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1、第十三章第十三章动量矩定理动量矩定理112-1 转动惯量转动惯量一定义一定义 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kgm2 。若刚体的质量是连续分布，则二转动惯量的计算二转动惯量的计算积分法积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）2 例例1 匀质细直杆长为l ,质量为m 。 求求：对z轴的转动惯量 ； 对z 轴的转动惯量 。解解： 2. 回转半径回转半径由所定义的长度由所定义的长度 称为刚体对称为刚体对 z 轴的回转半
2、径。轴的回转半径。3 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的，以供参考。 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。 定理定理3. 平行移轴定理平行移轴定理 对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。4 证明证明 设质量为m的刚体，质心为C，刚
3、体对通过质心轴的转动惯量具有最小值刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。5当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。4计算转动惯量的组合法计算转动惯量的组合法例如例如，对于例1中均质细杆对 z 轴的转动惯量为6解解：例例2 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 IO 。例例3 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。求求 物体C上升的
4、加速度。7例例3 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。求求 物体C上升的加速度。 取轮B连同物体C为研究对象；受力如图；轮B速度为2 ，角加速度为e2 ；物体C速度为v ，加速度为a ；由质点系的动量矩定理则有： 解解: 取轮A为研究对象；受力如图；轮A角加速度为 e1 ，由刚体定轴转动微分方程则有：8运动学补充方程：化简(1) 得：化简(2) 得：9质点质点系动量定理：动量定理：动量的改变外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零，质心无运动，可是质
5、点系确受外力的作用。动量矩定理建立了动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。 12-2动量矩动量矩一质点的动量矩一质点的动量矩质心运动定理质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢） 质点对点质点对点O的动量矩的动量矩矢量大小：10 质点对轴质点对轴 z 的动量矩的动量矩代数量正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负逆时针为正 质点对点质点对点O的动量矩与对轴的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系的动量矩之间的关系 动量矩度量物体在任
6、一瞬时绕固定点动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴轴)转动的强弱。转动的强弱。kg2/s。 单位单位11 质点系对轴质点系对轴z 动量矩动量矩 二质点系的动量矩二质点系的动量矩 质系对点质系对点O动量矩动量矩刚体动量矩计算刚体动量矩计算刚体动量矩计算刚体动量矩计算 平动刚体平动刚体 平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。对该点（轴）的动量矩。 定轴转动刚体定轴转动刚体 定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。与角速度的乘积。12 平面运动刚体对
7、垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。质心轴作转动时的动量矩之和。 平面运动刚体平面运动刚体例例1 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3 求求系统对O轴的动量矩。解解：1312-3动量矩定理动量矩定理一质点的动量矩定理一质点的动量矩定理两边叉乘矢径 , 有左边可写成故： 质点对固定点的动量矩定理质点对固定点的动量矩定理14将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 上式
8、称质点对固定轴的动量矩定理质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 质点的动量矩守恒情况质点的动量矩守恒情况 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理质点对固定点的动量矩定理 质点对固定轴的动量矩定理质点对固定轴的动量矩定理若则常矢量15运动分析：由动量矩定理微幅摆动时，并令，则，摆动周期解解：研究小
9、球，将小球视为质点。受力如图示。例例2 单摆已知m，l，t =0时= 0，从静止 开始释放。 求求单摆的运动规律。代入初始条件则运动方程微分方程的解为：16注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）针转向为正） 质点动量矩定理的应用质点动量矩定理的应用 (可求解质点动力学两类基本问题） 已知作用于质点的力或力矩求质点的运动；已知作用于质点的力或力矩求质点的运动； 已知质点的运动求作用于质点的力或力矩；已知质点的运动求作用于质点的力或力矩； 已知质点在某一状态下的运动要素，求在另一状态下的已知质点在某一状态下的运动要素，求
10、在另一状态下的运动要素（速度、位置坐标）。运动要素（速度、位置坐标）。17 质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）二质点系的动量矩定理二质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序，而一质点系对固定点的动量矩定理质点系对固定点的动量矩定理对质点系，有对质点Mi ： 质点系对固定点的动量矩定理质点系对固定点的动量矩定理 质点系对固定轴的动量矩定理质点系对固定轴的动量矩定理将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得18 上式称为
11、质点系对固定轴的动量矩定理质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 质点系的动量矩守恒定理质点系的动量矩守恒定理当时，常矢量。当时，常矢量。当时，常量当时，常量。 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。变质点系的动量矩。19解解: 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。 运动分析： v =由动量
12、矩定理：例例3 已知: 20解解： 系统的动量矩守恒。猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,均为 。例例4 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？动的速度多大？（轮重不计）21 可解决动力学两类问题可解决动力学两类问题 12-412-4刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程对于一个定轴转动刚体一个定轴转动刚体代入质点系动量矩定理，有刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程一、刚体定轴转动微分方程一、刚体定轴转动微分方程 方程方程的的导出导出22 二、讨论二、讨论 若若 , 则则 恒量，刚体作匀速转恒量，刚体作匀速转动或动或 保持静止。保持静止。
13、 若若 常量，则常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。常量，刚体作匀变速转动。 将将 与与 比较，可以看出，比较，可以看出， 刚体的转动惯量刚体的转动惯量 是刚体转动惯性的度量。是刚体转动惯性的度量。例例1 已知：复摆（物理摆）重为P ，对转轴的转动惯量为 Io ； 求：复摆作微幅摆动时的运动规律。解：解：取复摆为研究对象； 受力分析如图示；23运动分析：复摆绕轴O作定轴转动； 由刚体定轴转动微分方程:得：微幅摆动时，即有：即有：微分方程的解为：24 l 复摆的简化长度，简化长度，K 复摆的摆心，摆心，O 复摆的悬点。悬点。悬点和摆心可以互换，而不改变复摆的周期。 上式即为复摆作微幅摆动时的运动
14、规律。A为角振幅，a为初位相，可由运动初始条件确定。复摆的运动规律是简谐运动。 这就表明，如已知某物体的重量和重心的位置，再测出这就表明，如已知某物体的重量和重心的位置，再测出其其作微幅摆动时的作微幅摆动时的摆动周期，则可计算出该物体对转轴的转摆动周期，则可计算出该物体对转轴的转动惯量。动惯量。2512-5质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程一质点系动量矩一质点系动量矩 二质点系相对质心的动量矩定理二质点系相对质心的动量矩定理 定理定理质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理 质点系对任一点质点系对任一点O 的动量矩等于
15、系统的动量的动量矩等于系统的动量 对于对于O 点的动量矩与该系统对质心动量矩点的动量矩与该系统对质心动量矩 的矢量和。的矢量和。质点系相对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点质点系相对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对质心之矩的矢量和。系的所有外力对质心之矩的矢量和。26 质点系相对于质心和相对于固定点的动量矩定理，具质点系相对于质心和相对于固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系不存在这种简单的关系。 质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点质点系相对于
16、质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。系上的外力有关，而与内力无关。 讨论讨论三刚体平面运动微分方程三刚体平面运动微分方程 方程的导出方程的导出 设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系 是简化到该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形S，质心一定位于S内。27取质心C为动系原点，则此平面运动可分解为 随质心C的平动 (xC , yC) 绕质心C的转动 （） 可通过质心运动定理和相对质心的动量矩定理可确定出：28应用时采用投影形式应用时采用投影形式或上式称为 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程。 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程29例例4 质量为m半
17、径为R的均质圆轮置放于倾角为q 的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为f、f，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。解解：取轮为研究对象。 受力分析如图示。 运动分析：取直角坐标系 Oxy aC y =0，aC x =aC， 一般情况下轮作平面运动。 根据平面运动微分方程求解：由 式得 三式中含有四个未知数aC 、F、a ，N ，需根据不同的运动情况列写一个补充方程。303设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。F=fN 可解得表明：当时，解答3适用； 当时，解答2适用；f =0 时解答1适用。1设接触面绝对光滑。 因为轮由静止开始运动，故0，轮沿斜面平动下滑。轮作纯滚动的条件：所以可解得所以可解得2设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，31
