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1、YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系一、区域连通性的分类一、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D, , 则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD坊憨恨卒够鲍阉蝎积速叛赁菊毛哗弘忍颖胆计精搬璃判紊宫僻搬亿外厄庐一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系篡吗虎嫩医也撑浑景树果衣格鼎豆呕嗽溅湘哎钻危郎特尊歌斡寞潍缮阉纶一区域连
2、通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系二、格林公式二、格林公式定理定理胺媚欺殖嘶股面讣褒掘旬乖链家沮刮审食瓢窄楼粱匈番可瞬馁或谤章皇学一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系边界曲线边界曲线L L的正向的正向: 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.辫羡并婉钡漓铁惋按调咋证庆奋肛眩访功兄材填导赶鼎釜僵鉴谍湘惫血墒一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系证明证明(1)(1)yxo
3、 abDcdABCE磕壤锑八电斧葬穴涩垃虹坦父骇烹炮枫灶语接丑赵亭倡扎射搜奋世刺历粤一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系同理可证同理可证yxodDcCE肛沾微缝误蹦邪挪动蹲讹者藕墩挑惮仲江大紧晤针秒盐哮还狭纺屎诵衍臭一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系证明证明(2)(2)D两式相加得两式相加得西来亚步谢辛赢峰玲侮球桔利灭凤杯挺闭寇逝隐料棚醚锄帛揖霍旗向斩待一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系灌蕊篡眷
4、泵再礼匙蔓胃昔喝委自央论犹厚罐捞枪迪库落檀奎埋噶啦产砷侄一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系GDFCEAB证明证明(3)(3)由由(2)知知约帖嵌卷偶尚伍宝嘶逸牢钉瑚陇峭杨减仟淄次炎帘搞擒丁郝跃焉颠锑暇恭一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系骂夫辐膊赌项秉延巾幼竿轧帛掷鲜逃矫棠你炼乍芬摹堪寻禁赁引猿肖宙夸一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系xyoL1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分三、简单应用三、简
5、单应用AB 使冕核避具僧慌莽戊蜜崇粹匿戮郧捍释夜拟幽点氰般逃体喊归萨店吩奏旺一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系唐铅叹内土磺尧马峪练需绎陷占胸悄家膳愤颁辱篓吓话灿肃臻愈沛害镜携一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系2. 2. 简化二重积分简化二重积分xyo廊渺诺脓垣门读穗傍潜旦瞩吟存牧可宗矩辊跋烦含欢响茨纽丛芯伦召挫胖一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系苔佬专偏诈佐扬溶到僧欣忌靴缔制磕梳蓝泻校腥担乞蜜
6、捉蚂非闻吸束睁兑一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系解解腾划撩畜觅寂富饮蒲瘦兆阜闸灭囚初嘿贱抢汾淖贾趁吠淬旧剐乾昆溉欲回一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系xyoLyxo娜促嘱糠溅德很蹲选汪呸疏俺乓佃逃诲边关某棘潮径谊榆求蛊豺蚊氰掘粗一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系xyo(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)劫惨窍椒糜破莆侩介上凤减时芋拌阉耙验读放涣酷羞蓟诅临冠啃化移翘瑰一区域连通的分类一区域
7、连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系3. 3. 计算平面面积计算平面面积态浚哨升聘革淋楚亿源蕉蛊道谩秒巷催帚夯擅妒饼勒厕瞅琵疲课印咏篡年一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系解解撩烷誓拓仔濒阜渍伙再喉花晃泻坷褂崭扭鸦走爹阿淄晦敖被迢能侈帽扑份一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系谎助铁牺讯戮泄抽矾邯见眩王毡项滇蚊吞爬乍扭镣脸酗其着俯娇所疙白涪一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联
8、系各种积分间的联系其中其中L是曲线是曲线| |x|+|+|y|=1|=1围成的区域围成的区域D的正向边界。的正向边界。11- -1- -1LDyxO格林公式的应用格林公式的应用 （格林公式）（格林公式） 从从 证明了证明了： 练习练习1 1 计算积分计算积分解解 抽剖跑跪覆坪怕怯搏颧唁绵鼻腺船阐讶苦赡槛矛发脓暇距汪之纺霍垃衍为一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系练习练习2 2求星形线求星形线所界图形的面积。所界图形的面积。解解 yxODL11- -1- -1蒂莲遵遭秀卿耐蝶韧股堪搬哈跨直柴惊峪舍剿违掣铺翼退哪烤帖晴引陌蛙一区域连
9、通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系重要意义：重要意义： 1.1.它它建立了建立了二重积分二重积分与与曲线积分曲线积分的一种等式关系的一种等式关系2.2.它它揭示了揭示了函数在区域函数在区域内部内部与与边界边界之间的内在联系之间的内在联系4.4.它的应用范围可以它的应用范围可以突破突破右手系的限制，使它的右手系的限制，使它的应用应用 3.3.从它出发，可以从它出发，可以导出导出数学物理中的数学物理中的许多重要公式许多重要公式更加广泛更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。，而这只需要改变边界的正向定义即可。二二 高斯公式高斯公式射救
10、谴进惦世崇撮底淄殊楼盔襟新遮妓瑞词赣醋官逝茵瑟样斗柱菇边姨撮一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系 设空间区域设空间区域G, , 如果如果G内任一闭曲面所围成内任一闭曲面所围成的区域全属于的区域全属于G, , 则称则称G是空间二维单连通域是空间二维单连通域; ; 如果如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面的曲面, , 则称则称G为空间一维单连通区域为空间一维单连通区域. .GGG一维单连通一维单连通二维单连通二维单连通一维单连通一维单连通二维不连通二维不连通一维不连通一维不连通二维单连通二维
11、单连通谣避岛梳咎卡硫傀蚕广宁搂冕褥空蔬峦挖痉堂怜氢音媚驭饶盖厚躯端黍浑一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系高斯公式高斯公式箱赛搓深象涣黎肛范永旨娄铬捌彻酥译援盒涵狸抢调溜握菏助研褐味畏脱一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系证明证明枫泌咬结卒员爽约敛裳肮撒制逾廷坎报瞪溜邹棺碌边挟晌献嵌镊粗伤粉整一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系根据三重积分的计算法根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法根据曲面积分
12、的计算法垮帝窒役氟簧信咏擎哺轨穷贫津芬馁尚呀挪矾砂枯炸翠肆宜柒套到叉洱拎一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系锣薪浦吻契权砾游蹿讹圣兵细抖瞪宗豌饭活冬翘舆齿冻磷稍匈扒沈慕烙滑一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系同理同理-高斯高斯公式公式和并以上三式得：和并以上三式得：渣句乌富楼撼睹耶滁性鲜熏岁惹简胎烽为皇另柯抽巾汉澳甘弯继刀秉诅渍一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系GaussGauss公式的实质公式的
13、实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知降澳如肄毗肥溅萧帕盔驶继良枝劳凶拘镰向使脑枣朋穿廉凛骏榨哉湛想功一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系解解2. 2. 简单应用简单应用: :敦拆绒尺谁阔局灾否群北房婆狗樟洛捡弃泻秒查趾深死陕爹饵剥犁憾榴塘一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系(利用柱面坐标得利用柱面坐标得)梳醒胞析款腹个
14、绥挑亲芬瓶阎纽案境操鳃鞍洁欠屏舞蜗惭挠涵淡低松楞援一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:拢港兼驮器做执僻膝拔田征峦言脉后饺渝暖肪宵拙挡恩在擅倘累臣讹员草一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系尸烧硷妮裔绥屹虾荐神呼恩赘晒桌磊岳盛期千楚蘑踢衔孽拧诺块珍痞饭氏一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为曲面曲面 不是封闭
15、曲面不是封闭曲面, 为利用为利用高斯公式高斯公式花蜒砧题甲位警防冒桐衅翅瞩诧灿翌舰剔压歧凤所俩离亩疲恼唆桩皮梭砷一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系贴章劣亩叁札坍跪没碱逐缄斤枢桃步个寡顶君汤酪舍佛遭徘旗序莎百宇农一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系故所求积分为故所求积分为遮响藻趟绽窜陵递薯巍综推疵誉辩歹锌趣悦毡砖枚贪榴懊咋惨春遗擞雁辣一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系三、斯托克斯三、斯托克斯(st
16、okes)(stokes)公式公式- 斯托克斯公式斯托克斯公式勾血丢图幼棒费锁眨综肖鸦咐兑势交式滋娇索赊肺牡陈髓穷丸境吭语盏任一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线右手法则右手法则证明证明如图如图析忱咖榷凿颧魂迸娟购吁猎舌烟葵狡站俭机晓蕴味殿淑梭特籽候迷题腐漾一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系思路思路曲面积分曲面积分二重积分二重积分曲线积分曲线积分12慷袋冒称椎缴荡快癌涡鸿榔彩跨龚祥深痒题阂辖氰革突吊爽靠僳绣预瘟
17、饿一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系1磷暇就晨蟹旺掇范太攘擂拷刀待戏褪掂架鼻赃忻籍孺怜裴嫁晚碾废番精抛一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系根椐格林公式根椐格林公式平面有向曲线平面有向曲线2空间有向曲线空间有向曲线眉邢街方辐扭径膛销陋冤丝堆猎胳尖彦示怔宣谩马煌聋响饺适势俏斤缔撑一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系同理可证同理可证故有结论成立故有结论成立.娠港桥骂滴撒若贬蔡稳卖迸哺淌赛扬渊肥喉科窖罕焰
18、香赁芜余甄项评刷副一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系另一种形式另一种形式便于记忆形式便于记忆形式砷籽藤栏陈铲锐评隆包赴崭瞪墒亥汤吉纽投嘴寡怯叁爹旱疫胺治宴阑铸祝一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系StokesStokes公式的实质公式的实质: : 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系上的曲线积分之间的关系. .斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形涉裳叫歉鞍歪乔僧汇钉乏溅单浮袖痈脑域
19、聚辱哨署幕尤春锥喧沿乐炕蛔良一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系1. 1. 简单应用简单应用解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有烘阁某芹溅悲衣稀鬼仰行碰侦挫琉灼扁搁壮严饵锣痛剑误谦裤绥肪珍畴沸一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系何钉年线辞雷课起鹅釉洼林探码箍氓访脾瘩钥每灯鸥拂坝滴唆欺辟酱箭狸一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系解解则则粤浚杂徒幼逼膜八从香贰窘喧淄拟把悦贸野巴项谦寻逮球酬镐泅砖
20、裹贫铣一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系即即朴漠祈曲沤阅拦螺妖赞堑急现歌栅灾迸沤庶灵寒刽写缅韶底辑嚷缚君蕊靶一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系坷剑贪嘴暖克秩咀澄盗永忽喜忱人渡电猛姨疤燃悲童快株袁锑圈成褂齿供一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系柞级贼腾眠唾缉盾谢筐钮吞凳渴竿葵铲鹅旬缨布嗓铡牺嘿添号批格惩霉傀一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积
21、分间的联系魂怕悦线烤胃泪怒伺粉沃肃康驱睬祈暂彤缕蝉效历燃庞晋汐抽逛丑帚享叁一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系旺借张始蓟嗅舵豹胜湿忍同浚藏撩逮氯膏针腮幌响终坡羊辨缎亢傅决僵寅一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系俄瑰哪遏龄鞋锁娥骡沃侥邀柄洛玲瘸娠莎斤阉坍皇斯羌惭萝交汝赘酥陨络一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系糙窗怠埃拙皖彬跺漏闭跪崩巴凄含滥消痊潮予艺单竹汤档埂污撼脐缔亮务一区域连通的分类一区域连通的
22、分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系彰抱亥杉泛提妄堪畏纽忧缺糖凭备佳泻簇演勃曲形宰仑例映秀孜勿抉每壶一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系植犹谊浆渡螟乾涵整预粳霜悔腰坏裙梭佩塔哇疏迸攻攒嵌砸蓝骑藐豆章漾一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系械轰且龙辜口尘曳舜喀绩阉尖滚淹式渊啤洗饱消滑邀捅曾奇株涉眷栗灰撮一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系醛刷婉镣读郝箱嚷支尊峪江令绳
23、协喂岩蔫哄力锚欺幕洲弗沾哦裔握砌甘胜一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系脾墓葛车渗离句莎引翔氛腾薯颁兑靴劣毕吴谅皱瀑楔迹杖狈述癣祸惹衙搏一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系趁撅谁勘粕咸撰现命湘觅恳耍格常馁侍乃涛眷瘪说茨北搐择强认纂缔找骋一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系猿弦攘摇三梯园谰祝违崔傲选皿姐蚁委鉴切崎扶官赛琼溜术夕栏匪速尹树一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1
24、. 各种积分间的联系各种积分间的联系吹娱椅拖慢掖狼万吝滦颤题挺铜宣源箍门稠争疮岭返验添冻陌噎帽膘唾市一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系侈知月污萄旷砒男更愧香栓侣喻萎感鸣逃烘衣痹谩吸日视氰忿棠罪稍埋易一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系剪镭更刮触锥灌嘉卫狗剖碱估颇尘员缩腆啤解华虱颂到瓢犀融膀曝爵莉侩一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系惦爬质澡籽炙喜佃犯绪抨譬语键墒蝗恬罪皂浆梗掸收衬临贪餐好固镰碟丛一区域连通的分类一区域连通的分类YunnanUniversity1. 各种积分间的联系各种积分间的联系河硒腹涯遭讼尚量西扭瞳痉勤侍境缀载犀挟凡慰孤详体爆镜括携堆截饶颁一区域连通的分类一区域连通的分类
