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1、1.3函数的基本性质1.3.1函数的单调性【学习目标】1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义2能够熟练应用定义判断函数在某区间上的单调性3学会运用函数图象理解和研究函数的性质1增函数与递增区间设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D上的_两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有_，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数，区间 D 称为函数 f(x)的单调递增区间任意f(x1)f(x2)2减函数与递减区间设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D上的_两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有_，那
2、么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数，区间 D 称为函数 f(x)的单调递减区间任意f(x1)f(x2)3单调性与单调区间如果函数 yf(x)在区间 D 上是_，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做yf(x)的_增函数或减函数单调区间练习 1：函数 yx2 在区间8，2上是_函数，在区间2,3上是_函数减增)C练习 2：下列函数在区间(0,2)上是增函数的是(题型 1 用定义证明函数的单调性1，)上是增函数思维突破：证明的关键是对 f(x1)f(x2)进行变形，尽量变形成几个最简单的因式的乘积形式证明：设任意的 x1，x2(0,1，且x1x2，0x1x2
3、1，x1x20，x1x210.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)同理可证：f(x)在1，)上是增函数(1)利用增函数、减函数的定义证明或判断函数的单调性的步骤是：设出指定区间上的任意两个值作差变形判断符号下结论数，在(1,0)上为减函数；在(，1上为增函数(3)解答本题易出现以下的错误结论：f(x)在(1,0)(0,1上是减函数，在(，11，)上是增函数，或说 f(x)在(，0)(0，)上是单调函数排除障碍的关键是正确理解函数单调性的概念注意：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交的区间的并集【变式与拓展】1用函数单调性的定义证明：f(x)2x23xc(c 为常
4、数)由 x10，题型 2 利用函数的图象求函数的单调区间【例 2】 画出函数 yx22|x|3 的图象，并指出函数的单调区间思维突破：准确画出函数的图象，根据函数图象写出其单调区间函数的图象如图 D9.图 D9函数的单调递增区间是(，1，(0,1，单调递减区间是(1，0，(1，)研究函数单调区间的一般方法有：图象法、定义法及利用已知函数的单调性数形结合始终是研究函数性质及其应用的重要思想【变式与拓展】2如图 1-3-1，已知函数 yf(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，它是增函数还是减函数图 1-3-1解：函数 yf(x)的单调递减区间有3，2)，0,2)，yf(x)
5、在区间3，2)，0,2)上是减函数单调递增区间有2,0)，2，)，yf(x)在区间2,0)，2，)上是增函数3求函数 f(x)|x2x12|的单调区间作出函数的简图，如图 D10.观察其图象，知函数 f(x)的单调递增区间为 和4，)； 单调递减区间为(，3)和 .图D10题型 3 函数单调性的应用【例 3】(1)若函数 f(x)x22(a1)x1 在区间(，4上是减函数，求实数 a 的取值范围；的取值范围思维突破：(1)处理二次函数的单调性问题需要对对称轴进行讨论(2)处理含参数的二次函数需要对参数进行讨论解：(1)f(x)x22(a1)x1，其对称轴为 x2(a1)211a，若二次函数在(
6、，4上是减函数，必须满足 1a4，解得 a3.当 k0 时，抛物线开口向上，在0，)上不可能单调递减；综上所述，k0.对已知函数在某区间 D 上的单调性，求参数取值范围的问题，可先由函数本身求得的单调区间视为 I(函数在 D 和 I 上单调性相同)，进而利用 DI 求得参数【变式与拓展】数，则实数 b 的取值范围为()解析：令 f1(x)(2b1)xb1(x0)，f2(x)x2(2b)x(x0)，要使 f(x)在R 上为增函数，须有f1(x)单调递增，f2(x)单调递增，且 f2(0)f1(0)，答案：A过坐标原点，对称轴是x .区间2,4应在直线x 的左侧或右侧，【例 4】 已知函数 f(x
7、)x2kx 在2,4上是单调函数，则实数 k 的取值范围为_易错分析：应将区间在对称轴左侧和右侧分别进行讨论解析：函数 f(x)x2kx 的图象是开口向下的抛物线，经已知函数在2,4上是单调函数，答案： k4 或 k8方法规律小结1函数单调性的判定方法(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值作差变形判断符号下结论”的步骤，进行判断(2)图象法：画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势判断函数的单调性(3)直接法：对于熟悉的函数，如一次函数、二次函数和反比例函数等，直接写出它们的单调区间2区间 D 上的单调函数 f(x)具有的结论(1)函数 yf(x)与函数 yf(x)在区间 D 上的单调性相反(2)当函数 f(x)在区间 D 上恒为正或负时，函数 y1f(x)与函数 yf(x)在区间 D 上的单调性相反 (k0)，f(x)n(nN，n1)都是增函数3求函数 yfg(x)的单调区间的步骤(1)确定定义域；(2)将函数分解成函数 yf(u)，ug(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增同减，则 yfg(x)为增函数；若一增一减，则 yfg(x)为减函数(同“增”异“减”)4在研究函数的单调性时，对单调区间的表述要准确如述为(，0)(0，) 5对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x)，证明单调性时，
