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1、Ch.2 Ch.2 控制系控制系统的状的状态空空间模型模型1a2.3 根据其它数学模型建立状根据其它数学模型建立状态空空间模型模型本节讨论由描述线性定常系统的其它数学模型, 通过选择适当的状态变量建立系统的状态空间模型.由系统的输入输出关系模型求其状态空间模型的问题称为系统的实现问题本节的内容为：由高由高阶常微分方程建立状常微分方程建立状态空空间模型模型由由传递函数建立状函数建立状态空空间模型模型由系由系统方框方框图建立状建立状态空空间模型模型2a2.3.1 由高由高阶常微分方程建立状常微分方程建立状态空空间模型模型本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型,分别讨论
2、由不含不含输入量入量导数数项和和含含输入量入量导数数项的的微分方程建立状态空间模型.本节关键问题:如何选择状态变量保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变3a微分方程中不包含输入量的导数项(1/9)1. 微分方程中不包含微分方程中不包含输入量的入量的导数数项q描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为 y(n) a1y(n-1) any bu (2.1)其中y和u分别为系统的输出和输入, n为系统的阶次. 这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间模型本节问题的关键是如何选择状态变量4a微分方程中不包含输入量的导数项(2/
3、9)q由微分方程理论知, 若初始时刻t0的初值y(t0), y(t0), , y(n1)(t0)已知, 则对给定的输入u(t), 微分方程(2.1)有唯一解,也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确定.因此,选择状态变量如下x1(t) y(t), x2(t) y(t), , xn(t) y(n-1)(t) 可完全刻划系统的动态特性取输出 y 及其各阶导数为状态变量,物理意义明确,易于接受5a微分方程中不包含输入量的导数项(3/9)q将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下状态方程和输出方程y x16a微分方程中不包含输入量的导数项(4/9)q将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有
4、其中x x1, x2, , xnT, u u, y y.微分方程: y(n) a1y(n-1) any bu 状态变量: x1 y, x2 y(1), , xn y(n-1)7a微分方程中不包含输入量的导数项(5/9)q该状态空间模型可简记为:其中8a微分方程中不包含输入量的导数项(6/9)上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方程(2.1)中的系数a1, a2, an之间,输入矩阵B与方程(2.1)中系数b之间的对应关系.通常将上述取输出y及其各阶导数为状态变量称为相变量.上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行为1个
5、n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵.9a微分方程中不包含输入量的导数项(7/9)q上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示y x110a微分方程中不包含输入量的导数项(8/9)q例 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y” 6y” 11y 6y 2uq解 本例中a1 6, a2 11, a3 6, b 2 因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时,可得状态空间模型如下 11a微分方程中不包含输入量的导数项(9/9)其系统结构图如下所示12a微分方程中包含输入量的导数项(1/10)2. 微分方程中包含微分方程中包含输入量的入量的导数数项q描述单输入单输出线性系
6、统的输入输出间动态行为的微分方程的一般表达式为y(n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bnu本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型-状态空间模型建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量13a微分方程中包含输入量的导数项(2/10)q若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即x1(t) y(t), x2(t) y(t), , xn(t) y(n-1)(t) 则可得如下状态方程上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立.因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接将输出y的各阶导数项取作状态变量.1
7、4a微分方程中包含输入量的导数项(3/10)q为避免状态方程中显式地出现输入的导数,通常,可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量,其原则是:使状态方程中不显含输入u的各阶导数基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面只介绍一种15a微分方程中包含输入量的导数项(4/10)q根据上述原则,选择状态变量如下其中i(i=0,1,n)为待定系数。对各式两边求导数得到:y(n)+a1y(n-1)+any = b0u(n)+bnu16a微分方程中包含输入量的导数项(5/10)因此,有17a微分方程中包含输入量的导数项(6/10)因此,有0000n18a微分方程中包含输入量的导数项(7/1
8、0)若待定系数i(i 0,1,n)满足如下关系式 0 b0 1 b1 a10 2 b2 a11 a20 n1 bn1 a1n2 an1 0 则有n19a微分方程中包含输入量的导数项(8/10)i (i 0,1,n)满足: 0 b0 1 b1 a10 2 b2 a11 a20 n1 bn1 a1n2 an1 0 n bn a1n1 an1 1 an 0 xi 满足:20a微分方程中包含输入量的导数项(9/10)待定系数: 状态方程:输出方程:微分方程: y(n)+a1y(n-1)+any = b0u(n)+bnu21a微分方程中包含输入量的导数项(10/10)q上述实现状态空间模型的模拟结构图如
9、右图所示22a由由传递函数建立状函数建立状态空空间模型模型(1/5)2.3.2 由由传递函数建立状函数建立状态空空间模型模型q下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的状态空间模型关键问题: 1. 如何选择状态变量2. 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变q由于传递函数与线性常系数常微分方程有直接的对应关系,故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法同样适用于将传递函数模型变换为状态空间模型.类似地,本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法亦适用于对微分方程建立状态空间模型.23a由由传递函数建立状函数建立状态空空间模型模型(2/5)q实际物理系统传递函数中分子多项式阶
10、次小于或等于其分母多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数.而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时,则称为严格真有理传递函数.q本节讨论描述单输入单输出(SISO)线性系统的输入输出间动态行为的如下传递函数24a由由传递函数建立状函数建立状态空空间模型模型(3/5)对上述传递函数,由长除法,有其中25a由由传递函数建立状函数建立状态空空间模型模型(4/5)本节所要研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的状态空间模型(A,B,C,D)q上述常数项d即为状态空间模型(A,B,C,D)中的直联矩阵D;严格真有理传递函数G(s)对应可建立(A,B,C,D)中的(A,B,C),即26a由由传递函数建立
11、状函数建立状态空空间模型模型(5/5)q下面分传递函数极点互异和极点互异和有重极点有重极点两种情况讨论如何建立状态空间模型27a传递函数中极点互异时的变换(1/8)1. 传递函数中极点互异函数中极点互异时的的变换q对于传递函数G(s),其特征方程为sn+a1sn-1+an= 0 若其特征方程的n个特征根s1,s2,sn互异,则用部分分式法可将G(s)表示为如下并联分解 其中k1,k2,kn为待定系数,其计算公式为28a传递函数中极点互异时的变换(2/8)q下面以k1计算式的推导过程为例说明的ki的计算式将G(s)乘以s-s1,有因此,由于特征根s1,s2,sn互异, 有q下面讨论通过选择状态变
12、量求得相应的状态空间模型29a传递函数中极点互异时的变换(3/8)q考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足因此,若选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足则,经反变换可得系统状态方程为30a传递函数中极点互异时的变换(4/8)q相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为 Y(s) = k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s)因此,经拉氏反变换可得如下输出方程 y = k1x1+k2x2+knxnq整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型31a传递函数中极点互异时的变换(5/8)q上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个重要特征,即A为对角线矩阵系统矩阵A具有上述对角线
13、形式的状态空间模型即为下一节将详细讨论的所谓对角线规范形事实上, 对角角线规范形其范形其实是将系是将系统转换为n个一个一阶子子系系统(惯性性环节)的并的并联, 如右图所示对角线规范形的结构图32a传递函数中极点互异时的变换(6/8)q例 用部分分式法将2.3.1节例子中微分方程对应的下述传递函数变换为状态空间模型33a传递函数中极点互异时的变换(7/8)q解解 由系统特征多项式s3 6s2 11s 6可求得系统极点为s1 1 s2 2 s3 3于是有其中34a传递函数中极点互异时的变换(8/8)q故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出, 可得如下状态空间模型q将上述结果
14、与2.3.1节例子的结果相比较可知,即使对同一个系统,采用不同的建立状态空间模型的方法,将得到不同的状态空间模型。即,状态空间模型不具有唯一性。35a传递函数中有重极点时的变换(1/13)2. 传递函数中有重极点函数中有重极点时的的变换q当系统特征方程有重根时,传递函数不能分解成如式 的情况,亦得不到只有单极点情形时的对角线规范形状态方程q不失一般性, 为清楚地叙述变换方法, 以下设系统特征方程有6个根,其值分别为s1,s1,s1,s4,s5,s5,即s1为3重极点,s5为2重极点.相应地,用部分分式法可将所对应的传递函数表示为36a传递函数中有重极点时的变换(2/13)其中kij为待定系数,
15、其计算公式为其中l为极点si的重数.37a传递函数中有重极点时的变换(3/13)q下面以系数k13的计算公式的推导为例来说明kij的计算式将G(s)的两端乘以(s-s1)3 ,有对等式两边求2次导数后 因此，有38a传递函数中有重极点时的变换(4/13)q下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型q如何如何选择状状态变量量?考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足39a传递函数中有重极点时的变换(5/13)q选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足则有40a传递函数中有重极点时的变换(6/13) 即有则经反变换可得系统状态方程为41a传递函数中有重极点时的变换(7/13)q相应地,系
16、统输出y(t)的拉氏变换为 Y(s) k11X1(s) k12X2(s) k13X3(s) k41X4(s) k51X5(s) k52X6(s) 经拉氏反变换可得如下输出方程 y k11x1 k12x2 k13x3 k41x4 k51x5 k52x642a传递函数中有重极点时的变换(8/13)q因此,整理可得如下矩阵描述的状态空间模型43a传递函数中有重极点时的变换(9/13)q上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个重要特征,即A为块对角矩阵,且每个矩阵方块为只有一个重特征值的特定矩阵块(约旦块)。系统矩阵A具有上述特定块对角形式的状态空间模型即为下一节还将介绍的所谓约旦规范形。
17、事实上, 约旦规范形是将系统转换为多个子系统(惯性环节)的串-并联。如下图所示。44a传递函数中有重极点时的变换(10/13)45a传递函数中有重极点时的变换(11/13)q例 用部分分式法将下述传递函数变换为状态空间模型46a传递函数中有重极点时的变换(12/13)q解解 由系统特征多项式s3+5s2+8s+4可求得系统有二重极点s12和单极点s21,于是有其中47a传递函数中有重极点时的变换(13/13)q故当选择状态变量为G(s)分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得如下状态空间模型48a由系由系统方框方框图建立状建立状态空空间模型模型(1/5)2.3.3 由系由系统方框方框图建
18、立状建立状态空空间模型模型q下面讨论由系统方框图建立系统的状态空间模型基本思想: 1. 将系统的各个环节分解为积分, 惯性和比例环节2. 选取积分环节和惯性环节的输出为系统状态49a由系由系统方框方框图建立状建立状态空空间模型模型(2/5)q例 建立下图示系统的状态空间模型szspKs1sauyzpspKs1sauyx1x2x3然后选择状态变量解解: 先转化为积分, 比例和惯性环节, 50a由系由系统方框方框图建立状建立状态空空间模型模型(3/5)再列出状态关系和输出关系:整理成状态空间模型形式便是: 51a由系由系统方框方框图建立状建立状态空空间模型模型(4/5)q例 建立下图示系统的状态空间模型解解: 已经是积分和比例环节. 选择状态变量x1, x2, x3.1suy1s1s326x3x2x1列出状态关系和输出关系就是:52a由系由系统方框方框图建立状建立状态空空间模型模型(5/5)整理成状态空间模型形式便是: 53a习题q习题2-2 描述系统的微分方程为其中y(t)为输出量, u(t)为输入量.(1) 选状态变量 写出系统的状态空间模型;(2) 选另一组变量 满足: 写出系统以 为状态变量的状态空间模型.习题2-3 求以下求以下传递函数模型函数模型对应的状的状态空空间模型模型54a
