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1、主要内容：主要内容：一、数列极限一、数列极限二、函数极限二、函数极限第一章第一章 函数与极限函数与极限 第二节第二节 极限的概念极限的概念1“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放魏晋魏晋.刘徽刘徽一、数列极限引例引例2“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽11正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形
2、的面积122 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”131、数列的定义例如：例如：14注：注：1. 数列对应着数轴上一个数列对应着数轴上一个点列点列.可看作一可看作一动点动点在数轴上依次取在数轴上依次取2. 数列是数列是整标函数整标函数15播放播放2、数列的极限、数列的极限1629问题问题:当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:3031注：定义中的定义中的“当当n无限增大时无限增大时，xn无限接近于某个确定的数无限接近于
3、某个确定的数a”的意思是：在的意思是：在n无限增大的过程中无限增大的过程中，xn与常数与常数a的距离的距离|xn-a|可以可以任意小任意小，要它多小就能有多小要它多小就能有多小.3233二、常用的数列极限公式二、常用的数列极限公式34数列极限四则运算法则：数列极限四则运算法则：35例例2 2求下列数列极限：求下列数列极限：解解36(3) 由于由于因为因为37(4) 由于由于因此因此(5) 由于由于因此因此38练习练习:求下列极限求下列极限:解解:39三、数列极限的性质1、有界性有界性例如例如,有界有界无界无界40定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证由定义由定义,注意：
4、注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .412、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列每个收敛的数列只有一个极限只有一个极限. .证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.423、子数列的收敛性、子数列的收敛性注意：注意：例如，例如，43定理定理3 3 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同相同证证证毕证毕44一、函数极限的记法右极限右极限左极限左极限函数的极限函数的极限45常用极限符号常用极限符号46二、由函数图形认识函数极限例例1 1解解47也可表示为：也可表示为：注意注意
5、48例例2 2解解49显然，由定义可知有下述结论.50例例3 3解解5152O53例例4 4解解54例例5 5解解55常用的常用的极限极限公式公式56例例6 6解解因此因此三、由函数值认识函数的极限57因此因此5859定理定理60例例7 7解解61因此因此62例例8 8解解6364常用极限公式常用极限公式:65例例9解解: :函数在函数在x=0的左右两侧的表达式的左右两侧的表达式不同不同, ,故必须分别求左右极限故必须分别求左右极限. .66左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例10证证67由定义可知，显然有下列结论：68 这是因为 练习 函数当x0时的极限不存在69四、函数极限的性质定理定理2（函数极限的局部有界性函数极限的局部有界性）定理定理1（函数极限的惟一性函数极限的惟一性）70定理定理3 (函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性)推论推论定理定理371例例11证证72二者不相等二者不相等,73意义：意义：定理定理4 4这一性质是用这一性质是用变量替换变量替换求极限的理论基础，求极限的理论基础，74例例10解解 (1) 由于由于7576例例1111解解77内容小结1.数列极限 ；2. 函数极限78课堂练习7980练习练习:P30. 1;P38. 1、2、3、4.81
