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1、第四节 导数的应用 函数的单调性的判别函数的单调性的判别学习重点学习重点函数极值及最值的确定方法函数极值及最值的确定方法曲线凹凸向的判别及拐点的确定曲线凹凸向的判别及拐点的确定第一页，共26页。函数函数(hnsh)(hnsh)的单调性的单调性 yxoabyoabx函数函数(hnsh)单调递增，则单调递增，则函数单调函数单调(dndio)递减，则递减，则由由Lagrange中值定理：中值定理：于是有函数单调性的判别定理于是有函数单调性的判别定理第二页，共26页。函数单调性的判别函数单调性的判别(pnbi)(pnbi)定理定理（1） 如果函数如果函数 在在 内有内有 ，则函数在，则函数在 上是单调
2、递增的。上是单调递增的。（2） 如果函数如果函数 在在 内有内有 ，则函数在，则函数在 上是单调递减的。上是单调递减的。设函数设函数 在在 上连续，在上连续，在 内可导，则内可导，则第三页，共26页。例例1 求函数求函数 的单调区间的单调区间解解 因为因为令令得驻点得驻点当当 时，时，不存在不存在列表列表(li bio)：000第四页，共26页。 所以，函数在所以，函数在 及及 内单调递增，在内单调递增，在 内单调递减。内单调递减。续例续例1：求函数的单调区间的一般方法求函数的单调区间的一般方法(fngf)：（1）求函数的一阶导数；）求函数的一阶导数；（2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；
3、）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；（3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号；）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号；（4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。）根据单调性的判别定理，确定单调区间。 小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在(cnzi)的点可将单调区间分开。的点可将单调区间分开。第五页，共26页。例例5 证明不等式证明不等式证明证明 令令则则所以，当所以，当 时，不等式时，不等式 成立。成立。第六页，共26页。证明(zhngmng)：证（1） （2）第七页，共26页。函数函数(hnsh)(hnsh)
4、的极的极值值极值的概念极值的概念：如果函数：如果函数 在点在点 的某邻域内有定义，对于的某邻域内有定义，对于该邻域内任意该邻域内任意异于异于 点的点的 ，都有，都有 ，则称，则称为函数的一个为函数的一个极小值极小值；如果有；如果有 ，则称，则称 为函数为函数的一个的一个极大值极大值。极大值和极小值统称为函数的。极大值和极小值统称为函数的极值极值。使函数取。使函数取得极值的点称为函数的得极值的点称为函数的极值点极值点。 由于函数在不同的区间的单调性不同，由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图象上会出现因而在图象上会出现(chxin)“峰峰”与与“谷谷”，使函数，使函数值在局部范围内出现值在局
5、部范围内出现(chxin)“最大最大”、“最小最小”，称，称之为函数的极大、极小值。之为函数的极大、极小值。例如例如-13第八页，共26页。 函数的极值是一个局部特性函数的极值是一个局部特性(txng)，最值是全局特性，最值是全局特性(txng)（1）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值；）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值； 如函数如函数Y=x 在区间在区间 1，2 内既无极大值，也无极小值。内既无极大值，也无极小值。（2）可以缺少其一；）可以缺少其一； 如如 y=x2 在区间在区间 -1，2 内，只有极小值。内，只有极小值。（3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数
6、；）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数；（4）极值一定在区间内部取得。）极值一定在区间内部取得。函数函数(hnsh)(hnsh)的极值说明的极值说明第九页，共26页。极值存在极值存在(cnzi)(cnzi)的必要条件（费马定理）的必要条件（费马定理） 如果函数如果函数 在点在点 处可导，且在点处可导，且在点 处有极值，处有极值，则则导数导数(do sh)为零的点称为函数的驻点。为零的点称为函数的驻点。函数在可导点取得函数在可导点取得(qd)极值时，则在该点的切线平行于极值时，则在该点的切线平行于x轴。轴。函数的极值点是驻点或导数不存在的点。费马定理的逆定理不成立。第十页，共26页。
7、极值存在的第一极值存在的第一(dy)(dy)充充分条件分条件设函数设函数 在点在点 的某个邻域内可导（点的某个邻域内可导（点 可除外）可除外）则则 在点在点 处取得处取得极大值极大值；则则 在点在点 处取得处取得极小值极小值；则则 在点在点 处处无极值无极值；第十一页，共26页。极小极小值-1/2-1/2极大极大值0 0+ +0 0_ _不存在不存在+ +(1,+)(1,+)1 1(0,1)(0,1)0 0(-,0)(-,0)单调(dndio)(dndio)增区增区间为(-,0)(-,0)和和(1,+)(1,+)单调(dndio)(dndio)减区减区间为(0,1)(0,1)f (0)=0为极
8、大值；为极大值；f (1)=-1/2 为极小值为极小值 o1练习练习(linx)解解第十二页，共26页。极值存在极值存在(cnzi)(cnzi)的第二充分条的第二充分条件件第十三页，共26页。例例1 求函数求函数 的极值的极值解解 因为因为(yn wi)所以所以(suy)，函数有驻点，函数有驻点而而所以所以(suy)所以，函数有极大值所以，函数有极大值 ，有极小值，有极小值 。 注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，使用第二充分条件判别极值较易；使用第二充分条件判别极值较易；而二阶导数为零的点，必而二阶导数为零的点，必须用第一充分条
9、件判别。须用第一充分条件判别。第十四页，共26页。函数函数(hnsh)(hnsh)的最大值与最小的最大值与最小值值由极小值的特性由极小值的特性(txng)，可知：，可知：极小值极小值 最小值；极大值最小值；极大值 最大值最大值 已有结论：如果函数在已有结论：如果函数在 a,b上连续上连续(linx)，则函数在该区间上，则函数在该区间上一定有最大值和最小值。一定有最大值和最小值。求函数最值的一般步骤与方法求函数最值的一般步骤与方法（1）求函数的导数；）求函数的导数；（2）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存 在的点；在的点；（
10、3）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即为函数在区间上的最小值。为函数在区间上的最小值。第十五页，共26页。例例2 求函数求函数 在在 上的最值。上的最值。解解 因为因为(yn wi)令令得得而而所以函数所以函数 在在 上的最大值是上的最大值是最小值是最小值是第十六页，共26页。例例3（应用题）某细菌群体的数量（应用题）某细菌群体的数量N(t)是由下列函数模型确定：是由下列函数模型确定： 其中其中t是时间，以周为单
11、位。试问细菌的群体在是时间，以周为单位。试问细菌的群体在多少周后数量最大，其最大数量的多少？多少周后数量最大，其最大数量的多少？解解 因为因为(yn wi)令令得得（舍去负值（舍去负值(f zh)）由问题的实际意义，可知由问题的实际意义，可知 时，细菌群体的数量最大，时，细菌群体的数量最大，其数量为其数量为 一般一般(ybn)地，对于实际应用问题，如果可以判断目标函数的最值地，对于实际应用问题，如果可以判断目标函数的最值存在，函数在定义域内又只有唯一驻点，则该驻点即为最值点。存在，函数在定义域内又只有唯一驻点，则该驻点即为最值点。第十七页，共26页。曲线的凹凸曲线的凹凸(o t)(o t)向及
12、拐点向及拐点 yxoabyoabx 定义定义 如果曲线弧总位于它的每一点的切线的上方如果曲线弧总位于它的每一点的切线的上方(shn fn)，则称该，则称该曲线弧是（向上）凹的（曲线弧是（向上）凹的（concave)； 如果曲线弧总位于它的每如果曲线弧总位于它的每一点的切线的下方，则称该曲线弧是（向上）凸的一点的切线的下方，则称该曲线弧是（向上）凸的(convex)凹弧凹弧凸弧凸弧凹、凸弧的分界点，称为曲线凹、凸弧的分界点，称为曲线(qxin)的拐点的拐点(inflection point)。 第十八页，共26页。凹凸凹凸(o t)(o t)弧的判别定理弧的判别定理定理定理 设函数设函数 在区间
13、在区间 上具有二阶导数上具有二阶导数 ，则在，则在该区间上：该区间上：（1）当）当 时，曲线弧时，曲线弧 是向上凹的；是向上凹的；（2）当）当 时，曲线弧时，曲线弧 是向上凸的。是向上凸的。第十九页，共26页。解解 函数的定义域为函数的定义域为 例例1 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。令令得得列表列表(li bio)因为因为(yn wi)第二十页，共26页。所以，曲线在所以，曲线在 及及 内是向上凹的，在内是向上凹的，在 内是向上凸的，有拐点内是向上凸的，有拐点 及及 。解解 函数的定义域为函数的定义域为 例例1 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。令令得得因为因为(yn wi)第二十一页，共26页。例例2 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。 解解 因为因为 所以，当所以，当 时，时， ，当，当 时，时，所以，曲线在所以，曲线在 内是向上凹的，在内是向上凹的，在 内是向上凸的。内是向上凸的。有拐点有拐点 。 小结：二阶导数为零或二阶导数不存在的点，是可能的拐点；小结：二阶导数为零或二阶导数不存在的点，是可能的拐点；这类点可能将凹凸区间分开，但不是这类点可能将凹凸区间分开，但不是(b shi)绝对分开。绝对分开。如曲线如曲线 ，在，在 内是向上凹的，虽然内是向上凹的，虽然但但 不是拐点。不是拐点。第二十二页，共26页。
