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1、第二章 几何证明 本章研究的主要内容： 一、几何证明及其方法 二、几类常见几何问题的证明 三、几个著名的几何定理1;.2.1 几何证明概述2.2.1 命题及其结构1、命题的四种形式（变化）命题的构成 前提（题设）结论命题可分为真命题与假命题数学命题的一般形式（假言命题） 若P，则Q.或 符号“ ”表示推出.2;. 命题的换质否命题命题的换位命题的四种形式逆命题原命题：若P,则Q.逆命题：若P,则Q.逆否命题：若P,则Q.否命题：若P,则Q.(互逆)(互逆)互否互否互逆否3;.命题的四种形式的真假关系： 互为逆否的命题同真假2、逆命题与逆定理逆命题就是逆定理吗？一个定理的逆定理是唯一的吗？. 如
2、“等腰三角形顶角的平分线也是底边的中垂线” 此命题有5个逆定理.4;.5;.BADC6;.3、充分条件、必要条件与充要条件 分析如下命题： (1)平行四边形对角线互相平分. (2)菱形对角线互相垂直.4、证明的意义证明的含义和作用证明的组成 论题即要证明的问题 论据即已知为真的命题 论证即一系列的推理7;.5、证明要严谨 证明中常见的错误有：论题错误、论据不足、论证不充分等 判断一个命题不成立，通常是找反例. 例1 有一组对边相等和一组对角相等的四边形是平行四边形ADBC题设：四边形ABCD中, AD=BC, A=C.求证：ABCD是平行四边形.8;.AFDEBC证明：如图做辅助线(证明略)思
3、考：以上证明有问题吗？问题出在哪里？能举出反例吗？EADBC 如右下图所示，作等腰三角形DAE，在AB边上任取一点B，作等腰梯形BEDC.得四边形ABCD. 显然四边形ABCD符合题目条件，但ABCD非平行四边形.9;. 例2 设两个三角形有两边及外接圆半径成比例，则必相似.(前苏联中学教材中定理)ABCMNO证法一：在如图两三角形中有(O, 是外心)则同理可证：故10;.证法二：如图，则因表圆半径)可见从而证毕思考：以上证明一定成立吗？可考虑的特例，即得：“同园内接两三角形，若有两边分别相等，则必全等”这显然不成立！(如下页图)11;. 例3 一个三角形的两边和其中一边的高，同另一三角形的两
4、边和其中一边的高对应相等，则此两个三角形全等.(这曾经是我国初中课本上的一道习题) 证题思路如下图：12;.作业：作业：1例3中的结论成立吗？如不成立试举出反例.2. 写出命题“两直线夹角的平分线上一点距此两边等远”的逆命题、否命题及逆否命题，并证明其逆命题.3. 证明：圆外切四边形的一双对边之和等于另一双对边之和.叙述并证明其逆定理.3题逆定理证明提示：(用反证法或同一法)13;.2.1.2 直接证法与间接证法 1. 直接证法与间接证法的意义 直接证法 这种由原题入手的证明方法叫直接证法. 间接证法 将一个命题改为它的等效命题来进行证明，这样的证明方法叫间接正法.14;. 反证法 反证法就是
5、证明一个命题时，直接证明不容易，而证明其逆否命题成的一种方法. 运用反证法证明的一般步骤是： 否定结论； 由此结合已知 推出矛盾； 因此原结论不能为假，只能为真。15;. 反证法的类型： 归谬法 结论的反面只有一款。 穷举法 结论的反面有若干款。 应用举例： 例4 园内不是直径的两弦，不能平分。已知：求证： 证明：（用归谬法证）16;. 例5 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。已知：求证：证明：（用穷举法） 17;. 同一法同一法 当欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时，有时候可以作出具有所示性质的图形，然后证明所作图形就是同一个，把它们等同起来。这种证法叫做同一法。 能用同一法证明的
6、命题，实际上是依据事实：具有所示性质的图形是唯一的。 例5 以正方形ABCD的一边CD为底向形内作等腰三角形ECD使其两底角为 ，则是等边三角形。18;.证明方法直接证法间接正法反证法同一法归谬法穷举法（3） 证明方法分类证明方法分类 证明：（同一法） 19;.作业：作业：1.两圆相交，则其交点不能在连心线的同侧.2. 若 与 有公共底边 ，且 ，则点 在 外部.3. 设梯形两腰之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点.4. 以正方形一边为底在正方形所在的一侧作等腰三角形，使其顶角为 ，则将其顶点与正方形另两顶点连接，必构成正三角形.20;.2.1.32.1.3分析法与综合分析法与
7、综合法法 1. 分析法分析法 执果索因 DCBA(因)(果)向下找结论的充分条件21;. 例6 外接于 ，则它们的对角线共点。 证法一：（用分析法证） 欲证它们对角线共点. 只需证AC与EG互相平分. 即只需证AECG是平行四边形. 又只需证AE=CG. 又只需证 ，而此容易得证.22;. 例7 为 的中线 上任一点，且 ，求证： 证明：(用分析法) 欲证 只需证 (注意到 与 )只需证 ， 只需证 ， 式显然成立.23;. 选择性分析法 选择性分析法解题，就是从要求解的结论B出发，希望能一步步把问题转化，但又难以逆推转化，进而转化为分析要及到结论B需要什么样（充分）的条件，并为此在探求的“三
8、岔口”作方向猜想和方向择优。假设有条件C就有结论B，即C就是选择找到的使B成立的充分条件（CB）；同样的，再分析在什么样的条件下能选择及到C，即DC；最终追溯到此结论成立或命题的某一充分条件（或充分条件组）恰好是已知条件或已知结论A为止。 在运用选择性分析法解题时，常使用短语：“只需即可”来刻划。24;. 例8 如图，四边形 的一条对角线 平行于两对对边之交点的连线 ，求证： 平分 . (1978年全国数学竞赛题)BMCNDEFA 分析：欲证的是线段等量关系，可试运用比例线段转化来探讨，但又不易直接证（若作辅助线证又另当别论），从而运用分析法来求解. 证明：设AC交BD于M，交EF于N，则 .
9、25;.BMCNDEFA 要证 BM=MD,作方向猜测，只需证 NE=NF 或 即可. 事实上这不容易证，于是再作方向猜测，欲证BM=MD，只需证 或 即可. 而 ,从而只需证 即可. 又只需证 即可.26;. 而 ,故欲证结论获证.27;. 可逆性分析法 如果在从结论向已知条件追溯的过程中，每一步都推求的充分必要条件，那么这种分析法又可叫可逆分析法。因而用可逆分析法命题用选择性分析法一定能证明；反之，用选择性分析法证明的命题，用可逆性分析法不一定能证明。在可逆性分析法的证明中，常用符号“ ”来表示，或最后指出“上述每步可逆，故命题成立”。28;. 例9 凸四边形的四边长分别为 ，两对角线长为
10、 ，则四边形的面积为： 证明：欲证 ，则需证 注意到计算四边形的另一形式的面积公式(由三角形面积公式推导而来)，两对角线夹角为时，则需证29;.即则需证 再注意到余弦定理，如图有30;.则 上述步骤每步均可逆，故原结论获证. 注：此例结论成为布瑞须赖尔德(Bretschneider，18081878)公式. 31;. 构作性分析法 如果在从结论向已知条件追溯过程中，在寻找新的充分条件的转化“三岔口”处，需采取相应的构作性措施：如假设一些条件，作某些辅助图或式等，再进行探索、推导，才能追溯到原命题的已知条件（或稍作变形处理）的分析法叫做构作性分析法。32;. 例10 如图， 是 的中线，任意引直
11、线 交 于 ，交 于 .求证：. 分析：注意到题中有中点，而求证式是一个比较特殊的比例式.需要转化来求解.证法一： 欲证， 只需证 即可. 若延长AD至H，使，则只需证EFBH. 33;. 而由题设， D为BC中点，则BHCE为平行四边形，即有EFBH. 故原命题获证.证法二： 欲证 ，只需证 即可. 若取FB的中点G，则只需证EFDG即可. 而由题设，D为BC中点，即DG为BCF的中位线，即有EFDG. 故原命题获证.34;.abcdefABCDEF 例11 如图，设凸四边形ABCD的边长分别为a,b,c,d，两对角线长分别为e, f.求证：证明：(留作研究题目) 注：(1)此例是布瑞须赖尔
12、德发现的“四边形余弦定理”. (2)由此例可得托勒密(Ptolemy)定理：四边形中， ，并且等号当且仅当四边形内接于圆时成立. 35;. 设想型分析法 (合情推理) 在向已知条件的追溯过程中，借助于有根据的设想、假定，形成“言之成理”的心构思，再进行“持之有据”的验证逐步地找出正确途径的分析法又称为设想型分析法. 在求解一些关于位置关系、轨迹、作图等问题时，常采用这种方法. 例12 在已知锐角三角形的三边上各找一点，使以三点为顶点的三角形周长最小. 例13 已知两边求作三角形，使这两边上的中线互相垂直.以上两例在学习合情推理时再讨论.36;. 例14 如图，在ABC中，ABAC，求在此三角形
13、内部且到底边的距离等于两腰的距离的几何平均值的点的轨迹.ABCEFHM37;. 2. 综合法综合法由因导果ABCD(果)(因)向下推38;. 深入发掘题设内涵，充分运用已知条件是熟练地运用综合法解题的关键. 例15 外接于 ，则它们的对角线共点。 证法二：（用综合法证） 把分析法与综合法结合起来，在分析中有综合法，在综合法中有分析法或交叉使用去论证，求解命题的思维方法叫做分析综合法。它通常是从一个例题的两点向中间“挤”，这样，容易发现证题的突破口，收到事半功倍的效果。39;.作业：作业：(用综合法或分析法证明下列各题用综合法或分析法证明下列各题)1 中 ，在 上任取一点E，在AB的延长线上取一
14、点D，使BD=EC.证明BC平分DE.2证明等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为常量.3证明等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差为常量.4证明等边三角形内部任意一点到三边的距离之和为常量.(又若此点去在取在三角形外，命题将如何变化？)40;.2.1.4 2.1.4 演绎法与归纳法演绎法与归纳法1. 什么是推理？什么是推理？ 推理是从一个或几个判断得出一个新的判断的思维形式. 推理与证明的区别与联系 最常见的三类推理:归纳推理;演绎推理;类比推理.在几何中还常用到合情推理.2. 归纳推理归纳推理 归纳推理是从特殊到一般的思维方法(归纳法).41;.归纳推理完全归纳枚举法(对象有限
15、)数学归纳法(对象无限)不完全归纳法 枚举法举例 例16 证明在圆内同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍. 证明(略)：(分三种情况进行枚举归纳，即圆心在圆周角的一条边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外)(作出图形进行分析说明)42;. 数学归纳法举例 例17 圆上一点至内接偶数多边形相间各边距离之积,等于该点至其余各边的距离之积. 已知： 是圆内接 边形,圆上一点P到各个边所在直线 的距离依次记为 . 求证： =43;. 证明：(1)当n=2时，即可述为如下命题：从圆上一点到内接四边形ABCD各边做垂线PE、PF、PG、PH,则.(如图) 易证 ,从而易得 .即当n=2时命题成立.PP44;.
16、(2)设定理对于n成立,证明它对于n+1也成立. 如图,由归纳假设对于2n边形 有 =. 而对于四边形 有 .两式相乘约去因子p.即得求证.故,对取任意自然数命题都成立.Pp45;. 不完全归纳举例 例18 凸n边形内角和为 .3. 演绎推理演绎推理 演绎推理是从一般到特殊的思维方法. 演绎推理中最常见的形式是三段论 三段论由三个部分组成:大前提(全称全称判断),小前提(特殊特殊判断),结论(最后的判断). 例如：凡矩形对角线相等，(大前提) 正方形是矩形,(小前提) 所以,正方形对角线相等.(结论)46;.三段论式推理可以用公式表示为：所有的M都是B（大前提）S是M（小前提） 故S是M（结论
17、） 数学证明中演绎推理举例 数学中的三段论,为了叙述简便,常常略去一个前提(多半是大前提),有时甚至略去小前提只写出结论. 例19 (如图) D是线段BC的中点,过D引射线,A是射线上任一点.求证: ACB, ABC的大小顺序不变,与A的位置无关.(以下对证明过程进行剖析)47;.证明： 不妨设ACB ABC,在射线DA上任意取一 , 即需证明 .因为ACB ABC 所以, AB AC (三角形中大角对大边) 则ADB ADC (两三角形若有两边对应相等,则第三边大者对角也大) 因而 （两三角形若有两边对应相等,则夹角大者对边也大) 则 （三角形大边对大角）48;.4类比推理类比推理 什么是类
18、比推理? 根据两个对象在某些属性上的相同而得出这两个对象在其他属性上也可能相同的结论. 如对象A有属性a、b、c、d,对象B有属性a、b、c,那么就可以得出对象B也有属性d这一结论. 类比推理是一中或然性的推理,它只能给人们提供线索、启发人们思考和发现问题,结论是否正确,还必须借助其他方法验证.49;. 类比推理举例 例20 在直角三角形中,有勾股定理.相应的,取空间中这样的四面体:它的三个面是直角三角形,把这四面体的这三个面看成直角三角形的直角边,而把第四面看作斜边.又把这四面体的面积看作直角三角形相应的各边长.于是猜想命题”那三面的面积的和等于第四面的平方” 该问题留给同学们自己研究.50
19、;.5. 合情推理合情推理 什么是合情推理? 论证推理与合情推理的关系 几何问题中的合情推理猜想 例21 过O外两点P、Q，作一圆与此圆相切。51;. 分析：分析：首先设想圆已经作出作法：作法：（略）证明：证明：（略）52;. 例22 由等边三角形内任一点，向三边作垂线，则三垂线段长之和为定值。 分析：分析：（如图，略）证明：证明：（略）53;.作业：作业： 1三角形两边之积等于第三边上的高于外接圆之积.(运用此结论可以证明例20而不用数学归纳法)用普通归纳法证明用普通归纳法证明2-3题题 2. 设圆O与O交于P、Q两点，过Q任作一直线交圆于A、B，则APBOP O. 3. 在ABC中，B2C
20、，ADBC于D，M是BC的中点，求证. 用数学归纳法证明用数学归纳法证明4-5题题4圆内接偶数多边形相间各角之和等于其余各角之和.54;. 5. 从一点M作多边形A1A2、A2A3、AnA1的垂线MH1、MH2、MHn，则. 6. 证明：从圆上一点到其内接四边形一双对边的距离之积，等于从该店到两条对角线的距离之积. 7. 设A、B、C、D为直线上顺次四点，证明欧拉定理： .若使用有向线段，则不论四点顺序如何，上式总成立. 8. 已知两边求作三角形，使这两边上的中线互相垂直.55;. 9. 在 中， ，求在此三角形内部且到底边的距离等于两腰的距离的几何平均值的点的轨迹.56;.2.1.5 2.1
21、.5 几何证明的其他方法几何证明的其他方法面积法、代面积法、代数法、三角法、解析法、复数法、向量法等数法、三角法、解析法、复数法、向量法等 1. .面积法面积法 面积法解题的基本依据面积法解题的基本依据 (1) 几个面积公式几个面积公式 设在ABC中，角A、B、C所对的边依次为a、b、c，ha为a边上的高，R为外接圆的半径，r为内切圆的半径，p为三边之长的一半，SABC表示ABC的面积，则有 57;. 设凸四边形ABCD的边长为a、b、c、d，两对角线长为e、f，两对角线夹角为 ， 表示四边形ABCD的面积，则有 58;. 若记 为一双对角和，则 (2) 几个常用的等积变形定理几个常用的等积变
22、形定理 面积分割原理：一个图形的面积等于它的各个部分面积之和； 两个全等形的面积相等； 等底（含同底）等高的两个三角形面积相等；反之若两三角形等高（或等底）且等积，则它们等底（或等高）；59;. 等积平行定理： ；且点 在BC的同侧 . 相似图形的面积比等于其相似比的平方； 两个同（等）底的三角形（平行四边形）的面积比等于这边上对应高的比； 两个同（等）高的三角形（平行四边形）的面积比等于它们底边的比； (3) 几个常用的面积比定理几个常用的面积比定理60;. 夹在两条平线间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果截得两条线段之比总等于一个常数 ，那么这两个平面图形的面积之比为
23、 ； 共边比例定理：若 与 的公共边所在的直线与直线PQ交于M，则 ； 共角比例定理：若在 与 中， 或 ，则 ； 61;. 内接于同一圆的两个三角形的面积比等于三边乘积的比. (4) 几个重要结论几个重要结论 三角形的三条中线将该三角形分成等面积的六个小三角形. 平行四边形的两条对角线将平行四边形分成面积相等的四个小三角形. 平行四边形一边上任一点与对边两端点的连线将该平行四边形分成等积的两部分. 平行四边形内任一点与四顶点的连线将其分成四个三角形，则对顶的两个三角形面积之和相等. 任意凸四边形两对角线将该四边形分成四个三角形，对顶的两三角形面积之积相等.62;. 面积法解题举例面积法解题举
24、例 例23 用面积法证明勾股定理.BACDEFGHI63;.ABCPDEF 例24 设P是ABC的A平分线上的任意一点，过C引CEPB交AB延长线于E，过B引BFPC交AC的延长线于F，求证：BECF.64;. 2. 代数法代数法 例25 在同底的一切周长相等的三角形中，面积最大的是哪一种三角形？ 证明：(可用代数法证) 借助于代数式的计算而获得几何命题的证明方法叫做代数法. 用代数法证几何题，关键是把图形性质的研究转化为对其数量关系的讨论.也就是说，把几何问题代数化.65;. 例26 已知正方形ABCD，在BC边上任取一点E，过E作AE的垂线交角C的外角平分线于F.求证：AE = EF. 3
25、. 三角法三角法 利用图形已有的三角形(或添加辅助线，出现三角形)和题中给出的某些线段和角的特定关系，通过构成三角函数式，结合三角知识通过三角运算，从而使命题获证的方法称为三角法.它是几何证明中的一种常用方法. 证明一：(纯几何法)66;. 证明二：(三角法)67;. 例27证明三：(用解析法证) 4. 解析法解析法 解析法也称坐标法，就是把平面几何图形通过建立直角坐标系，把平面上的点和直线与数或方程对应，化为代数式或方程，通过代数运算或解方程达到论证的目的. 解析法的关键是恰当选择坐标系，此外还要熟练掌握和善于使用解析几何有关公式、定理.68;. 5. 向量法向量法 在几何学中，把几何图形看
26、作点的集合，而平面上的点、线段、可表示为向量. 因此可以把作为点的集合的几何图形看作是向量的集合. 这样，平面几何中涉及的度量关系和位置关系，都可以表示为某种向量代数的运算. 这种借助于向量代数的运算来证几何题的方法称为向量法. 向量法具有书写简便，便于运算等优点.但往往难点在于选择媒介向量，在解题时，要善于把条件与结论的关系或中间向量联系起来，沟通已知与未知的联系.69;. 例28 证明三角形重心定理 AGEDCB 分析 如图，D, E是ABC边AC, AB的中点，BD, CE交于G. 易知70;. 6. 复数法复数法 复数x+yi(x,y为实数)与复平面上的点可以建立一一对应关系. 把几何
27、图形的点看作对应于复平面的复数，借助于复数的运算，获得几何命题证明的方法称为复数法. 用复数法证明几何题，首先将题目给出的已知条件“翻译”成复数的若干关系式，然后经过一系列的复数运算，得出一批新的关系式，最后把它们再“翻译”所需要的几何结论.几何条件复数关系新的复数关系几何结论转化几何推理复数运算转化71;. 例29 如图，在矩形OABC中，MNOA，AN1，AB5，OD DE EA .求证：ODEANMCB123 用复数法证几何题，其关键是如何把几何问题转化为相应的复数问题. 为此，首先要掌握复数及其运算的几何意义. 此外还要熟悉有关复数运算的常用公式.72;. 作业：作业： 1.用面积法证
28、明三角形内角平分线定理. 2.O为ABC内任一点，AO、 BO、 CO分别交对边于 . 用面积法证明： 3.（用代数法）圆内三弦 两两相交于A、B、C，且 ， AR=BP=CQ，求证：ABC为正三角形.73;. 4. 正方形ABCD内接于圆O，P在 AB弧上，求证： (用三角法) 5.（用三角法）ABC中AB=AC，D在AB上，且 AD=BC， ，求证： . 6. 正方形ABCD中，求证：AP=AB.(用解析法证) 7. 已知圆内接四边形的两对角线互相垂直.求证过对角线交点而垂直于一边的直线必平分其对边.(用解析法证) 8.四边形ABCD内接于圆O， 于H，OGBC于G.求证： (用解析法证)
29、74;. 9. 用解析法证三角形重心、垂心、外心共线. 10. 用向量法证明直径所对圆周角是直角. 11. 用向量法证三角形三条高线交于一点. 12. 用向量法证：D、E、F是正ABC三边AB、BC、CA上三点，并且AD=BE=CF，AE、BF、CD相交于M、H、G.求证：三角形HMG是正三角形. 13. 如图，三个正方形.求证： (复数法) 14. 若三角形的外心和重心重合，求证此三角形是正三角形.(用复数法证)75;. 7. 几何证明的其他方法几何证明的其他方法2 割补法、参量法、几何变换法、射影法、消点法、物理法等. 留待同学们自己寻找资料研究.76;. 割补法割补法 在求解平面几何问题时，根据问题的题设和结论，合理适当地将原来的图形割去一部分，或补上一部分，变成一个特设的、简单的、整体的、熟悉的图形，使原来问题的本质得到充分显示，通过对新图形的分析，探索原来问题的答案. 这种方法我们称为割补法. 例30 在等边凸六边形ABCDEF中，A+C+EB+D+F. 求证:A D,B E,C F. 77;. 这个问题的解法很多，但都不如下面的割补法简洁.AFEBDCo78;.79;.
