《（北京专用）高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第八节 直线与圆锥曲线课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（北京专用）高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第八节 直线与圆锥曲线课件 文（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八节直线与圆锥曲线总纲目录教材研读1.直线与圆锥曲线位置关系的判断考点突破2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题3.弦AB的中点与直线AB斜率的关系考点二弦长问题考点二弦长问题考点一直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用考点三中点弦问题考点三中点弦问题1.直线与圆锥曲线位置关系的判断直线与圆锥曲线位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆锥曲线r的方程F(x,y)=0联立,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的方程,即联立消去y(或x)后得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)当a0时,若0,则直线l与
2、曲线r相交;若=0,则直线l与曲线r相切;若b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是+=1.(2)过椭圆+=1(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所在直线方程是+=1.(3)椭圆+=1(ab0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=C2.圆锥曲线的切线方程圆锥曲线的切线方程2.双曲线的切线方程(1)双曲线-=1(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是-=1.(2)过双曲线-=1(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所在直线方程是-=1.(3)双曲线-=1(a0,b0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2-B2b2=C2.3
3、.抛物线的切线方程(1)抛物线y2=2px(p0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0).(2)抛物线y2=2px(p0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所在直线方程是y0y=p(x+x0).(3)抛物线y2=2px(p0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC.直线l:f(x,y)=0,圆锥曲线r:F(x,y)=0,l与r有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点的坐标是方程组的两组解,方程组消元后化为关于x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0),判别式=b2-4ac,应有0,所以x1,x2(或y1
4、,y2)是方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的两个根.由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=,以此结合弦长公式可整体代入求值.A、B两点间的距离|AB|=|x1-x2|=(其中k为直线l的斜率),也可以写成关于y的形式,即|AB|=|y1-y2|=(k0).特殊地,如果2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题直线与圆锥曲线相交的弦长问题直线l过抛物线的焦点,抛物线方程以y2=2px(p0)为例,那么|AB|=x1+x2+p.3.弦弦AB的中点与直线的中点与直线AB斜率的关系斜率的关系(1)已知AB是椭圆+=1(ab0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运用点差法求直线AB
5、的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),A,B都在椭圆上,两式相减得+=0,+=0,=-=-,故kAB=-.(2)已知AB是双曲线-=1(a0,b0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中点M(x0,y0),则与(1)同理可知kAB=.(3)已知AB是抛物线y2=2px(p0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中点M(x0,y0).则两式相减得-=2p(x1-x2),(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),=,即kAB=.1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定答案答案A
6、由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),又(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.A2.直线y=x+3与双曲线-=1的交点个数是()A.1B.2C.1或2D.0答案答案A因为直线y=x+3与双曲线的渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个交点.A3.双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左,右两支都相交的充要条件是()A.k-B.k或k-D.-k答案答案D由双曲线的渐近线的几何意义知-k0)的焦点,直线l与抛物线C交于A,B两点,若|AB|=6,则p的值为()A.B.C.1D.2答案答案B由得x2-(2m+2p)x+m2
7、=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m+2p,又直线l:x-y-m=0经过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,-0-m=0,解得m=,又|AB|=x1+x2+=x1+x2+p=2m+3p=4p=6,p=,故选B.B5.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有条.答案答案33解析解析当过点(0,1)的直线的斜率不存在时,方程为x=0,与抛物线y2=4x仅有一个公共点,符合题意.当过点(0,1)的直线的斜率存在时,设为k,此时直线为y=kx+1,由得k2x2+(2k-4)x+1=0,(*)当k=0时,方程(*)只有一解,即直线与抛物线只有一
8、个公共点,符合题意,当k0时,由=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,即直线y=x+1与抛物线相切,综上,符合条件的直线有3条.典例典例1在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(ab0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.考点一直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用考点一直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用考点突破考点突破解析解析(1)由题意得a2-b2=1,b=1,则a=,椭圆C1的方程为+y2=1.(2)易得直线l的斜率存在且不为零,则可设l的方程为y=kx+b(k0)
9、.由消去y,整理得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,1=16k2b2-8(b2-1)(2k2+1)=16k2+8-8b2=0,即b2=2k2+1.由消去y,整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,2=(2kb-4)2-4k2b2=16-16kb=0,即kb=1,由得b=,代入得=2k2+1,即2k4+k2-1=0.令t=k2,则2t2+t-1=0,解得t1=或t2=-1(舍),或l的方程为y=x+或y=-x-.方法技巧方法技巧(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不
10、为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.1-1若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,那么k的取值范围是()A.B.C.D.D答案答案D由消去y,得(1-k2)x2-4kx-10=0,直线与双曲线右支交于不同的两点,解得-kb0)的离心率是,且过点P(,1).直线y=x+m与椭圆C相交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求PAB的面积的最大值.考点二弦长问题考点二弦长问题解析解析(1)设椭圆C:+=1(ab
11、0)的半焦距为c.因为椭圆C的离心率是,所以=1-=,即a2=2b2.由解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)将y=x+m代入+=1,消去y,整理得x2+mx+m2-2=0.令=2m2-4(m2-2)0,解得-2mb0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时,AB=4.(1)求椭圆的方程;(2)若|AB|+|CD|=,求直线AB的方程.解析解析(1)由题意知e=,2a=4.又a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=1,所以椭圆方程为+=1.(2)当两条弦中的一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的斜率不存在,由题意知|AB|+|CD|=7,不满足条件
12、.当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线CD的方程为y=-(x-1).将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=|x1-x2|=.同理,|CD|=,所以|AB|+|CD|=+=,解得k=1,所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.典例典例3抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为()A.y=2x2B.y2=2xC.x2=2yD.y2=
13、-2x考点三考点三中点弦问题中点弦问题解析解析设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px(p0),则两式相减可得2p=(y1+y2)=kAB2=2,可得p=1,抛物线C的方程为y2=2x.答案答案BB方法技巧方法技巧处理中点弦问题的常用方法(1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程,转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.3-1已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线l:y=-kx+对称,求k的取值范围.解析解析由题意知k0,设M(x1,),N(x2,),因为MNl,所以=,即x1+x2=.又MN的中点在l上,所以=-k+=-k+=4,因为MN的中点必在抛物线内,所以,即4,所以k2,即k或k-,故k的取值范围是.
