演绎归纳类比课件

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1、推理推理就是从一个或几个已知判断推出一个新判断的思维形式。任何推理都是由两部分组成，一部分是推理所依据的已知判断，即前提；一部分是推出的新判断，即结论。推理分为演绎推理、归纳推理和类比推理演绎推理所谓演绎推理，是由一般性知识的前提，推出个别性知识结论的推理，即从一般到个别的推理。三段论：大前提、小前提和结论公理一：凡肯定一类就能肯定一类中的一部分公理二：凡否定一类就能否定一类中的一部分演绎法归纳推理归纳推理是以个别知识的判断为前提，推出一般性知识的判断为结论的推理。根据前提中是否考察了某类事物的全部对象，归纳推理可分为完全归纳推理和不完全归纳推理两种。归纳推理的几个特点1.归纳是依据特殊现象推

2、断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上归纳推理的一般步骤：试验、观察概括、推广猜测一般性结论结论 对于所有的自然数n,前五个均是质数4=2+26=3+363+3，83+5，105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 100029+971 1002=139+863,前提: “任何一个大于任何一个大于2 2的偶数都可的偶数都可以表示为两个素数之和以表示为两个素数之和”-歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想结论:目前最

3、佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理 .“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。 例例1.已知数列已知数列an的第的第1项项a1=1，且，且（n=1 , 2 , ),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.分别把分别把n=1,2,3,4代入代入 得得:归纳归纳:例2.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,

4、最少需要移动多少次?n=1时时,n=2时时,n=1时时,n=3时时,n=2时时,n=1时时,n=2时时,n=1时时,n=3时时,n=4时时,n=3时时,n=2时时,n=1时时,n=4时时,n=3时时,n=2时时,n=1时时,归纳归纳:例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.4 46 64 45 55 56 65 59 98 84 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 610104 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 61

5、0107 77 79 916169 91010151510101515F+V-E=2F+V-E=2猜想欧拉公式类比推理类比推理是两个对象在一系列属性上相同，而且已知其中一个对象还具有其他属性，由此推断另一个对象也具有同样属性的推理。 类比的推理是一种“合情推理”，不是证明，它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系。但是，它是获得新思路，新发现的一种观点、一种手段。类比推理是探索真理的重要逻辑形式。 类比推理的逻辑形式类比推理的逻辑形式类比推理可用如下公式表示：A对象具有a、b、c、d属性，B对象具有a、b、c属性，因此，B对象可能也有d的属性类比推理的特征类比推理的特征(1) 类比

6、推理的方向是从个别到个别，或从一般到一般。(2) 类比推理的结论是或然的。类比的结果是猜测性的不一定可靠不一定可靠,但它却有发现发现的功能的功能. 检验猜想检验猜想。观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤: 找出找出两类对象之间可以确切表述的两类对象之间可以确切表述的相似特征相似特征； 用一类对象的已知特征去用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；从而得出一个猜想；即即类比推理的一般模式类比推理的一般模式:所以所以B B类类事物事物可能可能具有具有性质性质d. .A A类事物具有性质类事物具有性

7、质a, ,b, ,c, ,d, ,B B类事物具有性质类事物具有性质a, ,b,c, ,( (a, ,b, ,c与与a, ,b, ,c相似或相同）相似或相同）1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯;2.人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星是绕太阳运行、绕轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在.若若 ， 则则 若若 ， 则则 利用利用平面向量平面向量的性质类比得的性质类比得空间向量空间向

8、量的性质的性质例例3.在平面几何里在平面几何里,有有勾股定理勾股定理: “设设ABC的两的两边边AB、AC互相垂直，则互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展拓展到空间，到空间，类比平面几何的勾股定理类比平面几何的勾股定理， “设三棱锥设三棱锥A-BCD的三个侧面的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相两两互相垂直，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系垂直，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系,可以得出的猜想是可以得出的猜想是_.”DABCabcc2 2= =a2 2+ +b2 2 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理, , 得空得空间中四面体性质的猜想间中四面体性质

9、的猜想3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体PDFPDEEDF90 4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面” S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面” S例例4 4、试将平面上的圆与空间的球进行类比、试将平面上的圆与空间的球进行类比. .圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合点的集合. .球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合合. .圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质

10、与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等, ,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点( (x0 0, ,y0 0) )为圆心为圆心, r, r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为( (x- -x0 0) )2 2+(+(y- -y0 0) )2 2 = = r2 2圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面( (圆面圆面) )的圆点的连线垂直于截面的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面

11、面积不与球心距离不相等的两截面面积不相等相等, ,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点( (x0 0, ,y0 0, ,z0 0) )为球心为球心, r, r为半为半径的球的方程为径的球的方程为( (x- -x0 0) )2 2+(+(y- -y0 0) )2 2+(+(z- -z0 0) )2 2 = = r2 2例例5:5:利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积例例6.利用等差数列性质类比得等比数列性质利用等差数列性质类比得等比数列性质n+m=p+q时时,am+an= ap+aqn+m=p+

12、q时时,aman= apaq任意实数任意实数a、b都有等都有等差中项差中项 ，为，为当且仅当当且仅当a、b同号时才同号时才有等比中项有等比中项 ，为，为成等差数列成等差数列成等比数列成等比数列下标等差下标等差,项等差项等差下标等差下标等差,项等比项等比例例4：试根据等式的性质猜想不等式的性质。：试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1) a=ba+c=b+c;(2) a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1) aba+cb+c;(2) ab acbc;(3) aba2b2;等等。等等。思考思考：这样猜想出的结论是否

13、一定正确呢？：这样猜想出的结论是否一定正确呢？又如又如, ,在平面内，若在平面内，若ac, ,bc, ,则则a/b. . 类比到空间，你会得到类比到空间，你会得到 什么结论？并判断正误什么结论？并判断正误. .错误错误 （可能相交）（可能相交）猜想猜想:在空间中，若在空间中，若a a g g，b b g, g, 则则a a/b b。归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理的共同点 归纳推理归纳推理和和类比推理类比推理都是根据已有的事实都是根据已有的事实, ,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为比，然后提

14、出猜想的推理，我们把它们统称为合合情推理情推理. .从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想分割问题中的类比分割问题中的类比 1 问问 题题：5个个平平面面最最多多把把空空间间分分为为几几个个部部分分？ 平平面面互互相相尽尽可可能能多多地地相相交交，才才能能分分割割最最多多。如如果果5个个平平面面全全都都平平行行，那那末末空空间间分分成成的的是是6部部分分，就就较较少少。但但5个个平平面面如如何何相相交交最最多多以以致致分分割割最最多多，一一时时也也想不清楚，先把问题一般化，再把问题特殊化，逐渐想不清楚，先把问题一般化，再把问

15、题特殊化，逐渐找规律。找规律。 2问题一般化：问题一般化：n个平面最多把空个平面最多把空间分为几个部分？间分为几个部分？ 记分为记分为 个部分，再令个部分，再令 把问题特殊化把问题特殊化。 3问问题题特特殊殊化化：从从简简单单的的情情况况做做起起，以以便便“类比类比” 由由此此我我们们想想到到了了空空间间的的四四面面体体，这这似似乎乎是是四四个个平平面面相相交交最最多多（从从而而分分割割最最多多）的的情情况况，把把四四面面体体的的四四个个面面延延展展成成四四个个平平面面，是是否否就就能能把把空空间间分分为为最最多多的的部部分分呢呢？到到底底现现在在把把空空间间分分成成了了几几个个部部分分呢呢？

16、暂暂难难想想象象。由由此此我我们们想想到到去去类类比比“直直线线分分割割平平面面”的的情情形。形。 4 类比类比3条直线分割平面的情形条直线分割平面的情形 这这也也可可以以看看成成是是把把三三角角形形的的三三条条边边均均延延长长为为直直线线，看看这这3条条直直线线把把平平面面分分为为几几部部分分。数数一一数数，是是7部部分分。这这对对我我们们有有什什么启示？么启示？ 我我们们分分析析一一下下这这7个个部部分分：是是有有限限的的部部分分，原原三三角角形形内内部部；而而几几个个无无限限部部分分，或或与与原原三三角角形形有有公公共共顶顶点点（，），或或与与原原三三角角形形有有公公共共边边（，）。）。

17、 把把它它们们加加起起来来，于于是是1+3+3=7。所所以以3条条直直线线分分割割平平面面，最最多多分分为为7个个部部分分。 5 类类 比比 考考 虑虑 四四 面面 体体 的的 四四 个个 面面 延延 展展 成成4个个 平平面面，把把空空间间分分为为几几个个部部分分：有有限限部部分分（四四面面体体内内 部部 ） 数数 为为1； 无无 限限 部部 分分 与与 原原 四四 面面 体体 或或 有有 一一 个个公公共共顶顶点点（有有4个个部部分分），或或有有一一条条公公共共棱棱（有有6个个部部分分），或或有有一一个个公公共共面面（有有4个个部部分分），于于是是所所分分空空间总的部分数为间总的部分数为

18、1+4+6+4 = 15 。 以下仍要考虑以下仍要考虑 这这就就是是一一开开始始提提出出的的问问题题：5个个平平面面最最多多把把空空间间分为几个部分？分为几个部分？ 这这 一一 问问 题题 在在 平平 面面 上上 的的 类类 似似 问问 题题 是是 什什 么么 ？ 是是5条条 还还 是是4条条 直直 线线 分分 割割 平平 面面 ？ 又又 如如 何何 类类 比比 ？ 想想 不不清清 楚楚 了了 。 对对 我我 们们 来来 说说 ， 不不 如如 在在“一一 般般 情情 形形”下下 考考虑虑 问问 题题 ： 个个 平平 面面 分分 割割 空空 间间 和和 条条 直直 线线 分分 割割 平平 面面

19、。 条条 直直 线线“处处 于于 一一 般般 位位 置置”的的 要要 求求 也也 可可 以以 说说 是是 ： 任任何何 两两 条条 不不 平平 行行 ； 任任 何何 三三 条条 不不 共共 点点 。 个个 平平 面面“处处于于 一一 般般 位位 置置”的的 要要 求求 是是 ： 任任 两两 平平 面面 不不 平平 行行 ； 任任四四 平平 面面 不不 共共 点点（ 或或 说说 任任 三三 平平 面面 不不 共共 线线 ） 这这 是是 四四平平面面不不共共点点的的必必要要条条件件，并并非非充充分分 。 进而，我们类比直线上的问题：进而，我们类比直线上的问题： 个一般个一般位置的点分割直线的问题。

20、位置的点分割直线的问题。 这一问题比较简单：这一问题比较简单： 个点最多把直线分为个点最多把直线分为 个部分。这个部分。这对我们会有启发。对我们会有启发。 如果我们把极端情况如果我们把极端情况有零个分割元素有零个分割元素的情况的情况也考虑在内，那么被也考虑在内，那么被“分割分割”成的成的部部分数是分数是1。 下图综合列出点分直线、直线分平面、平下图综合列出点分直线、直线分平面、平面分空间的已取得的结果。面分空间的已取得的结果。 6 类比一般化类比一般化 （解释记号（解释记号 ，然后看图），然后看图） 于于是是，我我们们得得到到了了一一系系列列待待解解决决的的问问题题。孤孤立立的的问问题题有有时

21、时难难于于理理解解，而而解解决决系系列列问问题题有有时时比比解解决决弧弧立立问问题题好好入入手手。现现在在，原原问问题题 “ ” 已已处处在在系系列列问问题题之之中中，比比之之原原来来的的情情形形，求求解解已已有有进进展展。 7（用类比的观点）猜想（用类比的观点）猜想 观察上表中已得到的结果，表中的数字间有什么观察上表中已得到的结果，表中的数字间有什么联系？有什么规律性？联系？有什么规律性？ 从最右一列，先以为有从最右一列，先以为有“2的方幂的方幂”的规律，但的规律，但8后后边的边的 表明这个猜想不对。表明这个猜想不对。 反复求索的结果，我们可能忽然看到表中有反复求索的结果，我们可能忽然看到表

22、中有 3 4； 7 8 7 15 ， 以及联想到以及联想到 3+4=7，7+8=15。 这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可由它由它“头上头上”的数与的数与“左肩左肩”上的数相加而得到。上的数相加而得到。 这这是是我我们们解解决决原原问问题题的的钥钥匙匙吗吗？我我们们猜猜想想它它确确是是规规律律。那那我我们们把把表表按按此此规规律律， 顺顺沿沿到到 ，原原问问题题的的解解就就是是 ？ 类比不是证明类比不是证明 但但这这种种类类比比不不是是证证明明，只只是是合合理理的的猜猜测测；还还需需要要分分析析这这一一猜猜测测，以以便便证证实实这这一一猜猜测测

23、，或或者者否否定定这这一一猜猜测测。这这才才是是用用类类比比、归归纳纳的的方方法法去去研研究究问问题题的的决决定定性性步步骤。骤。 8分析、推理分析、推理 我我们们的的分分析析从从 “ 时时直直线线分分平平面面”入入手手，我我们们已已经经通通过过“顺顺沿沿上上表表”猜猜想想：4条条直直线线最最多多把把平平面面划划分分为为11个个部部分分。它它是是正正确确的的吗吗？我我们们在在3条条直直线线分分平平面面 为为7个个部部分分的的基基础础上上，再再添添加加一一条条直直线线（用用红红色色），这这条条直直线线与与原原来来的的每每条条直直线线都都相相交交，但但又又不不过过任任意意两两条条直直线线的的交交点

24、点。如如右右图图。我我们们数数一一下下，现现在在确确实实把把平平面面分分成成了了11个个部部分分。所所以以这这猜猜测测是是对对的的，但但它它为为什什么么是是对对的的呢呢？我我们们再再作作分分析析，增增加加一一些些理理性性认认识识 ， 也也 许许 还还 能能 从从 中中 找找 到到 理理 解解 一一 般般 情情 形形 的的 线线 索索 。 3条条直直线线分分平平面面为为7个个部部分分；4条条直直线线就就分分平平面面为为11个个部部分分了了，即即增增加加了了4部部分分；从从3条条直直线线添添一一条条直直线线，为为什什么么分分割割平平面面正正好好多多出出4部部分分？分分析析一一下下：新新添添的的直直

25、线线与与原原来来3条条直直线线每每条条都都相相交交，而而且且交交在在与与原原交交点点不不同同的的点点，这这就就交交出出了了3个个新新交交点点，这这3点点把把新新添添的的直直线线分分为为4段段，每每一一段段把把它它穿穿过过的的（由由前前3条条直直线线分分成成的的）那那个个区区域域一一分分为为二二，因因此此“平平面面分分割割”增增加加了了4个个部部分分，这这就就是是“4”的的来来历历，而而且且这这个个分分析析表表明明，这这个个“4”也也正正是是3点点把把直直线线分分为为4部部分分的的“4”，也也就就是是“11”左左肩肩上上的的“4”。11=4+7原原来来是是这这样样产产生生的的。这这种种分分析析已

26、经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对已经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对所发现的规律的信心。所发现的规律的信心。 9再类比得一般情形的公式再类比得一般情形的公式 及及 我我们们再再类类比比分分析析 时时平平面面分分空空间间的的情情况况。这这时时我我们们不不容容易易在在平平面面的的黑黑板板上上作作立立体体图图了了，只只能能借借助助于于刚刚才才四四面面体体延延展展的的那那个个图图来来想想像像。但但是是我我们们可可以以从从思思维维上上、语语言言上上类类比比刚刚才才的情形。的情形。 我我们们在在3个个平平面面分分空空间间为为8个个部部分分的的基基础础上上，再再添添加加一一个个平平面面

27、，这这个个平平面面与与原原来来的的3个个平平面面都都相相交交，并并且且又又不不过过原原来来3平平面面的的交交点点，从从而而不不过过原原来来任任两两平平面面的的交交线线，这这就就交交出出了了3条条新新直直线线，这这3条条直直线线把把新新添添加加的的平平面面分分为为7个个部部分分（就就是是上上面面“类类比比一一般般化化”的的大大表表格格中中的的“7”），每每一一部部分分把把它它穿穿过过的的（由由前前3个个平平面面分分成成的的）区区域域一一分分为为二二，因因此此“空空间间分分割割”增增加加了了7个个部部分分，而而原原有有8个个部部分分，这这就就是是15=7+8的的来来历。历。 这这 里里 的的 到到

28、 的的过过渡渡，并并没没有有任任何何特特殊殊的的地地方方，我我们们可可以以完完全全类类似似地地分分析析由由 向向 过过 渡渡 时时发生的情况，得到一般的表达式。发生的情况，得到一般的表达式。 与段落与段落 “8” 类似地可以得到公式：类似地可以得到公式： 我们只再叙述一遍较为复杂的我们只再叙述一遍较为复杂的公式公式 个个平平面面把把空空间间最最多多分分为为 个个部部分分，求求 ，不厌其繁地详细说一遍，就是：不厌其繁地详细说一遍，就是： 我我 们们 在在 个个 平平 面面 分分 空空 间间 为为 个个 部部 分分 的的 基基础础上上，再再添添加加一一个个平平面面，这这个个平平面面与与原原来来的的

29、 个个平平 面面 都都 相相 交交 ， 并并 且且 又又 不不 过过 原原 来来 任任3个个 平平 面面 的的 交交 点点 ， 从从而而不不过过原原来来任任两两平平面面的的交交线线，这这就就交交出出了了 条条 新新 直直线线 ， 这这 条条 直直 线线 把把 新新 添添 的的 平平 面面 分分 为为 个个 部部分分，每每一一部部分分把把它它穿穿过过的的（由由前前 个个平平面面分分成成的的）区区域域一一分分为为二二，因因此此，“空空间间分分割割”增增 加加 了了 个个部部 分分 ， 而而 原原 有有 个个部部分分，所所以以现现在在，空空间间共共被被分分割成的割成的“部分数部分数”是是 。 这就是推出这一公式的逻辑推理过程。这就是推出这一公式的逻辑推理过程。 10 推出显公式 及 上边得到的还只是递推公式、关系公式，我上边得到的还只是递推公式、关系公式，我们希望进一步得到像们希望进一步得到像 那样的、关于那样的、关于 及及 的显公式，即直接用的显公式，即直接用 的解析式来的解析式来表达表达 及及 。 下边的技巧是常用的。下边的技巧是常用的。 1） 直线分平面的情形直线分平面的情形 2） 平面分空间的情形平面分空间的情形