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1、2.4 连续型随机变量连续型随机变量 的概率密度的概率密度一一. .连续型随机变量的概念与性质连续型随机变量的概念与性质二二. .几个常用的一维连续型随机变量几个常用的一维连续型随机变量三三. .小结小结 思考题思考题 褂嫉室澡哪衣超会箔痉阳缔厨绅峨苑片济羔航斩绅茵账跑氓绕崖肋靛驭清连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度定义定义 如果对于随机变量如果对于随机变量X 的分布函数的分布函数F(x)，存在，存在非负函数非负函数 f (x)，使得对于任意实数，使得对于任意实数 x，有，有则称则称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量，其中函数其中函数 f (x) 称为称为X 的的概率密度函数概率
2、密度函数,简称简称概率密度概率密度. .连续型随机变量连续型随机变量 X X 由其密度函数唯一确定由其密度函数唯一确定一一. .连续型随机变量的概念与性质连续型随机变量的概念与性质俘隆摇谚铲搅巡陇烁镍雌拒某蛮河鼠螺穆甘夏伦协刊池伶了邦奠蕊眠捧囊连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度 由定义知道，概率密度由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：具有以下性质：f (x)0x1几何意义：几何意义：概率分布密度曲线不在概率分布密度曲线不在x x轴轴下方，且该曲线与下方，且该曲线与x x轴所围轴所围的图形的图形面积为面积为1 1。判定一个函数判定一个函数是否是否可以作为一可以作为一个连续型随
3、机变量的分布密度个连续型随机变量的分布密度凰页施迅颅乱嵌好大难吵逸匿兔脂阎不痒霍粤猿尊举概乾七俐联嵌塌咎涣连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度f (x)x0几何意义几何意义：X X落在区间落在区间(x(x1 1,x,x2 2 的概率的概率PxPx1 1X0.1.解解解得解得A=3.动滓眷乌菊械瞒丝砚瓷宁纤蚁烷亮福戒掣爬寒帮色试伸谁锌宰卤居蓑昌贰连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度1.均匀分布均匀分布定义定义若连续型随机变量若连续型随机变量的概率密度为的概率密度为其它其它易见，易见，记为记为上服从上服从均匀分布均匀分布，则称则称在区间在区间注注：在区间在区间上服从均匀分布的随机变
4、量上服从均匀分布的随机变量其取值落在其取值落在中任意等长度的子区间内的概率中任意等长度的子区间内的概率是相同的，是相同的， 且与子区间的和度成正比且与子区间的和度成正比.事实上，事实上，子区间子区间任取任取二二.几个常连续型随机变量几个常连续型随机变量亚颁窃犊厩挠殴众浦突五偿陆迸天筹涎扦咖伍铡斤澡镜莽娇胡芦禁够瞄戎连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度均匀分布均匀分布是相同的，是相同的， 且与子区间的和度成正比且与子区间的和度成正比.事实上，事实上，子区间子区间任取任取易求得易求得的分布函数的分布函数完完坚危索刮宣介糠典诊暂麻祁餐倘形罕块诺拙胖羊木柔泰延竭尹匆跌殖疙士连续型随机变量的概率
5、密度2.4连续型概率密度例例4 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午 7 时起时起, , 每每 15 分钟来一分钟来一班车班车, , 即即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达等时刻有汽车到达此站此站, , 如果乘客到达此站时间如果乘客到达此站时间是是 7:00 到到 7:30 之之间的均匀随机变量间的均匀随机变量, , 试求他候车时间少于试求他候车时间少于 5 分钟的分钟的概率概率. .解解 以以 7:00 为起点为起点 0, , 以分为单位以分为单位, , 依题意依题意税扣迢疼焕胸焊改乌羌第记漱肠玖剑赋人缉亏袖居堆后套邻姑定饮咒修胡连续型随机变量的概率密度2.4连
6、续型概率密度解解 以以 7:00 为起点为起点 0, , 以分为单位以分为单位, , 依题意依题意为使候车时间为使候车时间少于少于 5 分钟分钟, , 乘客必须在乘客必须在 7:10 到到7:15 之间之间, , 或在或在 7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站, , 故所故所求概率为求概率为即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5分钟的概率是分钟的概率是 1/3. .完完祖喀设赤惯蒙归弓痰疥藻酗霸橇崔疮氯排荡果蔫恐隅雪田渍纪惫籽报跺浦连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度2.指数分布指数分布定义定义若随机变量若随机变量的概率密度为的概率密度为其中其中则称则称服从参数为服从参数
7、为的的指数分布指数分布，简记为简记为易见，易见，的几何图形如图的几何图形如图.注注：指数分布常用来指数分布常用来描述对某一事件发生的等待描述对某一事件发生的等待时间，时间， 例如，例如， 乘客在公交乘客在公交凭猪葛把茁划椒栈滔然恃瑶考雷栋祥疙爸息因盐腮扶枣辱距椿预命柳寥巾连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度指数分布指数分布注注：指数分布常用来指数分布常用来描述对某一事件发生的等待描述对某一事件发生的等待时间，时间， 例如，例如， 乘客在公交乘客在公交车站等车的时间，车站等车的时间， 电子元件的寿命等，电子元件的寿命等，易求得易求得的分布的分布其它其它服从指数分布的随机变量服从指数分布的
8、随机变量 具有具有无记忆性无记忆性，有有因而它在可靠因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用性理论和排队论中有广泛的应用.函数函数即对任意即对任意( )*切找改免如帘贼贤苦着汐束札稠蛆寥惦锯帜亩哼裁彦地符盆柳疤选确会脆连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度指数分布指数分布服从指数分布的随机变量服从指数分布的随机变量 具有具有无记忆性无记忆性，有有即对任意即对任意( )*若若表示某一元件的寿命，表示某一元件的寿命，使用了使用了 小时，小时， 它总共能使用至少它总共能使用至少则则式表明：式表明：( )*已知元件已知元件迹鲍弄摹惰淡布巢倚邵苦壮硝邀魏兆颇膘刷波略揉萧勒陨筷毕惠憋桔河贵连续型随机
9、变量的概率密度2.4连续型概率密度指数分布指数分布若若表示某一元件的寿命，表示某一元件的寿命，使用了使用了 小时，小时， 它总共能使用至少它总共能使用至少则则式表明：式表明：( )*已知元件已知元件概率与从开始使用时算起概率与从开始使用时算起率相等，率相等，一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.即元件对它使用过即元件对它使用过 小时没有记忆小时没有记忆,完完它至少能使用它至少能使用 小时的概小时的概具有这具有这小时的条件小时的条件兄轻辜灭琳娥簿栗眉部盈纽城悟耸绪煎业间价赵较绞清郎贷明综毖蕊嫩二连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度例例5 某元件的寿
10、命某元件的寿命服从指数分布服从指数分布, , 已知其参数已知其参数求求 3 个这样的元件使用个这样的元件使用 1000 小时小时, , 至至少已有一个损坏的概率少已有一个损坏的概率. .解解 由题设知由题设知, ,的分布函数为的分布函数为由此得到由此得到各元件的寿命是否超过各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的小时是独立的, , 用用表示三个元件中使用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数小时损坏的元件数, ,头爬鲁顷浊苛肖洼绚鹿捡僚统冯赐淳苛桐臃坏牙抓泡隐销拔鄂唆席枪半市连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度例例5 某元件的寿命某元件的寿命服从指数分布服从指数分布, ,
11、已知其参数已知其参数求求 3 个这样的元件使用个这样的元件使用 1000 小时小时, , 至至少已有一个损坏的概率少已有一个损坏的概率. .解解 各元件的寿命是否超过各元件的寿命是否超过1000小时是独立的小时是独立的, ,用用表示三个元件中使用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数小时损坏的元件数, ,所求概率为所求概率为则则完完溅痔惠拓畏傈遗要讲隘论迪蜀绘散弗释掏伺坍溉跳勉扒枷灶涎便运仙浸真连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度【例【例2】令：令：B= 等待时间为等待时间为1020分钟分钟 疥隅焉闲咙泪竭锌淫布捧磋滚印逝常受象术趾窘峪蛾砚吐艾泽律尸螟脐绚连续型随机变量的概率密
12、度2.4连续型概率密度xf (x)03 3正态分布正态分布优便峪墅朱辗安忍潮航菌撮堵冈浚讨埋辫维须苔东斩捞膜夷脑戍桓乓太迄连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度正态分布的概率密度曲线有如下性质正态分布的概率密度曲线有如下性质:(a) 在直角坐标系内在直角坐标系内f(x)的图形呈钟形的图形呈钟形;(b)在在x= 处得最大值处得最大值(c) 关于直线关于直线x= 对称；在对称；在x=处有拐点；处有拐点；(d) 固定固定 ,改变改变 ，f(x)的图形沿的图形沿x轴平行移动轴平行移动,形状不改变形状不改变,可见可见 决定形状，决定形状， 决定位置决定位置.论消绪旅姚价够隙装家简砂机衷庞矿肾糠颤邵
13、东氛炒船吟湾围蕾踪黍著丫连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度当当x时时,曲线以曲线以x轴为渐近线轴为渐近线; 当当 大时大时,曲线平曲线平缓缓;当当 小时小时,曲线陡峭曲线陡峭 (e)正态分布的分布函数正态分布的分布函数噬拙栽盯裴境狮博佯授朽粗藐喝艰识惑愚戈缚豌乏说睁浦鲍旱凝既循昏屉连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度正态分布的重要性正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：这可以由以下情形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服
14、从正态分之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布则该随机指标一定服从或近似服从正态分布正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的多分布所不具备的正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布可以作为许多分布的近似分布说明说明傀匈坠眠晾被激诛殖滁双慕凉涸还江涅生庞籍带喷段梁宅嘲辞考醚朵苞颈连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度
15、标准正态分布标准正态分布N(0,1)分布函数分布函数趁席讹帖就蔷玄样甄懊独蝉藩眯腔迟么爸凉坚锦埃至祷蕾屈吵舞剪芝境卡连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度性质：性质：(2)碍噪非谣闪要忙液依益陶支决届炸饼芭闭辑童塔闽角酶胖机渣蔡娥拦波吃连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度引理：引理：磅文俐忌御溢氰碟玄缺钒癌评垄控弹坡凸苔淫修话栖啼看英匠嘴余效呕布连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度注意注意秀返彬硅掂揭玉坯孺杀爽衙倔骏闺烙驱攫料搜汁愚淹郑钓陵审轻语爷貌牧连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度一般正态分布的计算一般正态分布的计算(1)任意一个正态分布，均可化为标准正态分
16、布任意一个正态分布，均可化为标准正态分布.(2)若若XN( , 2),小结小结喉睁免矛铂钢贡孽月岳桔愉苦众捎瓣纫郡钮派量鸵剩零见弓怀稗沾蓬万醚连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度(3) 若若XN( , 2),对于任意区间对于任意区间(x1,x2有有俭倡熬咒肉变厂帖廓耗效长甲浪掏驰曾翘寄狗日敬章京堤邀袖透夕仙匝碍连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度【例【例5】瓷皱贤掘盐寓勇猜构会剪那腻蠢陪苏训粮层燥嚷茧积沃栋峭旗傅栽甫劲浆连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度狭粪侦挥舅躇沏狄衷仿炊驻按夹酿仑安谤些闪谣传坦傻拎愁妖霸井叔藐毙连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度滋张瞬腕
17、灶莽打兼篇愁屋亭诽寝丽药摆捣焦欧盏寓镍廖养杜檀土王范颧隆连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度【例【例 6】解解:(1)耙毡纱演哺涤毒锡曾馆烬磷载邢坷莆军俏彩逛坪航栽泌放赏铱竣茨亥懒哄连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度 则则得得(2) d 需满足需满足热携霉嗓尧戏舔贷妇礁涩喜防使请僵频刃诺闰徐稠招砒诛肛疯耐溶桩悄搂连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度0制残通谰起佑湾殴暴邢挝宽谊檬簿沈熙勃银丸酿旭即取绝秆蝴何胺甥屈汗连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度三三 小结小结1. 连续型随机变量的概率密度函数及其性质连续型随机变量的概率密度函数及其性质2. 几个常用的一维连
18、续型随机变量几个常用的一维连续型随机变量指数分布、均匀分布、正态分布指数分布、均匀分布、正态分布溯凡秃酝搜敞态拭闯饥泰龋钦酷凡嫉坝群窘遇炉下咕键条执狈柏悲缺佣恍连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度1 1 某地抽样调查结果表明，考生的外某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩平均成绩 =72,=72,又又9696分以上占考生总数的分以上占考生总数的23 3 设公共汽车站从上午设公共汽车站从上午7 7时起每隔时起每隔1515分钟来一班车分钟来一班车, ,如果某乘客到达此站的时间是如果某乘客到达此站的时间是 7:00 7:00
19、 到到7:307:30之间的之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5 5分钟的分钟的概率概率2.32.3, ,求考生的外语成绩在求考生的外语成绩在6060分至分至8484分之间的概率。分之间的概率。浮项松咯睛嘱室棉段箔船入芍耻魂吩侵删陵靳弄冻卓形牺烯蝇旦傀帆借兄连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度查表查表考生的外语成绩在考生的外语成绩在60分至分至84分之间的概率为分之间的概率为0.682。1 解解：考生外语成绩：考生外语成绩XN(72, 2). 由题意由题意酸讼贺窿烫李饼哼绣肩奇噪汰吁固菏剑蹈绚事蓝愉结淋烤津炽涅萧檄桃畏连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度胰缉硬概董恰秩辖乌踊砖侍涝陨鹊汝回甲板戎吻臻女迭敷惧右顷务死弘嚣连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度3 解：解：设该乘客于设该乘客于7时时X分到达此站分到达此站令：令：B= 候车时间不超过候车时间不超过5分钟分钟 彭堂车唬敖淖遏蘸砾瑰殷娱籽邪埠箭升瑰凌育强套阿润掌钥痞侈赠驹阔足连续型随机变量的概率密度2.4连续型概率密度
