初中数学经典题型

《初中数学经典题型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学经典题型（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、初中数学参考资料综合知识讲解目录目录第一章绪论 .21.11.21.31.4第二章2.12.2第三章第四章4.14.2第五章初中数学的特点 .2怎么学习初中数学 .2如何去听课 .5几点建议 .6应知应会知识点 .8代数篇 .8几何篇 .12例题讲解 .19兴趣练习 .31代数部分 .31几何部分 .49复习提纲 .54第 1 页 共 68 页初中数学参考资料第一章第一章绪绪论论1.11.1初中数学的特点初中数学的特点1.21.2怎么学习初中数学怎么学习初中数学1 1，培养良好的学习兴趣。，培养良好的学习兴趣。两千多年前孔子说过： “知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 ”意思说，干一件事，知

2、道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。 “好”和“乐”就是愿意 学，喜欢学，这就是兴趣。兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。第 2 页 共 68 页初中数学参考资料在数学学习 中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学 兴趣呢？（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。（2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂

3、提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。（3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？（5）把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、 直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能对概念的理解切实可*，在应用概念判断、推理时会准确。2 2，建立良好的学习数学习惯。，建立良好的学习数学习惯。习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。 建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的

4、良好习惯应是：多质疑、勤 思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。学生在学习 数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再 学习能力。3 3，有意识培养自己的各方面能力，有意识培养自己的各方面能力 。数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。 在平时学 习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动

5、，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净 化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。特别第 3 页 共 68 页初中数学参考资料是，教师为了培养这些能 力，会精心设计“智力课”和“智力问题”比如对习题的解答时的一题多解、 举一反三的训练归类， 应用模型、 电脑等多媒体教学等，都是为数学能力的培养开设的好课型， 在这些课型中， 学生务必要用全身心投入、全方位智力参与，最终达到自己各方面能力的全面发展4 4、及时了解、掌握常用的数学思想和方法。、及时了解、掌握常用的数学思想和

6、方法。学好初中数学， 需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动 思想，转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常 用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动

7、静转换、分合相辅等。5 5、逐步形成、逐步形成 “以我为主”的学习模式“以我为主”的学习模式 。数学不是老师教会的， 而是在老师的引导下， 自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于 探索的创新精神；正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取， 不屈不挠， 耐挫折的优良心理品质； 在学习过程中， 要遵循认识规律，善于开动 脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论， 经常进行一题多解， 一题多变， 从多侧面、 多角度思考问题，挖掘问题的实 质。学习数学一定要讲究“活” ，只看书不做题不行

8、，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。6 6、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施。、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施。记数学笔记， 特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中扩展的课外知识。 记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的第 4 页 共 68 页初中数学参考资料未解决的问题，以便今后将其补上。建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、 以便对症下药； 解答问题完

9、整、 推理严密。1.31.3如何去听课如何去听课认真听好每一节棵。要上好每一节课， 数学课有知识的发生和形成的概念课，有解题思路探索和规律总结的习题课，有数学思想方法提炼和联系实际的复习课。要上好这些课来学会数学知识，掌握学习数学的方法。概念课概念课要重视教学过程，要积极体验知识产生、发展的过程，要把知识的来龙去脉搞清楚，认识知识发生的过程，理解公式、定理、法则的推导过程，改变死记硬背的方法，这样我们就能从知识形成、发展过程当中，理解到学会它的乐趣；在解决问题的过程中，体会到成功的喜悦。习题课习题课要掌握“听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一遍不如辩一辩”的诀窍。除了听老

10、师讲，看老师做以外，要自己多做习题，而且要把自己的体会主动、大胆地讲给大家听，遇到问题要和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。在听课时要注意老师展示的解题思维过程，要多思考、多探究、多尝试，发现创造性的证法及解法，学会“小题大做”和“大题小做”的解题方法，即对选择题、填空题一类的客观题要认真对待绝不粗心大意，就像对待大题目一样，做到下笔如有神；对综合题这样的大题目不妨把“大”拆“小” ，以“退”为“进” ，也就是把一个比较复杂的问题，拆成或退为最简单、最原始的问题，把这些小题、简单问题想通、想透，找出规律，然后再来一个飞跃，进一步升华， 就能凑成一个大题， 即退中求进了。 如果有了这种分解、

11、 综合的能力，加上有扎实的基本功还有什么题目难得倒我们。复习课复习课第 5 页 共 68 页初中数学参考资料在数学学习过程中，要有一个清醒的复习意识，逐渐养成良好的复习习惯，从而逐步学会学习。 数学复习应是一个反思性学习过程。 要反思对所学习的知识、技能有 没有达到课程所要求的程度； 要反思学习中涉及到了哪些数学思想方法，这些数学思想方法是如何运用的，运用过程中有什么特点；要反思基本问题 (包括基本图 形、图像等)，典型问题有没有真正弄懂弄通了，平时碰到的问题中有哪些问题可归结为这些基本问题；要反思自己的错误，找出产生错误的原因，订出改正的措 施。在新学期大家准备一本数学学习“病例卡” ，把平

12、时犯的错误记下来，找出“病因”开出“处方” ，并且经常拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错，怎么改 正，通过你的努力，到高考时你的数学就没有什么“病例”了。并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行，通过运用，达到深化理解、发展能力的目的， 因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量的数学习题，做到举一反三、熟练应用，避免以“练”代“复”的题海战术。1.41.4几点建议几点建议1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。如：我在讲课时的注解。2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面

13、入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。3、记忆数学规律和数学小结论。4、与同学建立好关系，争做“小老师” ，形成数学学习“互助组” 。5、争做数学课外题，加大自学力度。6、反复巩固，消灭前学后忘。7、学会总结归类。从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类。总之，对初中生来说，学好数学，首先要抱着浓厚的兴趣去学习数学，积极展开思维的翅膀，主动地参与教育全过程，充分发挥自己的主观能动性，愉快有效地学数学。第 6 页 共 68 页初中数学参考资料其次要掌握正确的学习方法。锻炼自己学数学的能力，转变学习方式，要改变单纯接受的学习方式，要学会采

14、用接受学习与探究学习、合作学习、体验学习等多样化 的方式进行学习，要在教师的指导下逐步学会“提出问题实验探究开展讨论形成新知应用反思”的学习方法。这样，通过学习方式由单一到多样的转变，我 们在学习活动中的自主性、探索性、合作性就能够得到加强，成为学习的主人。第 7 页 共 68 页初中数学参考资料第二章第二章应知应会知识点应知应会知识点2.12.1代数篇代数篇一数与式（一）有理数1有理数的分类2数轴的定义与应用3相反数4倒数5绝对值6有理数的大小比较7有理数的运算（二）实数8实数的分类9实数的运算10科学记数法11近似数与有效数字12平方根与算术根和立方根13非负数14零指数次幂负指数次幂（三

15、)代数式15代数式代数式的值16列代数式（四）整式17整式的分类18整式的加减乘除的运算19幂的有关运算性质20乘法公式第 8 页 共 68 页初中数学参考资料21因式分解（五）分式22分式的定义23分式的基本性质24分式的运算（六）二次根式25二次根式的意义26根式的基本性质27根式的运算二方程和不等式（一）一元一次方程28方程方程的解的有关定义29一元一次的定义30一元一次方程的解法31列方程解应用题的一般步骤（二）二元一次方程32二元一次方程的定义33二元一次方程组的定义34二元一次方程组的解法（代入法消元法加减消元法）35二元一次方程组的应用（三）一元二次方程36一元二次方程的定义37

16、一元二次方程的解法（配方法因式分解法公式法十字相乘法）38一元二次方程根与系数的关系和根的判别式39一元二次方程的应用（四）分式方程40分式方程的定义41分式方程的解法（转化为整式方程检验）42分式方程的增根的定义第 9 页 共 68 页初中数学参考资料43分式方程的应用（五）不等式和不等式组44不等式（组）的有关定义45不等式的基本性质46一元一次不等式的解法47一元一次不等式组的解法48一元一次不等式（组）的应用三函数（一）位置的确定与平面直角坐标系49位置的确定50坐标变换51平面直角坐标系内点的特征52平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置53对称问题：P(x,y)Q(x,- y）

17、关于 x 轴对称P(x,y)Q(- x,y)关于 y 轴对称P(x,y)Q(- x,- y)关于原点对称54变量自变量因变量函数的定义55函数自变量因变量的取值范围（使式子有意义的条件图象法）56函数的图象：变量的变化趋势描述（二）一次函数与正比例函数57一次函数的定义与正比例函数的定义58一次函数的图象：直线，画法59一次函数的性质（增减性）60一次函数 y=kx+b(k0)中 kb 符号与图象位置61待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回）62一次函数的平移问题63一次函数与一元一次方程一元一次不等式二元一次方程的关系（图象法）64一次函数的实际应用第 10 页 共 68 页初中数

18、学参考资料65一次函数的综合应用（1）一次函数与方程综合（2）一次函数与其它函数综合（3）一次函数与不等式的综合（4）一次函数与几何综合（三）反比例函数66反比例函数的定义67反比例函数解析式的确定68反比例函数的图象：双曲线69反比例函数的性质（增减性质）70反比例函数的实际应用71反比例函数的综合应用（四个方面面积问题）（四）二次函数72二次函数的定义73二次函数的三种表达式（一般式顶点式交点式）74二次函数解析式的确定（待定系数法）75二次函数的图象：抛物线画法（五点法）76二次函数的性质（增减性的描述以对称轴为分界）77二次函数 y=ax2+bx+c(a0)中 abc与特殊式子的符号与

19、图象位置关系78求二次函数的顶点坐标对称轴最值79二次函数的交点问题80二次函数的对称问题81二次函数的最值问题（实际应用）82二次函数的平移问题83二次函数的实际应用84二次函数的综合应用（1）二次函数与方程综合（2）二次函数与其它函数综合第 11 页 共 68 页初中数学参考资料（3）二次函数与不等式的综合（4）二次函数与几何综合2.22.2几何篇几何篇1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短7经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第

20、三条直线平行这两条直线也互相平行9同位角相等两直线平行10内错角相等两直线平行11同旁内角互补两直线行12两直线平行同位角相等13两直线平行内错角相等14两直线平行同旁内角互补15三角形两边的和大于第三边16三角形两边的差小于第三边17三角形三个内角的和等 18018直角三角形的两个锐角互余19三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21全等三角形的对应边对应角相等22有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)23有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)24有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)25有三

21、边对应相等的两个三角形全等(SSS)第 12 页 共 68 页初中数学参考资料26有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)27在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28到一个角的两边的距离相同的点在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线底边上的中线和高互相重合33等边三角形的各角都相等并且每一个角都等于 6034等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35三个角都相等的三角形是等边三角

22、形36有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中如果一个锐角等于 30那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42关于某条直线对称的两个图形是全等形43如果两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44两个图形关于某直线对称如果它们的对应线段或延长线相交那么交点在对称轴上45如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分那么这两个图形关于这条直线对称46直角三角形

23、两直角边 ab 的平方和等于斜边 c 的平方即 a+b=c47如果三角形的三边长 abc 有关系 a+b=c那么这个三角形是直角三角形48四边形的内角和等于 36049四边形的外角和等于 36050多边形内角和定理n 边形的内角的和等于(n-2)180第 13 页 共 68 页初中数学参考资料51任意多边的外角和等于 36052平行四边形的对角相等53平行四边形的对边相等54夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形的对角线互相平分56两组对角分别相等的四边形是平行四边形57两组对边分别相等的四边形是平行四边形58对角线互相平分的四边形是平行四边形59一组对边平行相等的四边形是平行四边形60

24、矩形的四个角都是直角61矩形的对角线相等62有三个角是直角的四边形是矩形63对角线相等的平行四边形是矩形64菱形的四条边都相等65菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半即 S=(ab)267四边都相等的四边形是菱形68对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形的四个角都是直角四条边都相等70正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角71关于中心对称的两个图形是全等的72关于中心对称的两个图形对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分73如果两个图形的对应点连线都经过某一点并且被这一点平分那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形在同一底上

25、的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形第 14 页 共 68 页初中数学参考资料78如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等那么在其他直线上截得的线段也相等79经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰80经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边81三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半82梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半L=(a+b)S=Lh83如果 a:b=c:d那么 ad=bc如果 ad=bc那么 a:b=c:d84如果 a/b=c/d那么(ab)/b=(cd)/d85如果 a/b=c/d

26、=m/n(b+d+n0)那么(a+c+m)/(b+d+n)=a/b86三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例87平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线 )所得的对应线段成比例88如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线 )所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线 )相交所构成的三角形与原三角形相似91两角对应相等两三角形相似(ASA)92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93两边对应成比例且夹角相等两

27、三角形相似(SAS)94三边对应成比例两三角形相似(SSS)95如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例那么这两个直角三角形相似96相似三角形对应高的比对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比第 15 页 共 68 页初中数学参考资料97相似三角形周长的比等于相似比98相似三角形面积的比等于相似比的平方99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆

28、的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧112圆的两条平

29、行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦的弦心距相等115在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117同弧或等弧所对的圆周角相等 ;同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等第 16 页 共 68 页初中数学参考资料118半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径119如果三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形120圆的内接四边形的对角互补并且任何一个外角都等于它的内对角1

30、21直线 L 和O 相交dr直线 L 和O 相切d=r直线 L 和O 相离dr122经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123圆的切线垂直于经过切点的半径124经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126从圆外一点引圆的两条切线它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129如果两个弦切角所夹的弧相等那么这两个弦切角也相等130圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等131如果弦与直径垂直相交那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132从圆外一点

31、引圆的切线和割线切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切那么切点一定在连心线上135两圆外离 dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdR+r(Rr)两圆内切d=R-r(Rr)两圆内含 dR-r(Rr)136相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137把圆分成 n(n3):第 17 页 共 68 页初中数学参考资料依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形138任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆这两个圆是

32、同心圆139正 n 边形的每个内角都等于(n-2)180/n140正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形141正 n 边形的面积 Sn=pnrn/2p 表示正 n 边形的周长142正三角形面积3a/4a 表示边长143如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角由于这些角的和应为因此 k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4144弧长计算公式:L=nR/180145扇形面积公式:S 扇形=nR/360=LR/2146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)第 18 页 共 68 页360初中数学参考资料第三章第三章例题讲解例题讲解【

33、例】如图 10，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点 （不与B、C重合） 过E作直线AB的垂线， 垂足为FFE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF。（1）求证：BEFCEG（2）当点E在线段BC上运动时，BEF和CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设BEx，DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？AFMBx解析过程及每步分值所以B GCE ,DEGC图 101）因为四边形ABCD是平行四边形， 所以ABDG 1 分G BFE所以BEF CEG 3 分（2）BEF与CEG的周长

34、之和为定值 4 分理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，因为GFAB，所以四边形FHCG为矩形所以FHCG，FGCH因此，BEF与CEG的周长之和等于BCCHBH由BC10，AB5，AM4，可得CH8，BH6，所以BCCHBH24 6 分理由二：H由AB5，AM4，可知DA在 RtBEF与 RtGCE中，有：4343EF BE,BF BE,GE EC,GC CE，5555FBMxEGC第 19 页 共 68 页初中数学参考资料所以，BEF的周长是1212BE， ECG的周长是CE55又BECE10，因此BEF与 CEG的周长之和是 24 6 分43x,GC (10 x)5511 4362

35、2所以y EF DG x (10 x)5 x2x 8 分22 55255655121配方得：y (x)2256655所以，当x 时，y有最大值 9 分6121最大值为 10 分6【例】如图二次函数yax2bxc(a0)与坐标轴交于点 ABC 且 OA1OBOC3（1）求此二次函数的解析式（2）写出顶点坐标和对称轴方程（3）点 MN 在yax2bxc的图像上(点 N 在点 M 的右边)且 MNx轴求以 MN 为直径且与x轴相切的圆的半径解析过程及每步分值，0)B(3，0)C(0， 3)分别代入y ax2bxc（1）依题意A(1 1 分2解方程组得所求解析式为y x 2x3 4 分22（2）y x

36、 2x3 (x1) 4 5 分顶点坐标(1 ， 4)，对称轴x 1 7 分r)（3）设圆半径为r，当MN在x轴下方时，N点坐标为(1r， 8 分（3）设BEx，则EF 2把N点代入y x 2x3得r 1 17 9 分2第 20 页 共 68 页初中数学参考资料同理可得另一种情形r 1 172圆的半径为1 171 17或 10 分22【例例 3 3】已知两个关于x的二次函数y1与y2，y1 a(x k)2 2(k 0)，y1 y2 x2 6x 12，当x k时，y217；且二次函数y2的图象的对称轴是直线x 1（1）求k的值；（2）求函数y1，y2的表达式；（3）在同一直角坐标系内，问函数y1的

37、图象与y2的图象是否有交点？请说明理由解析过程及每步分值22（1）由y1 a(xk) 2，y1 y2 x 6x122222得y2 (y1 y2) y1 x 6x12a(xk) 2 x 6x10a(xk)2又因为当x k时，y217，即k 6k 10 17，解得k11，或k2 7（舍去） ，故k的值为1222（2）由k 1，得y2 x 6x10a(x1) (1a)x (2a 6)x10a，所以函数y2的图象的对称轴为x 2a6，2(1a)于是，有2a6 1，解得a 1，2(1a)22所以y1 x 2x1，y2 2x 4x112（3）由y1 (x1) 2，得函数y1的图象为抛物线，其开口向下，顶点

38、坐标为(1 ， 2)；22由y2 2x 4x11 2(x1) 9，得函数y2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(1， 9)； 故在同一直角坐标系内，函数y1的图象与y2的图象没有交点第 21 页 共 68 页初中数学参考资料【例 4】如图,抛物线y x 4x与 x 轴分别相交于点 B、O,它的顶点为 A,连接 AB,把 AB所的直线沿 y 轴向上平移,使它经过原点 O,得到直线 l,设 P 是直线 l 上一动点.（1）求点 A 的坐标;（2）以点A、B、O、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形 ,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;（3）设以点A、B、O、P 为顶点的

39、四边形的面积为S,点 P 的横坐标为x,当246 2 S 68 2时,求 x 的取值范围.解析过程及每步分值解： （1）y x 4x (x 2) 4A(-2,-4)（2）四边形 ABP1O 为菱形时，P1(-2,4)2224，)554 8四边形 ABP3O 为直角梯形时，P1(，)5 5612四边形 ABOP4为直角梯形时，P1(，)55四边形 ABOP2为等腰梯形时，P1(（3）由已知条件可求得 AB 所在直线的函数关系式是 y=-2x-8,所以直线l的函数关系式是y=-2x第 22 页 共 68 页初中数学参考资料当点 P 在第二象限时，x0,过点 A、P 分别作 x 轴的垂线，垂足为 A

40、、P则四边形 POAA 的面积SPOAA S梯形PPAASPPOAAB 的面积SAAB42x1(x2)(2x)x 4x422142 42S SPOAA SAAB 4x 8(x 0)46 2 S 68 2，3x S 46 24x8 46 2即S 4S 68 24x8 68 2x 的取值范围是2 222 123 2 24 2 1 x 22第 23 页 共 68 页初中数学参考资料【例 4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系

41、，如图所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解析过程及每步分值解： （1）设y1=kx,由图所示，函数y1=kx的图像过（1，2） ，所以 2=k 1，k 2故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x；因为该抛物线的顶点是原点，所以设y2=ax，由图 12-所示，函数y2=ax的图像过（2，2） ，所以2 a2，a 2221212x；2（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0 x 8） ，则投入种植树木（8 x）万元，他获得的利润是z万元

42、，根据题意，得111z=2(8 x)+x2=x2 2x 16=(x 2)214222当x 2时，z的最小值是 14；因为0 x 8，所以2 x 2 6故利润y2关于投资量x的函数关系式是y 所以(x 2) 3621(x 2)218212所以(x 2) 14 1814 32，即z 32，此时x 82所以第 24 页 共 68 页初中数学参考资料当x 8时，z的最大值是 32.【例 5】如图，已知A(4,0)，B(0,4)，现以 A 点为位似中心，相似比为 9:4，将 OB 向右侧放大，B 点的对应点为 C（1）求 C 点坐标及直线 BC 的解析式;（2）一抛物线经过B、C 两点，且顶点落在x 轴

43、正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;（3）现将直线BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P，请找出抛物线上所有满足到直线 AB 距离为3 2的点 P解析过程及每步分值解:（1）过 C 点向 x 轴作垂线，垂足为 D，由位似图形性质可知：ABOACD， AOBO4ADCD9由已知A(4,0)，B(0,4)可知：AO 4,BO 4第 25 页 共 68 页初中数学参考资料ADCD 9C 点坐标为(5,9)直线 BC 的解析是为：化简得：y x4y 4x094504 c2（2）设抛物线解析式为y ax bxc(a 0)，由题意得：9 25a5bc，b24ac 01a 225 a114解得

44、：b1 4b25c 41 c2 42解得抛物线解析式为y1 x 4x 4或y2124x x4255又y2124x x4的顶点在 x 轴负半轴上，不合题意，故舍去2552满足条件的抛物线解析式为y x 4x 4（准确画出函数y x 4x 4图象）（3） 将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点P，设 P 到 直线 AB 的距离为 h，故 P 点应在与直线 AB 平行，且相距3 2的上下两条平行直线l1和l2上由平行线的性质可得：两条平行直线与y 轴的交点到直线 BC 的距离也为3 2如图，设l1与 y 轴交于 E 点，过 E 作 EFBC 于 F 点，在 RtBEF 中EF h 3 2，

45、EBF ABO 45，BE 6可以求得直线l1与 y 轴交点坐标为(0,10)同理可求得直线l2与 y 轴交点坐标为(0,2)两直线解析式l1: y x10；l2: y x22y x24x4y x24x4根据题意列出方程组： ；y x10y x2第 26 页 共 68 页初中数学参考资料解得： x1 6x2 1x3 2x4 3；y116y2 9y3 0y41满足条件的点 P 有四个，它们分别是P2(1,9)，P4(3,1).1(6,16)，P3(2,0)，P2【例 6】如图，抛物线L1: y x 2x3交x轴于 A、B 两点，交y轴于 M 点.抛物线L1向右平移 2 个单位后得到抛物线L2，L

46、2交x轴于 C、D 两点.（1）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点 N，使以 A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 P 是抛物线L1上的一个动点（P 不与点 A、B 重合） ，那么点 P 关于原点的对称点 Q 是否在抛物线L2上，请说明理由.解析过程及每步分值第 27 页 共 68 页初中数学参考资料【例 7】如图， 在矩形ABCD中，AB 9，AD 3 3，点P是边BC上的动点（点，过点P作直线PQBD，交CD边于Q点，再把P不与点B，点C重合）PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应

47、点是R点，设CP的长度为x，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y（1）求CQP的度数；（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）求y与x之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的DQCPARBA（备用图 1）BA（备用图 2）BDC7？27CD第 28 页 共 68 页初中数学参考资料解析过程及每步分值解： （1）如图，四边形ABCD是矩形，AB CD，AD BC又AB 9，AD 3 3，C 90，CD 9，BC 3 3tanCDB BC3，CDB 30CD3PQBD，CQP CDB 30（2）如图 1，由轴对称的性质可知，RPQCPQ，DQCPBRPQ C

48、PQ，RP CPA由（1）知CQP 30，RPQ CPQ 60，R（图 1）RPB 60，RP 2BPCP x，PR x，PB 3 3 x在RPB中，根据题意得：2(3 3 x) x，解这个方程得：x 2 3（3）当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，110 x2 3，SCPQCPCQ x223x 32x，232x2RPQCPQ，当0 x2 3时，y 当R在矩形ABCD的外部时（如图 2） ，2 3 x 3 3，在RtPFB中，RPB 60，DQCPBPF 2BP 2(3 3 x)，A又RP CP x，RF RP PF 3x6 3，EFR（图 2）在RtERF中，EFR PFB 30，ER

49、3x6第 29 页 共 68 页初中数学参考资料SERF13 32ERFR x 18x18 3，22y SRPQ SERF，当2 3 x 3 3时，y 3x218x18 332x (0 x2 3)综上所述，y与x之间的函数解析式是：y 2 3x218x18 3(2 3 x 3 3)矩形面积 93 3 27 3，当0 x2 3时，函数y 增大，所以y的最大值是6 3，而矩形面积的32x随自变量的增大而277的值27 3 7 3，27277而7 3 6 3，所以，当0 x 2 3时，y的值不可能是矩形面积的；27当2 3 x 3 3时，根据题意，得： 3x218x18 3 7 3，解这个方程，得x

50、 3 3 2，因为3 3 2 3 3，所以x 3 3 2不合题意，舍去所以x 3 3 2综上所述，当x 3 3 2时，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的727第 30 页 共 68 页初中数学参考资料第四章第四章兴趣练习兴趣练习4.14.1代数部分代数部分1. 已知：抛物线y ax bxc与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C 其中点 A 在 x轴的负半轴上，点C 在 y 轴的负半轴上，线段OA、OC 的长（OAOC）是方程2x25x4 0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x 1（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点 D 是线段 AB 上

51、的一个动点（与点 A、B 不重合） ，过点 D 作 DEBC 交 AC于点 E，连结 CD，设 BD 的长为 m，CDE 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由yAO DBxEC2. 已知， 如图 1，过点E0， 1作平行于x轴的直线l，抛物线y 12x上的两点A、B的4横坐标分别为1 和 4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF（1）求点A、B、F的坐标；（2）求证：CF DF；（3）点P是抛物线y 12x对称轴右侧图象上的一动点，

52、过点P作PQPO交x轴4于点Q，是否存在点P使得OPQ与CDF相似？若存在， 请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由yBFAOxDl第 31 页 共 68 页CE（图 1）FOCE备用图Dxy初中数学参考资料3. 已知矩形纸片OABC的长为 4，宽为 3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系； 点P是OA边上的动点（与点O、A不重合） ，现将POC沿PC翻折得到PEC，再在AB边上选取适当的点D，将PAD沿PD翻折，得到PFD，使得直线PE、PF重合（1）若点E落在BC边上，如图，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片

53、OABC的内部，如图，设OP x，AD y，当x为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标yCEyBCFEFDDBOPAxOPAx图图24. 如图，已知抛物线y x 4x3交x轴于 A、B 两点，交y轴于点 C，抛物线的对称轴交x轴于点 E，点 B 的坐标为（1，0） （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点 P，与 A、B、C 三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA 与抛物线的

54、对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM 把四边形 DEOC 分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线 CM 的解析式；若不存在，请说明理由第 32 页 共 68 页yCD初中数学参考资料第 33 页 共 68 页初中数学参考资料5. 如图， 已知抛物线y ax2 bx 3（a0）与x轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE、

55、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标yyCCBBAAMOOxx图图二、动态几何6. 如图，在梯形ABCD中，DCAB，A90 ，AD 6厘米，DC 4厘米，BC的坡度i 3动点P从A出发以 2 厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动， 动点Q从点B出4，发以 3 厘米/秒的速度沿B C D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连结PQ，设PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？DCQABP第 34 页

56、共 68 页初中数学参考资料11x1与y轴交于 A，与x轴交于 D，抛物线y x2bxc与直线交22于 A、E 两点，与x轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为 （1，0） 7. 已知：直线y （1）求抛物线的解析式；（2）动点 P 在x轴上移动，当PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使| AM MC |的值最大，求出点 M 的坐标2yEADO BCx8. 已知： 抛物线y ax bxca 0的对称轴为x 1与x轴交于A，B两点， 与y轴，交于点C，其中A3， 0、C0， 2（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC的周长最小

57、请求出点P 的坐标（3） 若点D是线段OC上的一个动点 （不与点 O、 点 C 重合） 过点 D 作DEPC交x轴于点E连接PD、PE设CD的长为m，PDE的面积为S求S与m之间的函数关系式试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由yOABxC9. 如图 1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2， 4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD 2，AB 3（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2） 将矩形ABCD以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点

58、A出发向B匀速移动设它们运动的时间为t秒（0t3） ，直线AB与该抛物线的交点为N（如图 2 所示） 当t 5时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；2第 35 页 共 68 页初中数学参考资料设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值；若不存在，请说明理由yyMMNCCBBPDO(A)图 1ExDOA图 2Ex10. 已知抛物线：y1 12x 2x2（1）求抛物线y1的顶点坐标（2）将抛物线y1向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式（3）如下图，抛物线y2的顶点为 P，x轴上有一动点 M，在y1、y2

59、这两条抛物线上是否存在点 N，使 O（原点） 、P、M、N 四点构成以 OP 为一边的平行四边形，若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由【提示：抛物线y ax bx c（a 0）的对称轴是x 2b，顶点坐标是2ab4acb2，】4a2ay54321Py2y156789x1O12341234第 36 页 共 68 页初中数学参考资料11. 如图，已知抛物线 C1：y ax 25的顶点为 P，与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A2在点 B 的左边） ，点 B 的横坐标是 1（1）求P点坐标及a的值； （4分）（2）如图（1） ，抛物线 C2与抛物线 C1关于 x 轴对称，将抛物线C2向

60、右平移，平移后的抛物线记为 C3，C3的顶点为 M，当点P、M 关于点 B 成中心对称时，求C3的解析式； （4分）（3）如图（2） ，点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线 C1绕点 Q 旋转 180后得到抛物线 C4抛物线 C4的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边） ，当以点 P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标 （5 分）C1yMAOP图 1BxC1yNAOP图 2B QEFxC2C3C4第 37 页 共 68 页初中数学参考资料12. 如图， 在平面直角坐标系中， 已知矩形ABCD的三个顶点B(4，抛0)、C(8， 0)、D(8，

61、 8)物线y ax bx过A、C两点（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1 个单位长度，运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G当t为何值时，线段EG最长？连接EQ在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值yAFDGPEQCOBx13. 如图 1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（2，1） ，且 P（1，2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴

62、，垂足分别是 A、B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点Q，使得OBQ 与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值yQBAOxMP图 1第 38 页 共 68 页2 初中数学参考资料 yQBAOxMCP图 214. 如图，矩形 ABCD 中，AB = 6cm，AD = 3cm，点 E 在边 DC 上，且 DE = 4cm动点 P从点 A 开始沿着 ABCE 的路线

63、以 2cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 A 开始沿着 AE 以1cm/s 的速度移动，当点Q 移动到点 E 时，点P 停止移动若点P、Q 从点 A 同时出发，设点 Q 移动时间为 t（s） ，P、Q 两点运动路线与线段PQ 围成的图形面积为 S（cm2） ，求S 与t 的函数关系式DECQABP15. 如图，已知二次函数y (x m) k m的图象与x轴相交于两个不同的点22A(x1， 0)、B(x2， 0)，与y轴的交点为C设ABC的外接圆的圆心为点P（1）求P与y轴的另一个交点 D 的坐标；（2）如果AB恰好为P的直径，且ABC的面积等于5，求m和k的值第 39 页 共 68 页初中数

64、学参考资料16. 如图，点A、B坐标分别为（4，0） 、 （0，8） ，点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上， 四边形OEDC是矩形， 且OE 2OC 设OE t(t 0)， 矩形OEDC与AOB重合部分的面积为S根据上述条件，回答下列问题：（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；（2）当t 4时，求S的值；（3）直接写出S与t的函数关系式； （不必写出解题过程）（4）若S 12，则t 17. 直线y yBCODEAx3x6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到4运动， 速度为每秒 1 个单位长度， 点P沿路线O达A点，运动停止点Q沿线段OABA运动（

65、1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S 48时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第5yB四个顶点M的坐标PxOQA第 40 页 共 68 页初中数学参考资料18. 如图 1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽” （a） ， 中间的这条直线在ABC内部的线段的长度叫ABC的“铅垂高”（h） 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABC于水平宽与铅垂高乘积的一半A铅垂高ChB水平宽a图 1解答下列问题：如图 2，抛物线顶点坐标为点C（1

66、，4） ，交x轴于点A（3，0） ，交y轴于点B（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2） 求CAB的铅垂高CD及SCAB；（3） 设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使SPAB=若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由yCBD1xO1A图 21ah，即三角形面积等29SCAB，80) (0， 3)，19. 如图， 在平面直角坐标系中， 点A、C的坐标分别为(1，、点B在x轴上 已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x 1点P为直线BC下，方的二次函数图象上的一个动点 （点P与B、C不重合） ，过点P作y轴的平行线交BC于点F（1）求该二次函数的解

67、析式；（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长（3）求PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标第 41 页 共 68 页初中数学参考资料yAOCx=1FBxP20. 如图所示，菱形ABCD的边长为 6 厘米，B 60从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以 1 厘米/秒的速度沿AC B的方向运动， 点Q以 2 厘米/秒的速度沿A B C D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设的面积为y平方厘米 （这里规定：P、Q运动的时间为x秒时，APQ与ABC重叠部分点和线段是面积为O的三角形） ，解答下列问题：（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；（2） 点P

68、、当APQ是等边三角形时x的值是秒；Q从开始运动到停止的过程中，（3）求y与x之间的函数关系式DPAQBC21. 定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点0)，（1）如图 1，若F1：y x，经过变换后，得到F2：y x bx，点C的坐标为(2，则b的值等于_；四边形ABCD为（）A平行四边形B矩形C菱形D正方形第 42 页 共 68 页22初中数学参考资料（2）如图 2，若F1：y ax c，经过变换后，点B的坐标为(2，c1)，求ABD的面积；21227x x，经过变换后，AC 2 3，点P是

69、直线AC上的333动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值（3）如图3，若F1：y yDO（A）B（图 1）F1F2yDF1F2ABO（图 3）xyDPCxAOBCxCF1F2（图 2）22. 如图，已知直线y 1x1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形2C的抛物线与直线另一个交点为EABCD，过点A，D，（1）请直接写出点C,D的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与

70、正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C ,E两点间的抛物线弧所扫过的面积yDCAxOBE1y x12第 43 页 共 68 页初中数学参考资料23. 如图，点A、B坐标分别为（4，0） 、 （0，8） ，点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上， 四边形OEDC是矩形， 且OE 2OC 设OE t(t 0)， 矩形OEDC与AOB重合部分的面积为S根据上述条件，回答下列问题：（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；（2）当t 4时，求S的值；（3）直接写出S与t的函数关系式； （不必写出解题过程）yB（4）若S 12，则t DCOxEA24. 如图所示，某校计划将一块形状为锐角

71、三角形ABC的空地进行生态环境改造已知ABC的边BC长 120 米，高AD长 80 米学校计划将它分割成AHG、BHE、其中矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两GFC和矩形EFGH四部分（如图）个顶点H、G分别在边AB、AC上现计划在AHG上种草，每平米投资 6 元；在BHE、FCG上都种花，每平方米投资10 元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米投资 4 元（1）当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？（2）当矩形EFGH的边FG为多少米时，ABC空地改造总投资最小？最小值为多少？AKHGBCEDF第 44 页 共 68 页初中数学参考资料225. 已知：t1，t2是方程t

72、2t 24 0的两个实数根，且t1 t2，抛物线y 22x bxc30)B(0，t2)的图象经过点A(t1，（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点P(x，y)是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形， 求OPAQ的面积S与x之间的函数关系式， 并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，当OPAQ的面积为 24 时，是否存在这样的点P，使OPAQ为正方形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由yQBxOAP三、说理题26. 如图，抛物线经过A(4，0)B(1 ，0)C(0， 2)三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM

73、x轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 在直线 AC 上方的抛物线上有一点D， 使得DCA的面积最大， 求出点 D 的坐标yxOB 14A2C第 45 页 共 68 页初中数学参考资料27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为 1 的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点 抛物线y ax bxc与y轴交于点D， 与直线y x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O

74、于F，求EF的长（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由yDNEAOxCFMB28. 如图 1，已知：抛物线y 过B、C两点的直线是y 212x bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经21x2，连结AC2（1）B、C两点坐标分别为B（_，_） 、C（_，_） ，抛物线的函数关系式为_；（2）判断ABC的形状，并说明理由；（3）若ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由b4acb2,抛物线y ax bxc的顶点坐标是4a2a2yyACOBxACOBx图 1图

75、 2(备用)第 46 页 共 68 页初中数学参考资料29. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC在 x 轴的正半轴上，OA=2，OC=3过原点 O 作AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DEDC，交 OA 于点 E（1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式；（2）将EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点 G如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M，点 M 的横坐标为6，那么5EF=2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于

76、（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ 与AB 的交点 P 与点 C、G 构成的PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由yAExDBOC第 47 页 共 68 页初中数学参考资料30. 如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM CEEO，再以CM、CO为边作矩形CMNO（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由（2）令m 由（3）在 （2）的条 件下， 若CO 1，CE ，Q为AE上一点 且QF S四边形CFGH，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说

77、明理S四边形CMNO132，抛物线3y mx2bxc经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式（4）在（3）的条件下，若抛物线y mx bxc与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K， 使得以P、请求直线KPK为顶点的三角形与AEF相似？若存在，B、与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由yHCEQNOAxGFB2M第 48 页 共 68 页初中数学参考资料4.24.2几何部分几何部分经 典 难 题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF （初二）CEGABDOF2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PADPDA15

78、0求证：PBC 是正三角形 （初二）ADPCB3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点AD求证：四边形 A2B2C2D2是正方形 （初二）D2A2A1D1B1C1B2C2BC4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC的延长线交 MN 于 E、FF求证：DENFENCD第 49 页 共 68 页AMB初中数学参考资料经 典 难 题（二）1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点） ，O 为外心，且 OMBC 于 M（1）求证：AH2OM；A（2）若BAC

79、600，求证：AHAO （初二）OHEBCM D2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于B、C及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、QGE求证：APAQ （初二）OCBDMNQPA3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN于 P、QEC求证：APAQ （初二）AQMNPOBD4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形CBFG，点 P 是 EF 的中点D

80、求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半 （初二）GCEPABQ第 50 页 共 68 页F初中数学参考资料经 典 难 题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F求证：CECF （初二）DAFEBC2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F求证：AEAF （初二）ADFBCE3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE求证：PAPF （初二）ADABPCE4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线

81、 PO 相交于B、D求证：ABDC，BCAD （初三）AODBP第 51 页 共 68 页ECF初中数学参考资料经 典 难 题（四）1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求：APB 的度数 （初二）APBC2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB （初二）ADPBC3、 Ptolemy （托勒密） 定理： 设 ABCD 为圆内接凸四边形， 求证： AB CDAD BCAC BD（初三）ADBC4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点，AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证：DPADPC

82、（初二）ADFPBEC第 52 页 共 68 页初中数学参考资料经 典 难 题（五）1、 设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点， lPAPBPC， 求证：l2ABAPCD2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPBPC 的最小值3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长ABPCDPBC4、如图，ABC 中，ABCACB800，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DCA300，EBA200，求BED 的度数A第 53 页 共 68 页DEBC初中数学参考资料第五章第五章复习提纲复习提纲初中数学总复习提纲初中数学总复习提纲

83、第一章实数重点实数的有关概念及性质，实数的运算内容提要一、重要概念1数的分类及概念数系表：正整数0整数(有限或无限循环性数)负整数有理数正分数分数负分数实数正无理数无理数(无限不循环小数)负无理数说明： “分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准整数有理数分数正数无理数实数0整数有理数分数负数无理数2非负数：正实数与零的统称。 （表为：x0）常见的非负数有：a2(a 为一切实数)aa(a0)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。3倒数： 定义及表示法性质：A.a1/a（a1）;B.1/a 中，a0;C.0a1 时 1/a1;a1 时，1/a1;D.积为 1。4相反数： 定义及

84、表示法性质：A.a0 时，a-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C.和为 0,商为-1。5数轴：定义（ “三要素” ）第 54 页 共 68 页初中数学参考资料作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。6奇数、偶数、质数、合数（正整数自然数）定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n（n 为自然数）7绝对值：定义（两种） ：代数定义：a(a0)a=-a(a0)几何定义：数 a 的绝对值顶的几何意义是实数 a 在数轴上所对应的点到原点的距离。a0,符号“”是“非负数”的标志;数 a 的绝对值只有一个;处理任何类型的题目，只要其中有“”出现，其关键一步是去

85、掉“”符号。二、实数的运算1 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）2 运算定律（五个加法乘法交换律、结合律;乘法对加法的分配律）3 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右” （如 515）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大” 。5三、应用举例（略）附：典型例题1 已知：a、b、x 在数轴上的位置如下图，求证：x-a+x-b=b-a.axb 2.已知：a-b=-2 且 abba+cb+cabacbc(c0)abacbc(cb,bcacab,cda+cb+d.5一元一次不等式的解、解一元一次不等式6一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）7应用

86、举例（略）第七章相似形重点相似三角形的判定和性质内容提要一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质） ：bd反比性质：acacdcab ad bc 或更比性质：bdbacd（比例基本定理）a bc d合比性质：bdacma c ma(b d n 0) 等比性质:bdnb d nb涉及概念：第四比例项比例中项比的前项、 后项，比的内项、外项黄金分第 63 页 共 68 页初中数学参考资料割等。第二套：平行线分线段应用于中推论成 比 例 定 理(骨干定理)(基本定理)相似基本定理相似Rt三角定理 3形定理 2定理 1推论推 论 的逆定理推论注意：定理中“对应”二字的含义;平行相似（比例线段）平行。二

87、、相似三角形性质1对应线段;2对应周长;3对应面积。三、相关作图作第四比例项;作比例中项。四、证（解）题规律、辅助线1 “等积”变“比例” ， “比例”找“相似” 。2找相似找不 到，找中 间比。方法 ：将等式左 右两边的比 表示出来。 am cm m,(为中间比)bn dnnam cm,n nbn dnam cmmm,(m m ,n n 或)bn dnnn3添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。4对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为 k。5对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形） “抽”出来的办法处理。五、应用举例

88、（略）第八章函数及其图象重点正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。 内容提要一、平面直角坐标系1各象限内点的坐标的特点2坐标轴上点的坐标的特点3关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点第 64 页 共 68 页初中数学参考资料4坐标平面内点与有序实数对的对应关系二、函数1表示方法：解析法;列表法;图象法。2确定自变量取值范围的原则：使代数式有意义;使实际问题有意义。3画函数图象：列表;描点;连线。三、几种特殊函数（定义图象性质）1 正比例函数定义：y=kx(k0)或 y/x=k。图象：直线（过原点）性质：k0，k0,b0)xo(k0)xo(k0,b0)xo(k0,b0,k0 时，开口向上;a

89、0 时，在对称轴左侧，右侧;a0 时，图象位于，y 随 x;kR直线与圆相离d=R直线与圆相切dR+r外离d=R+r外切R-rdR+r相交d=R-r内切dR-r内含相切（交）两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：定义性质四、与圆有关的比例线段1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：360nn 2(右图)内角的一半：(n 2)180n12(右图)（解 RtOAM 可求出相关元素,Sn、Pn等）六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式第 67 页 共 68 页OAMB 2.初中数学参考资料3.扇形面积公式4.弧长公式5.弓形面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图1.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧3.作已知两线段的比例中项4.等分圆周：4、8;6、3 等分九、基本图形十、重要辅助线1.作半径2.见弦往往作弦心距3.见直径往往作直径上的圆周角4.切点圆心莫忘连5.两圆相切公切线（连心线）6.两圆相交公共弦ACDPOB第 68 页 共 68 页