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1、第二节 三角函数的诱导公式 三年三年1 1考考 高考指数高考指数:能利用单位圆中的三角函数线推导出能利用单位圆中的三角函数线推导出 ，的正弦、的正弦、余弦、正切的诱导公式余弦、正切的诱导公式. . 1.1.利用诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点利用诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点. .2.2.主要以选择题、填空题的形式考查主要以选择题、填空题的形式考查. .三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 函数函数角角sinxsinxcosxcosxtanxtanx+2k+2k（kZkZ）-+- - +-sin-sinsinsincoscostantancoscos-sin-sin-cos-co
2、stantansinsin-cos-cos-tan-tan-tan-tancoscossinsincoscos-sin-sin（1 1）记忆口诀：）记忆口诀：“_”. .（解释：公（解释：公式中的角可以表示为式中的角可以表示为k k （kZkZ）的形式，）的形式，“奇、偶奇、偶”是是指指k k的奇偶性；的奇偶性；“符号符号”是指把任意角是指把任意角看作是锐角时原函数值看作是锐角时原函数值的符号）的符号）（2 2）可以分类记忆：函数名称）可以分类记忆：函数名称“变与不变变与不变”，函数值的符号，函数值的符号“变与不变变与不变”. .奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限诱导公式的记忆方法与
3、规律：诱导公式的记忆方法与规律：【即时应用【即时应用】(1)(1)思考思考: :给定一个任意角的三角函数给定一个任意角的三角函数, ,如何选取诱导公式化为一如何选取诱导公式化为一个锐角三角函数？个锐角三角函数？提示提示: :一般先把任意角的三角函数化为任意正角的三角函数一般先把任意角的三角函数化为任意正角的三角函数, ,再再化为化为0 0到到360360角的三角函数角的三角函数, ,最后化为锐角的三角函数最后化为锐角的三角函数. .（2 2）sin( )=_.sin( )=_.【解析【解析】sin( )=-sin(sin( )=-sin(+ )=sin = .+ )=sin = .答案：答案：
4、(3)(3)已知已知tan(+tan(+)=3,)=3,则则 _._.【解析【解析】tan(+tan(+)=3,tan=3.)=3,tan=3.原式原式答案：答案：7 7 利用诱导公式求值利用诱导公式求值【方法点睛【方法点睛】利用诱导公式求值的原则和步骤利用诱导公式求值的原则和步骤（1 1）诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了）诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了. .（2 2）诱导公式应用的步骤：）诱导公式应用的步骤： 【提醒【提醒】诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号. .任意负角的三角函数任意负角的三
5、角函数任意正角的三角函数任意正角的三角函数0 022的角的三角函数的角的三角函数锐角三角函数锐角三角函数【例【例1 1】(1)(1)已知已知tantan=2,sin+cos0,=2,sin+cos0,=20,为第一象限角或第三象限角，为第一象限角或第三象限角，又又sin+cossin+cos0,0,为第三象限角为第三象限角. .由由tantan= =2,=2,得得sinsin=2cos=2cos代入代入sinsin2 2+cos+cos2 2=1,=1,解得解得sinsin= =. .答案：答案：(2)f()=(2)f()=cos(cos()=)=, ,-sin-sin= =, ,从而从而si
6、nsin=-=-. .又又为第三象限角为第三象限角, ,coscos= =-=-即即f(f() )的值为的值为. .【反思【反思感悟感悟】在利用诱导公式求值时，一般要先化简，再根在利用诱导公式求值时，一般要先化简，再根据条件求值，掌握诱导公式的关键是对据条件求值，掌握诱导公式的关键是对“函数名称函数名称”和和“正负正负号号”的正确判断的正确判断. .另外，诱导公式的应用非常灵活，可以正用、另外，诱导公式的应用非常灵活，可以正用、逆用和变形应用逆用和变形应用, ,但是要尽量避开平方关系但是要尽量避开平方关系. .利用诱导公式化简证明利用诱导公式化简证明【方法点睛【方法点睛】1.1.利用诱导公式化
7、简三角函数的思路和要求利用诱导公式化简三角函数的思路和要求（1 1）思路方法：）思路方法：分析结构特点，选择恰当公式；分析结构特点，选择恰当公式；利用公式利用公式化成单角三角函数；化成单角三角函数；整理得最简形式整理得最简形式. .（2 2）化简要求：）化简要求：化简过程是恒等变形；化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值. .2.2.三角恒等式证明的常用方法三角恒等式证明的常用方法(1)(1)从左向右证或从右向左证从左向右证或从右向左证( (以从繁化到简为原则以从繁化到简为原则
8、).).(2)(2)两边向中间证两边向中间证. .(3)(3)证明一个与原等式等价的式子证明一个与原等式等价的式子, ,从而推出原等式成立从而推出原等式成立. . 【例【例2 2】(1)(1)化简化简: :(2)(2)求证求证: :对于任意的整数对于任意的整数k,k,【解题指南【解题指南】(1)(1)利用诱导公式化简三角函数式，一般思路是根利用诱导公式化简三角函数式，一般思路是根据公式逐一化简，特别要注意名称和符号据公式逐一化简，特别要注意名称和符号. .(2)(2)由于此题中的由于此题中的k k不明确，需要对其分偶数和奇数讨论不明确，需要对其分偶数和奇数讨论. .【规范解答【规范解答】(1)
9、(1)原式原式 (2)(2)当当k k为偶数时为偶数时, ,设设k=2n(nZ),k=2n(nZ),则原式则原式当当k k为奇数时为奇数时, ,设设k=2n+1,nZk=2n+1,nZ，则原式则原式故对任意的整数故对任意的整数k,k,【反思【反思感悟感悟】1.1.公式符号的判断看象限公式符号的判断看象限, ,在用诱导公式时在用诱导公式时, ,注注意把任意角意把任意角看成锐角来处理看成锐角来处理. .2.2.把异角利用诱导公式化为同角把异角利用诱导公式化为同角, ,再用同角三角函数关系式化简再用同角三角函数关系式化简是求解的关键是求解的关键. .诱导公式在三角形中的应用诱导公式在三角形中的应用【
10、方法点睛【方法点睛】三角形中的诱导公式三角形中的诱导公式在三角形在三角形ABC ABC 中常用到以下结论中常用到以下结论: :sin(A+B)=sin(-C)=sinCsin(A+B)=sin(-C)=sinC, ,cos(A+B)=cos(-C)=-cosCcos(A+B)=cos(-C)=-cosC, ,tan(A+B)=tan(-C)=-tanCtan(A+B)=tan(-C)=-tanC, ,sin(sin()=sin()=sin()=cos)=cos , ,coscos( ()=cos)=cos( ()=sin)=sin . . 【例【例3 3】在】在ABCABC中，若中，若sin(
11、2-A)=-sin(2-A)=-sin(sin(-B), -B), cosAcosA= =- - cos(cos(-B),-B),求求ABCABC的三个内角的三个内角. .【解题指南【解题指南】先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得求得cosAcosA，进而可求得角，进而可求得角A,B,C.A,B,C.【规范解答【规范解答】由已知得由已知得sinAsinA= = sinBsinB, , cosAcosA= = cosBcosB两式平方相加得两式平方相加得2cos2cos2 2A=1,A=1,即即cosAcosA= =或或cosAcosA=-=-
12、. .(1)(1)当当cosAcosA= =时时,cosB,cosB= =, ,又角又角A A、B B是三角形的内角是三角形的内角, ,A=A=，B=B=, , C=- C=-（A+BA+B）= =. .（2 2）当）当cosAcosA=-=-时，时，cosBcosB=-=-, ,又角又角A A、B B是三角形的内角，是三角形的内角，A=A=，B=B=，不合题意，不合题意. .综上知，综上知，A=A=，B=B=，C=C=. .【反思【反思感悟感悟】1.1.三角形中常用角的变形结论有：三角形中常用角的变形结论有：A+B=-CA+B=-C；2A+2B+2C=22A+2B+2C=2；2.2.求角时，
13、一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角范围，最后求角. .【满分指导【满分指导】三角函数主观题的规范解答三角函数主观题的规范解答 【典例】（【典例】（1414分）分）(2012(2012合肥模拟）已知合肥模拟）已知sin(sin(+ +)=-)=-，(0,),(0,),（1 1）求的值）求的值; ;（2 2）求）求cos(2-cos(2-) )的值的值. .【解题指南【解题指南】利用已知结合诱导公式求出利用已知结合诱导公式求出coscos和和sinsin，把所，把所给三角函数式利用诱导公式和三角函数关系式化简，即可求得给三
14、角函数式利用诱导公式和三角函数关系式化简，即可求得. .【规范解答【规范解答】（1 1）sin(sin(+ +)=)=, ,2 2分分coscos= =, ,又又(0,),sin=(0,),sin= . .4 4分分 1010分分(2)cos=(2)cos=,sin,sin= =,(0,),(0,)sin2=sin2=,cos2=,cos2=, , 1212分分cos(2-cos(2-)=-)=-cos2+cos2+sin2=-sin2=-. . 1414分分【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：分警示和
15、备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：（1 1）忽略）忽略的范围而使解的三角函数值符号错误；的范围而使解的三角函数值符号错误；（2 2）在化简时公式应用错误，而使结果错误）在化简时公式应用错误，而使结果错误. . 备备考考建建议议在用诱导公式解三角函数的问题时，还有以下几点容易造在用诱导公式解三角函数的问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：成失分，在备考时要高度关注：（1 1）诱导公式的准确记忆和应用）诱导公式的准确记忆和应用; ;（2 2）注意角的范围和象限，防止符号的错误）注意角的范围和象限，防止符号的错误. .另外另外,
16、 ,需要熟练掌握几种常见角的变形和公式的变形，才需要熟练掌握几种常见角的变形和公式的变形，才能快速正确地解决这类问题能快速正确地解决这类问题. . 1.(20121.(2012杭州模拟杭州模拟) ) 已知已知f()=sin(-)tanf()=sin(-)tan( (-),-),则则f(f() )的值为的值为( )( )（A A）- -（B B）（）（C C）（）（D D）- -【解析【解析】选选B.f()=sin(-)tanB.f()=sin(-)tan( (-)=sin-)=sincotcot=cos=cos, ,f(f()=cos)=cos( ()=cos)=cos=cos=cos= =.
17、 .2.(20122.(2012绍兴模拟绍兴模拟) sin(-210) sin(-210)=)=. .【解析【解析】sin(-210sin(-210)=sin30)=sin30= =. .答案：答案：3.(20123.(2012宁波模拟）已知宁波模拟）已知sin(540sin(540+)=-+)=-, ,则则cos(-270cos(-270)=)=, ,若若为第二象限角，则为第二象限角，则【解析【解析】由已知得由已知得sinsin= =,cos(-270,cos(-270)=-sin)=-sin=-=-, ,因为因为为第二象限角为第二象限角, ,所以所以coscos=-=-, ,所以所以tantan=-=-. .答案：答案：
