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1、式中式中a为晶格常数。计算为晶格常数。计算: 1）电子在波矢）电子在波矢k的状态时的速度；的状态时的速度；2）能带底部和能带顶部电子的有效质量）能带底部和能带顶部电子的有效质量5.1 设一维晶体的电子能带可以写成设一维晶体的电子能带可以写成解：电子在波矢解：电子在波矢k状态时的速度状态时的速度电子的有效质量电子的有效质量能带底部能带底部能带顶部能带顶部有效质量有效质量有效质量有效质量晶晶格格常常数数为为2.5 的的一一维维晶晶格格，当当外外加加102 V/m和和107 V/m的的电电场场时时，分分别别估估算算电电子子自自能能带带底底运运动动到到能能带带顶顶所所需需要要的时间。的时间。能带底到能
2、带顶能带底到能带顶 k 的变化为的变化为 /a，所需时间，所需时间5.2解：解：电子倒空间里电子倒空间里 k 方向上匀速运动方向上匀速运动E=100 V/mE=107 V/m5.3 试证在磁场中运动的布洛赫电子，在试证在磁场中运动的布洛赫电子，在k空间中轨迹空间中轨迹面积面积Sn和在和在r空间的轨迹面积空间的轨迹面积An之间的关系为之间的关系为解：在磁场中电子运动方程为解：在磁场中电子运动方程为SI制制所以电子在所以电子在k空间中轨迹面积空间中轨迹面积Sn和在和在r空间的轨迹面积空间的轨迹面积An之间有如下关系之间有如下关系5.4 （1）根据自由电子模型计算）根据自由电子模型计算K的德的德哈斯
3、哈斯-范范阿阿尔芬效应的周期尔芬效应的周期D D(1/B)（2）对）对B=1T，在其实空间中电子运动轨迹的面积，在其实空间中电子运动轨迹的面积有多大？有多大？解：（解：（1）德德哈斯哈斯-范范阿尔芬效应的震荡周期为阿尔芬效应的震荡周期为SF为垂直于磁场方向和费米面的极值轨道面积为垂直于磁场方向和费米面的极值轨道面积在自由电子模型下，费米面为球面，即在自由电子模型下，费米面为球面，即K为单价为单价Bcc金属，金属，n=N/V=2/a3，a=5.2，（2）由）由5.3题有题有k空间轨迹面积空间轨迹面积Sn与与r空间轨迹面积关系空间轨迹面积关系则当则当B=1T，在真实空间中运动轨迹面积为，在真实空间
4、中运动轨迹面积为因而该效应只能在低温纯净样品中才可能观察到因而该效应只能在低温纯净样品中才可能观察到外加磁场外加磁场B相对于椭球主轴方向余弦为相对于椭球主轴方向余弦为1) 写出电子的准经典运动方程写出电子的准经典运动方程2) 证明电子绕磁场回转频率为证明电子绕磁场回转频率为其中其中5.5 设电子等能面为椭球设电子等能面为椭球解解 恒定磁场中电子运动的基本方程恒定磁场中电子运动的基本方程电子的速度电子的速度电子能量电子能量电子的速度电子的速度磁感应强度磁感应强度代入电子运动方程代入电子运动方程应用关系应用关系电子运动方程电子运动方程令令 有非零解，系数行列式为零有非零解，系数行列式为零无意义无意
5、义旋转频率旋转频率其中其中导出导出k = 0 点上的有效质量张量，并找出主轴方向。点上的有效质量张量，并找出主轴方向。5.6 若已知若已知电子的倒有效质量电子的倒有效质量设矩阵设矩阵P的本征值为的本征值为 ， 则则解得解得主轴的取法主轴的取法 ， 要求要求三个主轴方向可取为三个主轴方向可取为5.7 天体物理中的费米气体天体物理中的费米气体（a）已知太阳质量）已知太阳质量Ms=21030 kg，试估计太阳中的电，试估计太阳中的电子数。如在白矮星中可离化出同样多的电子，子数。如在白矮星中可离化出同样多的电子，把它们限制在半径为把它们限制在半径为2109 m的球中，求电子的的球中，求电子的费米能费米
6、能（b）在相对论极限下）在相对论极限下e emc2，电子能量与波矢的关，电子能量与波矢的关系为系为e e Pc= kc，证明在此极限内费米能近似为，证明在此极限内费米能近似为e eF=3 c(N/V)1/3（c）若上述数目电子限制在半径为）若上述数目电子限制在半径为10 km的脉冲星中，的脉冲星中，证明费米能约为证明费米能约为108 eV。利用这个数值说明为什。利用这个数值说明为什么可以认为脉冲星主要是由中子而不是电子和么可以认为脉冲星主要是由中子而不是电子和质子组成的质子组成的解：（解：（a）估计太阳中的质子数）估计太阳中的质子数N，令，令Na表示太阳的原子表示太阳的原子总数，总数，Z为平均
7、原子序数，则为平均原子序数，则太阳质量为太阳质量为me为电子质量，为电子质量，m为平均原子核的质量为平均原子核的质量m可近似取核中质子质量的可近似取核中质子质量的2倍，即倍，即其中其中mp为质子质量为质子质量太阳中电子数约为太阳中电子数约为如在白矮星中可离化出同样多的电子，把它们限制如在白矮星中可离化出同样多的电子，把它们限制在半径为在半径为2107 m的球中，电子的费米波矢为的球中，电子的费米波矢为费米能为费米能为（b）电子能量随电子气体密度增加而增加，当电子能量）电子能量随电子气体密度增加而增加，当电子能量比比mc2大得多时，成为超电子相对论电子气体。这时电子大得多时，成为超电子相对论电子
8、气体。这时电子的能量和动量关系为的能量和动量关系为对于量子态数和费米波矢对于量子态数和费米波矢kF来说，仍假设和非相对论电来说，仍假设和非相对论电子气体一样子气体一样此时费米能等于此时费米能等于得证得证将太阳中电子限制在半径为将太阳中电子限制在半径为10 km的脉冲星中，的脉冲星中，费米能为费米能为即费米能约为即费米能约为108 eV量级。量级。因而可以认为脉冲星主要是由中子而不是电子和质因而可以认为脉冲星主要是由中子而不是电子和质子组成的子组成的假设电子具有假设电子具有108 eV的能量，而中子与质子质量差为的能量，而中子与质子质量差为该能量已明显低于电子能量，因而电子可与中子发生如该能量已明显低于电子能量，因而电子可与中子发生如下反应形成中子下反应形成中子能量差为能量差为
