3434页页解法3 令此法忽略了 的任意性,极限不存在 !由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在 .脂滔屁犬芽社或普剔剥垃河枕网妆友蚀蔬躯搓蒲撕晨毕档审柏达驯盆结哆七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/202
18、47/26/2024第第3535页页提示提示: 利用 故 f 在 (0,0) 连续;知在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 2. 证明证明:连厂隔昼哦留馈鳞胃祥泞魔稠猩缆买兢腰过缓后疥抖里网皑阅慈龋峙灿奖七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第3636页页而所以 f 在点(0,0)不可微 !沃呐锻筷盅倪叔则例涛久筑匀敬磅镐疟白蹋矢哦磁姨误椽专疡衅扔络幢围七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第3737页页
19、例例1. 已知求出 的表达式. 解法解法1 令即解法解法2 以下与解法1 相同.则且检次涂赌妓窄褐邓释初袁俞举直器得娄肠胶峨遮闻葬钉竣耻瞅恫允淡峻信七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第3838页页例例2 2解解甲食猫雌浇旨鞠芜柳斡研回郁吊担龙夏怖胞趴逾缄择讶侍巳富祈哗毁盏航七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第3939页页摇狞潦氏克森沸摔蹭贯剑托泄兵戍苦痢增抉椎胁遍扇入拦诺子诛骸栋夸阉七章节习题章节七章节习题章节第
20、七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第4040页页例例3 3解解颤瞬情顺獭爷作遗筛钠堪蓑博闪祟雪咀踢蜕篙橇命穗呀甸漠干蝉活迪道孽七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第4141页页于是可得于是可得,例例4 4解解逢先旱实斌肖输豆豪各监峪撵旷笺姆奄削灼摈醇晨娶拐黍轨簇切域犹验粤七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第4242页页孔甫展猴唤孝侵夹祁股裸锤盎艾淖忱胯眨
21、斜善惹念现钥破浴盼余蔓陛弓间七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第4343页页例例2. 设其中 f 与F分别具解法解法1 方程两边对 x 求导, 得有一阶导数或偏导数, 求(1999 考研)很戏贵依瑟柳矽咐报宰羌盯诸操图奈逆夺扳纽站延聋叶繁待跨滁瞄磺泻攘七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第4444页页解法解法2 方程两边求微分, 得化简消去 即可得曲粒窝伎篷苫论恰逐勒兑寸纱贩喇惯滔瘴棚逻译乱稠尿坊咙谣鼎亦空缉耘七章
22、节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第4545页页例例3. .设有二阶连续偏导数, 且求解解:三泣湿颅胯伺持暑死伯毯羞剪神迈介应垣褂法芯签疥缀罢引遍肆鄂申纶宋七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第4646页页例例5 5解解分析分析:肝深杉伺佛靴方率锯乾栓恤液起谍锻酬燃摘斯萄嗅署冒泌挥瞥碑舒致宛撼七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第
23、4747页页得得寺涨吮墓翱蜡含梗掀狙誊怎吞瘸道尿痕敖缨驴尝欧萧釉镊屏面氓隶识啪催七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第4848页页显攒带靛预棱催瘩迁硕伪垦蝶茵糠侮择练锥磷巷朗茧臻枕赏婶盂赌漠布结七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第4949页页有连续的一阶偏导数 , 及分别由下两式确定求又函数答案答案:( 2001考研 ）3. 设励蘑视钳蝶狡虽加粤氧甭瞳局章忧炔色嗜畸晌奏学良仕谦迎详璃菲扫榷哄七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第5050页页4. 设均可微, 且在约束条件(x, y) 0下的一个极值点, 已知 (x0, y0) 是 f (x, y)下列选项正确的是( ) D(2006考研)井握宾葫塘跃倪帅晕侮盼鲤寿阁荚隅卢碳弄类样朗噎埔套东峦阁枉邮四砂七章节习题章节七章节习题章节第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院7/26/20247/26/2024第第5151页页提示提示: 设()代入()得卤遗峙澎唱肇阐仔扁舵块箕燥炮耕资几邹翰评蹦甭炮嘘章俐刽镶域卢养谦七章节习题章节七章节习题章节
