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1、 线性控制系统工程 第16章 伯德图分析，稳定性， 及幅值和相角裕度1伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度(g c) 第第16章章 伯德图分析伯德图分析,稳定性稳定性 及幅值和相角裕度及幅值和相角裕度u伯德图中的增益裕度和相角裕度g c(g c)M ( pc)2伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度改变增益的作用是使幅值曲线上下平移，而相角曲线不变。如果 那么条件稳定3伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度考虑下面的例子： K=0.1 转折频率为 1, 0.5, 0.34奈奎斯特稳定性判据：当相角为-180o时，如果系统幅值小于或等于1，那么这个系统是稳定的。 在伯德图中， 单位幅值对应于 MdB=0。 例子
2、中: 相位为-180时， 幅值约为 18dB ，因此系统是稳定的。4伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度 0.01 0.1 1.0 1040200-20-40-90-180-270图16.1 例子系统的伯德图0相位穿越点增益穿越点5伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度 增加K 将使幅值曲线向上平移动，从而使幅值穿越点向右移。但是相角穿越点保持不变。 系统最终处在临界不稳定点上。 计算临界不稳定时系统的幅值。 6伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度90180270K1K2K cK37伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度1K1K2K3KcReI mRe图.16.2 具有变化K的系统伯德图、奈奎斯特图和根轨迹I m
3、K3KcK2K18伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度 在相位-180时， K dB 幅值约为 18dB， 如果系统不稳定： 这个结果接近于先前分析的结果K=0.832. 误差是由伯德图的相角曲线用直线近似引起的。 9伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度l伯德图中的增益裕度 增益裕度 (用分贝表示)为 Kc 的分贝值与增益K的分贝值之差。 伯德图中的增益裕度和相角裕度10伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度伯德图中的相位裕度：- 相位裕度是使相角曲线向下移动 直到增益和相角穿越点发生在同一频率时的纯相角滞后量 。 - 在图16.1中 11伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度l 在伯德图中获得增益裕度和相位裕度
4、: 增益裕度是通过相角穿越频率得出的。 它是该频率处的幅值分贝值与0dB线之间的差值(用分贝表示) 。 相角裕度是通过增益穿越频率得出的， 它是此频率处的相角与-180o线之间的差值。12伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度0db图.16.3 增益裕度和相位裕度GMPM13伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度l一般开环传递函数 当 趋于 0 时 系统的型和从伯德图得到稳态误差14伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度l0型系统 图.16.4 0型系统的伯德图15伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度l1型系统 幅值增益 如果k=1 ，那么当 = 1 时，图形经过Mdb= 0dB线。-20db/decade图.16
5、.5 1型系统的伯德图16伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度 Kv的值可以通过测量在 =1处的增益来获得。如果其他环节在频率 =1之前作用于对数幅频特性， 那么应该用低频渐近线的延长线求出。-20db/decade 图.16.6 1 型系统的另一种伯德图17伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度l2型系统 如果 ka=1。对数幅频特性在当 =1时，其低频段或它的延长线会以40db/decade 的斜率穿过 零分贝线 。 Ka 的值可以通过测量 = 1 处的增益值来获得。18伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度-40db/decade图.16.7 2 型系统的伯德图19伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度l相角
6、裕度是确定系统稳定性的唯一可靠的参数。l无频率穿越点：- 考虑下面的例子 - 相角绝不会穿过 -180 线。 但是相位裕度可以从增益穿越点 PM=45处获得， 系统是稳定的。进一步讨论增益裕度和相位裕度20伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度 0.01 0.1 1.0 1040200-20-40-90-180-270 图16.8 无相位穿越点的伯德图0K=121伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度MATLAB 仿真 22伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度23伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度 用根轨迹来验证： ReI m-10-1图.16.9 系统的根轨迹图24伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度l 多个频率
7、穿越点： 考虑下面的例子 增益穿越频率在=1处, 相角裕度为-45, 可判断出系统是不稳定的。25伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度这里有两个相位穿越频率，分别为=3 和=300。在每个频率处增益裕度是正的， 表明系统是稳定的系统。 但相位裕度判断系统的确是不稳定的。26伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度 0.01 0.1 1.0 10 40 0-40-80-90-180-270图16.10 具有两个相位穿越点的系统0GM1=K (db)K=1GM2=K(db)-20-40-40-60PM27伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度MATLAB 仿真28伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度29伯德图分析稳定性
8、及幅值和相角裕度 用根轨迹来验证： 在kk1时， 系统是不稳定的； 在 k1kk2时， 系统再次不稳定。 图.16.11 系统的根轨迹图-1-10-100-1000ReI mK=K2K=K13 polesK=130伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度l单一频率穿越点: 增加相位考虑下面的例子相位裕度是负的，表明系统是不稳定的。增益裕度是正的，表明系统是稳定的。 考虑相位裕度，系统是稳定的。31伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度 0.1 1 10 10040 0-40-40-90-180-270 图16.12 具有单一渐增相位穿越点的系统的伯德图0-40-60PMGM=K1(db)32伯德图分析稳定性
9、及幅值和相角裕度MATLAB 仿真33伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度34伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度从根轨迹得到证实， 系统是条件稳定的。 当kk1时， 系统是不稳定的。 3 poles2 zeroes-2K=K1K=1ReI m图.16.13 系统的根轨迹图35伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度l通过伯德图判断稳定性的可靠方法是:l- 如果系统有正的相角裕度，那么系统是稳定的。l- 相角裕度是由伯德图判定系统稳定性的唯一可靠的方法。 36伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度改进的奈奎斯特判据： 根据沿着频率增加方向的频率特性，观察临界点是在其左边还是右边通过，是由极坐标图判断稳定性的唯一可靠
10、的方法。 37伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度 当 k k1时， 系统是稳定的 -1ReI m 图.16.14 稳定系统的奈奎斯特图38伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度l问题: 如图所示的系统， 画出当K=45时的伯德图， 并确定增益裕度和相位裕度。 计算使系统稳定的最大K值， 并用劳斯阵列验证其结果。例题 16.1K-+RC图.SP16.1.139伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度l解:开环传递函数： 转折频率发生在=2 和=3处， 将会在以下的频率范围画出伯德图：40伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度 0.1 1 10 10020 0-20-40-90-180-270 图.SP16.1.20P
11、MGM41伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度MATLAB 仿真42伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度43伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度获得最大值 Kmax=NK用劳斯阵列来验证结果： 特征方程为 误差与增益裕度的精确性有关12144伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度l问题: 一个单位反馈控制系统，其开环传递函数为：l 画出当 K=0.8时系统的伯德图， 并确定增益裕度和相位裕度。 使系统的相位裕度约为 60的K为何值?l解: 例题 16.245伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度 转折频率: =1( 两次), =5 (零), n=2 (二阶系统的转折频率). 将在以下频率范围内画出伯德图： 画出每一个
12、环节的增益和相位曲线46伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度 0.01 0.1 1.0 1040200-20-40-90-180-270图16.2.1047伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度 0.01 0.1 1.0 1040200-20-40-180-360图16.2.20PM=60GM=3db3db48伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度 二阶环节频率比=/ n频率比=/ n49伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度 增益裕度为 3 dB，相位裕度约为35。 为了给系统提供一个 60的相位裕度，幅值曲线需要下平移约3dB50伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度作业：P339 16.1 a.P339 16.3 e. 51伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度
